自感“千人震”實(shí)驗(yàn)的理論分析與數(shù)值模擬

摘" "要：對(duì)中學(xué)物理“自感現(xiàn)象”教學(xué)中經(jīng)常被教師引入課堂的“千人震”自感小實(shí)驗(yàn)進(jìn)行理論分析和數(shù)值模擬。詳細(xì)分析了實(shí)驗(yàn)中開(kāi)關(guān)閉合和開(kāi)關(guān)斷開(kāi)過(guò)程中的電流和電壓變化，并且結(jié)合相關(guān)實(shí)驗(yàn)參數(shù)對(duì)閉合開(kāi)關(guān)瞬間和斷開(kāi)開(kāi)關(guān)瞬間電流和電流變化率隨時(shí)間演化的數(shù)值模擬，深入解釋實(shí)驗(yàn)產(chǎn)生“千人震”現(xiàn)象的原因。

關(guān)鍵詞：“千人震”實(shí)驗(yàn)；自感；數(shù)值模擬

中圖分類號(hào)：G633.7 文獻(xiàn)標(biāo)識(shí)碼：A " " 文章編號(hào)：1003-6148（2024）2-0047-4

在中學(xué)物理電磁感應(yīng)部分的“自感現(xiàn)象”教學(xué)中，很多教師將“千人震”自感小實(shí)驗(yàn)引入課堂，讓學(xué)生現(xiàn)實(shí)體驗(yàn)自感現(xiàn)象的有趣和神秘［1-2］。該實(shí)驗(yàn)原理如圖1所示，實(shí)驗(yàn)器材也非常簡(jiǎn)單，選用生活中常用的電動(dòng)勢(shì)為1.5 V的干電池作為直流電源，一個(gè)用于日光燈上的鎮(zhèn)流器（電感），以及開(kāi)關(guān)和導(dǎo)線。實(shí)驗(yàn)邀請(qǐng)幾個(gè)學(xué)生手拉手站成一排，兩邊的學(xué)生分別抓住導(dǎo)線的兩端與鎮(zhèn)流器并聯(lián)（圖1），這時(shí)開(kāi)關(guān)處于斷開(kāi)狀態(tài)；然后閉合開(kāi)關(guān)；經(jīng)過(guò)一段時(shí)間后再斷開(kāi)開(kāi)關(guān)。該實(shí)驗(yàn)的結(jié)果是：在開(kāi)關(guān)由斷開(kāi)到閉合瞬間的過(guò)程，參與實(shí)驗(yàn)的學(xué)生沒(méi)有觸電的感覺(jué)；開(kāi)關(guān)持續(xù)接通的過(guò)程中，參與實(shí)驗(yàn)的學(xué)生仍然沒(méi)有觸電的感覺(jué)；然而，在斷開(kāi)開(kāi)關(guān)的瞬間，參與實(shí)驗(yàn)的學(xué)生有明顯的觸電感覺(jué)。此實(shí)驗(yàn)有驚無(wú)險(xiǎn)，學(xué)生對(duì)一節(jié)干電池的“威力”疑惑不解時(shí)，教師也順利引入“自感現(xiàn)象”的教學(xué)。之所以參與實(shí)驗(yàn)的學(xué)生會(huì)有觸電的感覺(jué)，是由于鎮(zhèn)流器產(chǎn)生的自感高壓［3-4］。本文就實(shí)驗(yàn)的幾個(gè)過(guò)程從理論上詳細(xì)分析電流、電壓的變化。

1" " 實(shí)驗(yàn)理論分析

如圖1所示，設(shè)電源電動(dòng)勢(shì)為E（忽略電源內(nèi)阻），鎮(zhèn)流器自感系數(shù)為L(zhǎng)，電阻為R（簡(jiǎn)單起見(jiàn)，這里將鎮(zhèn)流器的電阻從鎮(zhèn)流器中分離出來(lái)，與外電阻合并成電阻R），參與實(shí)驗(yàn)學(xué)生的電阻為Rm。實(shí)驗(yàn)開(kāi)始，參與實(shí)驗(yàn)的學(xué)生按照?qǐng)D1握住導(dǎo)線兩端。閉合開(kāi)關(guān)S前，整個(gè)電路沒(méi)有任何電流。閉合開(kāi)關(guān)S，電阻+鎮(zhèn)流器（R+L）支路和參與實(shí)驗(yàn)學(xué)生（Rm）支路并聯(lián)與電源E接通，如圖2所示。其中，通過(guò)電源的總電流為I；參與實(shí)驗(yàn)學(xué)生（Rm）支路，在閉合開(kāi)關(guān)S瞬間與電源直接相連，電流不隨時(shí)間變化，記為Im；電阻+鎮(zhèn)流器（R+L）支路，由于鎮(zhèn)流器的自感作用電流逐漸增加，故記為i。

