對安培力與洛倫茲力的關(guān)系的探討

摘" "要：安培力和洛倫茲力是不同的物理概念，它們既有聯(lián)系又有區(qū)別。通過對二者數(shù)學(xué)關(guān)系的推導(dǎo)，在做功問題上的矛盾的討論，利用霍爾效應(yīng)對其機(jī)理的分析，進(jìn)一步論證了安培力與洛倫茲力在宏觀和微觀上的聯(lián)系，以加深對這兩個基本概念的理解。

關(guān)鍵詞：安培力；洛倫茲力；霍爾效應(yīng)

中圖分類號：G633.7 文獻(xiàn)標(biāo)識碼：A " " 文章編號：1003-6148（2024）2-0062-3

安培力和洛倫茲力是高中物理電磁學(xué)部分的重要概念，二者與諸多電磁學(xué)問題相聯(lián)系，對它們的理解、掌握和應(yīng)用情況關(guān)系到教學(xué)目標(biāo)是否能實現(xiàn)，也是教學(xué)中的重點與難點。然而，由于受高中物理課程標(biāo)準(zhǔn)和教材內(nèi)容編寫要求所限，對這兩種力只能進(jìn)行基本的講解，無法讓學(xué)生明白其更深刻的物理機(jī)理，從而導(dǎo)致在教學(xué)中出現(xiàn)一些學(xué)生難以理解的問題，如安培力與洛倫茲力的關(guān)系等。

安培力是電流產(chǎn)生的嗎？如果是，兩束平行運動的電荷受到彼此的磁場力的作用也是安培力嗎？此外，眾所周知，洛倫茲力不做功，而安培力可以做功，但又有“安培力是洛倫茲力的宏觀表現(xiàn)”的說法，這豈不矛盾了嗎？下面將對這些問題進(jìn)行探討。

1" " 概念辨析

在人教版《普通高中教科書 物理 選擇性必修第二冊》（2020年5月第1版）（以下簡稱“高中物理教材”）中，是這樣定義安培力和洛倫茲力的：

安培力 把通電導(dǎo)線在磁場中受到的力稱為安培力。

洛倫茲力 把運動電荷在磁場中受到的力稱為洛倫茲力。

在趙凱華主編的《新概念物理教程 電磁學(xué)》（第二版）（以下簡稱“大學(xué)電磁學(xué)教材”）中，是這樣定義安培力和洛倫茲力的：

安培力 由定義磁感應(yīng)強(qiáng)度的表達(dá)式d=Id×，電流元Id在外磁場中受到的磁場力d稱為安培力。其中，d為某個閉合回路中的一部分。

洛倫茲力 帶電量為q、以速度在磁感應(yīng)強(qiáng)度為的磁場中運動的帶電粒子所受的力=q×稱為洛倫茲力。

從以上教材的定義可以看出：無論是高中物理教材中的“通電導(dǎo)線”，還是大學(xué)電磁學(xué)教材中的“電流元”，安培力均是對通有電流的“導(dǎo)線”在外磁場中受的磁場力而言的，而不是對“電流”（電流可以不依賴于導(dǎo)線而存在，如分子電流）；洛倫茲力則均表述為在磁場中運動的帶電粒子所受的磁場力。顯然，這兩種力的受力者是不一樣的，前者為“通電的導(dǎo)線”，后者為“運動的帶電粒子”。盡管通電導(dǎo)線中通有電流，且電流本身就是由做定向運動的電荷形成的，但安培力并不是“電流”或“做定向運動的電荷”所受的力。故，這兩種力在概念上是不一樣的。顯然，兩束平行運動的電荷受到彼此的磁場力的作用與以上關(guān)于安培力的定義有所差異。

2" " 安培力與洛倫茲力的關(guān)系的理論推導(dǎo)

在大學(xué)電磁學(xué)教材中，對安培力與洛倫茲力的關(guān)系進(jìn)行了如下推導(dǎo)：如圖1所示，設(shè)在某段圓柱形導(dǎo)體內(nèi)通有電流I，方向水平向左。從微觀角度看，此電流是導(dǎo)體中的自由電子向右以速率v做定向運動而形成的。設(shè)自由電子數(shù)密度為n，每個電子所帶電荷量為-e，導(dǎo)體的橫截面積為S，dt時間內(nèi)電子在導(dǎo)體中前進(jìn)的距離為dl，則該時間內(nèi)通過導(dǎo)體橫截面的電荷量等于導(dǎo)體內(nèi)以底面積為S、高為dl的圓柱體內(nèi)的自由電子的總電荷量，即dq=neSdl。由電流強(qiáng)度的定義，有

在此導(dǎo)體中，取長為l的一段，它所受的安培力大小為F=BIl。將（1）式代入，得

F=BneSvl（2）

在長為l的這一段中，總的自由電子數(shù)為N=nsl，故（2）式可寫成

F=NevB（3）

而每個自由電子在磁場中所受的洛倫茲力大小為

f=evB（4）

故由（3）（4）式可得

F=Nf（5）

從（5）式可以看出，在此段導(dǎo)體中通有電流I時，它所受的安培力的大小是其中N個自由電子受到的洛倫茲力大小之和。基于此，在大學(xué)電磁學(xué)教材中也出現(xiàn)了“導(dǎo)線受的安培力就是作用在各自由電子上洛倫茲力的宏觀表現(xiàn)”的表述。

3" " 關(guān)于做功問題

我們熟知，洛倫茲力不做功，而安培力可以做功。下面從一個常見的通電導(dǎo)體在磁場中運動的問題對此進(jìn)行討論。

如圖2所示，在水平放置的U形平行金屬導(dǎo)軌上有一長為L、電阻為R的粗細(xì)均勻的直導(dǎo)體桿，導(dǎo)體桿與導(dǎo)軌垂直并始終保持良好接觸，桿在水平力F作用下沿與導(dǎo)軌平行的方向以速率v1向右做勻速直線運動，電源電動勢為E（忽略內(nèi)阻和導(dǎo)軌的電阻）。現(xiàn)在來討論桿從AB位置運動到CD位置的過程中，安培力對桿所做的功和桿中自由電子所受洛倫茲力做功的情況。

設(shè)回路中的電流為I，則由已知條件有I=，因而桿所受的安培力大小為F=BIL=。設(shè)桿在此過程中的位移大小為Δx，則安培力做功為

WF =F·Δx=（6）

現(xiàn)在考慮洛倫茲力做功的情況。桿中的自由電子參與了兩個分運動，即速率為v1的與桿一起向右的勻速運動和速率為v2的與桿垂直且方向指向A的、在導(dǎo)體中形成電流的定向運動，其合運動的速率為v，與兩個分運動相應(yīng)的自由電子受到的洛倫茲力分別為f1和f2。

顯然，桿中所有自由電子所受的洛倫茲力的分力f2在宏觀上即表現(xiàn)為桿所受的安培力，其對桿做正功，大小由（6）式給出。在桿從AB位置運動到CD位置的過程中，經(jīng)歷的時間為Δt=。f1與桿運動方向垂直因而對桿不做功，但會在桿中產(chǎn)生與電源電動勢相反的動生電動勢Ei=-BLv1。此電動勢在時間Δt內(nèi)所做的功為

Wf = EiIΔt=-BLv1··=-（7）

由（6）（7）式可知，f2做正功，f1做負(fù)功，且總和為零，即桿中自由電子所受洛倫茲力總體上是不做功的，這與我們熟知的結(jié)論一致。同時，因為f1和f2這兩個洛倫茲力是同時且成對出現(xiàn)的，因此無法僅就其中一個洛倫茲力可做功的情況便否定洛倫茲力不做功的結(jié)論。所以，也不可以認(rèn)為安培力一定是洛倫茲力的合力或宏觀表現(xiàn)［1］。

由此也可以看出，在此問題情境中，安培力確實是洛倫茲力的宏觀表現(xiàn)，而安培力做的功也只是洛倫茲力貢獻(xiàn)的一個分力所做的。

4" " 從霍爾效應(yīng)看安培力

如圖3所示，一橫截面為矩形的導(dǎo)體置于垂直于紙面向里的勻強(qiáng)磁場中，其中所通的電流為I，方向與磁場垂直且水平向左。由于導(dǎo)體中的電流與磁場垂直，導(dǎo)體中的自由電子會受到豎直向下的洛倫茲力fm而向下偏轉(zhuǎn)，從而使導(dǎo)體上表面帶正電，下表面帶負(fù)電，在兩表面之間產(chǎn)生電勢差，這即是霍爾效應(yīng)。上下兩表面開始積累凈電荷后就建立起了霍爾電場，因此自由電子受到豎直向下的洛倫茲力的同時還受到了豎直向上的霍爾電場力fe的作用。隨著積累的電荷量的增加，fe逐漸增大，最終會與洛倫茲力fm平衡，霍爾電場達(dá)到恒定狀態(tài)。由此可見，在導(dǎo)體中做定向運動的自由電子所受的洛倫茲力已與霍爾電場力平衡。那么，導(dǎo)體受到的安培力從何而來呢？