1.1" " 開(kāi)關(guān)從斷開(kāi)到閉合過(guò)程

這里，我們從參與實(shí)驗(yàn)學(xué)生（Rm）支路和電阻+鎮(zhèn)流器（R+L）支路兩個(gè)支路來(lái)分析開(kāi)關(guān)從斷開(kāi)到閉合的過(guò)程（圖2）。

1.1.1" " 參與實(shí)驗(yàn)學(xué)生（Rm）支路

閉合開(kāi)關(guān)瞬間，參與實(shí)驗(yàn)學(xué)生（Rm）支路與電源接通，支路兩端電壓（即圖2中d，e兩點(diǎn)之間的電壓）Ude為電源電壓。

該支路的電流不隨時(shí)間變化。電壓、電流關(guān)系可直接由歐姆定律給出

E=ImRm

電流為

Im=

這里也可以看到閉合開(kāi)關(guān)瞬間，接在參與實(shí)驗(yàn)學(xué)生身上的電壓僅僅是電源電壓，即干電池的1.5 V的電壓，電壓特別低，所以學(xué)生并沒(méi)有觸電的感覺(jué)。

電路圖以及電流流向表示

1.1.2" " 電阻+鎮(zhèn)流器（R+L）支路

開(kāi)關(guān)閉合瞬間，電阻+鎮(zhèn)流器（R+L）支路兩端電壓（即圖2中a，c兩點(diǎn)之間的電壓）Uac為電源電壓E。電阻R兩端電壓Uab=iR，而鎮(zhèn)流器兩端電壓Ubc滿足

Ubc=L

雖然電阻+鎮(zhèn)流器（R+L）支路電流i隨時(shí)間變化，但是在開(kāi)關(guān)閉合瞬間仍然滿足

E=Uab+Ubc

即

E=iR+L

電流變化率

=-i

分離變量可得

=-dt

對(duì)上式進(jìn)行積分

=-dt'

即

ln[]

=-t

閉合開(kāi)關(guān)S瞬間的初始時(shí)刻（t=0），電流i（0）=0，所以

ln[]=-t

兩邊同時(shí)取指數(shù)并化簡(jiǎn)可得

i=[1-e-（R/L）t]

這時(shí)我們可以給出通過(guò)鎮(zhèn)流器的電流變化率隨著時(shí)間的函數(shù)關(guān)系

=e-（R/L）t

當(dāng)t=0時(shí)，電流i=0，電流變化率=。

當(dāng)t→∞，電流i→，電流變化率=→0，如圖3、圖4所示。

[][t][i][O]

1.2" " 閉合開(kāi)關(guān)后一段時(shí)間的狀態(tài)

如圖4所示，當(dāng)閉合開(kāi)關(guān)后電流變化率隨著時(shí)間推移越來(lái)越小。如果時(shí)間足夠長(zhǎng)，電流變化率幾乎為零，電阻+鎮(zhèn)流器（R+L）支路電流穩(wěn)定在E/R。這個(gè)時(shí)間非常短，后面可以用實(shí)例來(lái)說(shuō)明。對(duì)于參與實(shí)驗(yàn)學(xué)生（Rm）支路來(lái)說(shuō)，從閉合開(kāi)關(guān)到整個(gè)電路穩(wěn)定的過(guò)程中，電壓和電流均不變化，分別為E和E/Rm。

1.3" " 開(kāi)關(guān)從閉合到斷開(kāi)過(guò)程

閉合開(kāi)關(guān)后，很短的時(shí)間電路就達(dá)到穩(wěn)定狀態(tài)，穩(wěn)定電流I=E/R。這個(gè)時(shí)候斷開(kāi)開(kāi)關(guān)S，鎮(zhèn)流器將會(huì)在自感作用下產(chǎn)生感應(yīng)電動(dòng)勢(shì)阻礙電流的減小，即t=0時(shí)刻，流過(guò)鎮(zhèn)流器的電流為E/R。圖5給出了斷開(kāi)開(kāi)關(guān)瞬間的電流流向示意圖，可以看到鎮(zhèn)流器、參與實(shí)驗(yàn)學(xué)生、電阻構(gòu)成回路，其中鎮(zhèn)流器作為電源。

開(kāi)關(guān)瞬間的電路圖以及電流流向表示

假設(shè)斷開(kāi)開(kāi)關(guān)時(shí)鎮(zhèn)流器的感應(yīng)電動(dòng)勢(shì)為ε=-L（di/dt），回路中的電流為i。該回路滿足Kirchhoff定律［5］，可以給出如下方程

ε=iR+iRm

即-L=iR+iRm

電流變化率可寫為

=-i

分離變量可得

=-dt

對(duì)上式進(jìn)行積分

=-dt'

lni

=-

t

兩邊取e指數(shù)，得

e=e

斷開(kāi)開(kāi)關(guān)瞬間，t=0時(shí)刻，電流大小為開(kāi)關(guān)閉合時(shí)穩(wěn)定的電流i0=E/R，所以回路中的電流隨時(shí)間的變化函數(shù)為

i=e

電流變化率

=-e

鎮(zhèn)流器的感應(yīng)電動(dòng)勢(shì)為

ε=-L=e

圖6、圖7給出了斷開(kāi)開(kāi)關(guān)瞬間，電流i和電流變化率隨時(shí)間的演化。可以看出，隨著時(shí)間的推移，電流和電流變化率均趨近于零。這里電流變化率為負(fù)值是說(shuō)明電流是關(guān)于時(shí)間的減函數(shù)。

2" " 實(shí)驗(yàn)參數(shù)計(jì)算

以上給出了“千人震”實(shí)驗(yàn)的理論分析和無(wú)量綱化的結(jié)果。在實(shí)驗(yàn)過(guò)程中，究竟多長(zhǎng)時(shí)間電流達(dá)到穩(wěn)定狀態(tài)，參與實(shí)驗(yàn)的學(xué)生能夠感受多大的電壓，我們給出一些實(shí)驗(yàn)參數(shù)進(jìn)行計(jì)算。對(duì)于人體的平均電阻大約為Rm=2 000 Ω，干電池電壓E=1.5 V，鎮(zhèn)流器電感L=0.05 H，外電阻（包含鎮(zhèn)流器內(nèi)阻） R=100 Ω。將這些實(shí)驗(yàn)參數(shù)分別代入前面得到的電流和電流變化率的表達(dá)式，即可得到電流和電流變化結(jié)果。不過(guò)為了直觀起見(jiàn)，圖8—圖11分別給出了閉合開(kāi)關(guān)瞬間和斷開(kāi)開(kāi)關(guān)瞬間電流和電流變化率隨時(shí)間演化的數(shù)值模擬結(jié)果。

從圖8、圖9中可以看到，閉合開(kāi)關(guān)瞬間，電流從0迅速增加到0.015 A，而電流變化率也從30 A/s迅速下降為0。這個(gè)過(guò)程非常短暫，近乎3×10-3 s內(nèi)完成。對(duì)于斷開(kāi)開(kāi)關(guān)過(guò)程，從圖10、圖11中可以看到，電流從0.015 A迅速減小為0，同時(shí)電流變化率也從-630 A/s迅速減小為0。這個(gè)過(guò)程比閉合開(kāi)關(guān)過(guò)程還要快，耗費(fèi)時(shí)間近乎10-4 s。

3" " 總" "結(jié)

“千人震”實(shí)驗(yàn)現(xiàn)象很明顯，讓學(xué)生切身體驗(yàn)物理實(shí)驗(yàn)事實(shí)，可以激發(fā)學(xué)生對(duì)物理學(xué)的學(xué)習(xí)興趣。本文從理論上對(duì)該實(shí)驗(yàn)進(jìn)行了深入分析，給出了電流、電流變化率以及自感電動(dòng)勢(shì)在開(kāi)關(guān)閉合、斷開(kāi)等過(guò)程的表達(dá)式。并且進(jìn)一步代入實(shí)驗(yàn)參數(shù)，對(duì)電流和電流變化率進(jìn)行了數(shù)值計(jì)算。電流和電流變化率隨時(shí)間變化過(guò)程非常短暫：閉合開(kāi)關(guān)后，電流在3×10-3 s后基本穩(wěn)定；而斷開(kāi)開(kāi)關(guān)過(guò)程電流變化的時(shí)間更短，耗時(shí)大約在10-4 s的量級(jí)，這里也說(shuō)明斷開(kāi)開(kāi)關(guān)瞬間電流變化率要遠(yuǎn)遠(yuǎn)大于閉合開(kāi)關(guān)時(shí)的電流變化率。閉合和斷開(kāi)開(kāi)關(guān)的過(guò)程中最大電流均為E/R=0.015 A，是安全電流。能夠產(chǎn)生觸電的感覺(jué)，是因?yàn)閿嚅_(kāi)開(kāi)關(guān)自感線圈中電流變化率非常大而產(chǎn)生的高壓。按照前面的數(shù)據(jù)可以估算出感應(yīng)電動(dòng)勢(shì)的最大值為31.5 V。由于人體的電阻遠(yuǎn)大于外電阻R（包含鎮(zhèn)流器的電阻，Rm/R=20），所以大部分自感電動(dòng)勢(shì)加在了人體上，故而有觸電的感覺(jué)。從能量的角度來(lái)看，閉合開(kāi)關(guān)過(guò)程，干電池的化學(xué)能轉(zhuǎn)化為電磁能儲(chǔ)存在自感線圈中。斷開(kāi)開(kāi)關(guān)，自感線圈中的能量釋放，由于電路中人體電阻大，大部分能量在瞬間釋放給了人體，所以參與實(shí)驗(yàn)學(xué)生有觸電的感覺(jué)。

參考文獻(xiàn)：

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（欄目編輯" " 劉" "榮）

收稿日期：2023-09-25

作者簡(jiǎn)介：譚紅芳（1984-），女，中學(xué)一級(jí)教師，主要從事統(tǒng)計(jì)物理與復(fù)雜系統(tǒng)和中學(xué)物理教學(xué)等方面的研究工作。