實際上，在導(dǎo)體中通有恒定電流時，盡管有霍爾效應(yīng)的產(chǎn)生，但導(dǎo)體內(nèi)宏觀上看無限小、微觀上看非常大的區(qū)域還是電中性的。因此，前面討論了運動的自由電子受力達(dá)到平衡，還應(yīng)當(dāng)考慮與自由電子電荷量相當(dāng)?shù)南鄳?yīng)正電荷受到的霍爾電場力，這些正電荷受到的霍爾電場力在宏觀上的表現(xiàn)便可認(rèn)為是導(dǎo)體受到的安培力［2］。

大學(xué)電磁學(xué)教材中認(rèn)為，“雖然這個力（洛倫茲力）作用在金屬內(nèi)的自由電子上，但是自由電子不會越出金屬導(dǎo)線，它所獲得的沖量最終都會傳遞給金屬的晶格骨架。宏觀上看起來是金屬導(dǎo)線本身受到這個力”［3］。可是，根據(jù)霍爾效應(yīng)的觀點，任何置于磁場中的導(dǎo)體，只要其中的電流不平行于磁場，都會產(chǎn)生霍爾效應(yīng)，因而可認(rèn)為自由電子受到的洛倫茲力與霍爾電場力達(dá)到平衡，從表面上看安培力產(chǎn)生的機(jī)理與洛倫茲力沒有直接的關(guān)系。但是，盡管達(dá)到了動態(tài)平衡，自由電子整體運動方向不再有垂直于電流方向的偏轉(zhuǎn)，但洛倫茲力本身仍然存在，且會有沿這一方向的宏觀沖量。

當(dāng)然，也可以從另一個角度來考慮。一方面，因?qū)w中的正、負(fù)電荷量是相等的，它們受到的霍爾電場力也必然大小相等、方向相反，所以對整個導(dǎo)體來說是平衡的。另一方面，自由電子在其中做定向運動時受到了洛倫茲力，而這一洛倫茲力的方向正好與安培力方向一致，因而也可認(rèn)為是自由電子受到的洛倫茲力通過與金屬晶格的作用而整體上表現(xiàn)為導(dǎo)體受到的安培力。

5" " 小" "結(jié)

建立模型是解決物理問題和發(fā)展物理理論的重要手段，因此模型建構(gòu)能力也是中學(xué)物理教學(xué)中要培養(yǎng)的學(xué)生的重要能力之一。通過建立的物理模型解釋客觀的物理現(xiàn)象時，只要是合理且嚴(yán)謹(jǐn)?shù)模涂梢詰?yīng)用。如果對某個物理現(xiàn)象用幾種模型都可以解釋，那么不僅能說明建立的物理模型本身的合理性，也說明此物理現(xiàn)象背后可能還隱藏著我們未知的秘密，正如牛頓用萬有引力解釋天體運行規(guī)律而愛因斯坦用的卻是相對論理論一樣。安培力和洛倫茲力有著緊密的聯(lián)系，二者在不同的情境中又體現(xiàn)出不同的關(guān)系和特點。這兩種力都是人為賦予的概念，它們在本質(zhì)上都是電磁相互作用，人們只是根據(jù)其具體的情況和特點命名而已，并非要從根本上進(jìn)行區(qū)分。在教學(xué)中，也無須刻意從物理根源上把二者割裂開來或等同起來。

參考文獻(xiàn)：

［1］管金來.安培力是洛倫茲力的合力嗎［J］.中學(xué)物理， 2014，32（23）：43-44.

［2］陳璐暢，鄧有鴻.關(guān)于洛倫茲力與安培力關(guān)系的思想碰撞［J］.物理通報， 2017（6）：102-105.

［3］趙凱華，陳熙謀.新概念物理教程 電磁學(xué)（第二版）［M］.北京：高等教育出版社，2006.

（欄目編輯" " 蔣小平）

收稿日期：2023-10-13

作者簡介：雷賢明（1967-），男，中學(xué)正高級教師，主要從事中學(xué)物理教學(xué)工作和實驗研究。