對(duì)兩種平均作用力使用誤區(qū)的辨析

摘" "要：在高中物理教學(xué)中，除經(jīng)常研究恒力的作用過(guò)程外，有時(shí)還會(huì)對(duì)存在變力的力學(xué)過(guò)程進(jìn)行分析和計(jì)算，涉及到兩種平均作用力應(yīng)用的區(qū)別問(wèn)題。從常見(jiàn)的錯(cuò)誤出發(fā)，引出兩種平均作用力的物理意義，指出了在不同情境下應(yīng)用兩種平均作用力的區(qū)別。

關(guān)鍵詞：力對(duì)時(shí)間的平均；力對(duì)位移的平均；兩種平均作用力；辨析

中圖分類(lèi)號(hào)：G633.7 文獻(xiàn)標(biāo)識(shí)碼：A " " 文章編號(hào)：1003-6148（2024）2-0068-3

1" " 問(wèn)題的引出

在一次討論問(wèn)題時(shí)得知，一個(gè)學(xué)生遇到了一道試題，對(duì)最后一問(wèn)求解后查看參考答案，發(fā)現(xiàn)自己的解答過(guò)程和結(jié)果都與參考答案不同，但他又覺(jué)得自己的解答過(guò)程和計(jì)算結(jié)果沒(méi)有問(wèn)題，于是學(xué)生展示了解答過(guò)程，希望找到問(wèn)題的原因。試題和解答如下。

題目" 如圖1所示，光滑平行足夠長(zhǎng)的金屬導(dǎo)軌固定在絕緣水平面上，導(dǎo)軌范圍內(nèi)存在磁場(chǎng)，其磁感應(yīng)強(qiáng)度大小為B，方向豎直向下，導(dǎo)軌一端連接阻值為R的電阻，在導(dǎo)軌上垂直導(dǎo)軌放一長(zhǎng)度等于導(dǎo)軌間距L、質(zhì)量為m的金屬棒，其電阻為r，金屬棒與金屬導(dǎo)軌接觸良好，金屬棒在水平向右的恒力F作用下從靜止開(kāi)始運(yùn)動(dòng)，經(jīng)過(guò)時(shí)間t后開(kāi)始勻速運(yùn)動(dòng)，金屬導(dǎo)軌的電阻不計(jì)。求：

（1）金屬棒勻速運(yùn)動(dòng)時(shí)回路中電流大小；

（2）金屬棒勻速運(yùn)動(dòng)的速度大小以及在時(shí)間t內(nèi)通過(guò)回路的電荷量；

（3）若在時(shí)間t內(nèi)金屬棒移動(dòng)的位移為x，求電阻R上產(chǎn)生的熱量［1］。

對(duì)第（3）問(wèn)，學(xué)生解答過(guò)程為：由Q=W，W=Fx=BILx，I=，E=，QR=Q，解得QR=。大致一看，學(xué)生的解題思路似乎確實(shí)沒(méi)有問(wèn)題。

參考答案 力F做功增加金屬棒的動(dòng)能和回路的內(nèi)能，則Fx=Q+mv2

電阻R上產(chǎn)生的熱量QR=Q

解得QR=[Fx-]

到底是這道試題有多個(gè)答案，還是學(xué)生的解題方法存在問(wèn)題呢？要解決這個(gè)疑問(wèn)，首先要弄明白力對(duì)時(shí)間的平均值和力對(duì)位移的平均值的物理意義與區(qū)別。

2" " 兩種平均作用力的區(qū)別與聯(lián)系

2.1" " 力對(duì)時(shí)間的平均值

在t0到t的過(guò)程中，變力F對(duì)時(shí)間的平均值為（t）=Fdt=。可見(jiàn)，力對(duì)時(shí)間的平均值等于沖量除以時(shí)間。力對(duì)時(shí)間的平均值與時(shí)間的乘積，物理意義為力在時(shí)間上的積累，即沖量。故在應(yīng)用動(dòng)量定理時(shí)，若作用力為變力，我們往往引入力對(duì)時(shí)間的平均作用力與時(shí)間的乘積來(lái)等于這個(gè)過(guò)程中動(dòng)量的變化量。

2.2" " 力對(duì)位移的平均值

在x0到x的過(guò)程中，變力F對(duì)位移的平均值為（Δx）=F（x）dx=。可見(jiàn)，力對(duì)位移的平均值等于動(dòng)能的變化量除以位移［2］。力對(duì)位移的平均值與位移的乘積，物理意義為力在空間上的積累，即功。故在應(yīng)用動(dòng)能定理時(shí)，若作用力為變力，我們往往引入力對(duì)位移的平均作用力與位移的乘積來(lái)等于這個(gè)過(guò)程中動(dòng)能的變化量。

從上面兩種平均力的定義和物理意義可知，它們是根據(jù)力對(duì)時(shí)間和空間的兩種不同的積累效應(yīng)來(lái)引入的，它們不僅是數(shù)學(xué)的定義，而且還具有確切的物理意義。因此，在與質(zhì)點(diǎn)動(dòng)量變化相關(guān)的問(wèn)題中，可用力對(duì)時(shí)間的平均值；在與質(zhì)點(diǎn)動(dòng)能變化相關(guān)的問(wèn)題中，可用力對(duì)運(yùn)動(dòng)路徑的平均值。這兩種平均作用力的物理意義完全不同，在一般情況下，二者是不相等的。

2.3" " 兩種平均作用力的大小關(guān)系

例1 如圖2所示，一水平彈簧左端固定在豎直墻面上，右端固定在滑塊P上，滑塊與地面接觸面光滑。現(xiàn)將滑塊P向右拉離彈簧原長(zhǎng)位置后由靜止釋放，則在物塊向左回到彈簧原長(zhǎng)位置過(guò)程中，彈簧彈力隨位移和時(shí)間變化的圖像如圖3所示，試比較兩種平均作用力的大小［3］。

由圖像可知，彈力對(duì)位移的平均值為Fx===kx，彈力對(duì)時(shí)間的平均值為=gt;=kx，即gt;。這是因?yàn)樵谡駝?dòng)過(guò)程中，彈力對(duì)位移是均勻變化的，而彈力對(duì)時(shí)間是非均勻變化的，故造成了它們的大小不相等。所以在一般情況下，力對(duì)時(shí)間的平均值和力對(duì)位移的平均值是不相等的。

那么，是不是所有情況下它們的值都不相等呢？

例2" 在勻變速直線運(yùn)動(dòng)中，求兩種平均作用力的大小關(guān)系。

解" 在t0 到t的過(guò)程中，變力F對(duì)時(shí)間的平均值為 （t）=Fdt=

在x0到x的過(guò)程中，變力F對(duì)位移的平均值為（Δx）=F（x）dx=

又因?yàn)棣=（v0+v）Δt

聯(lián)立可得 （t）=（Δx）

即在勻變速直線運(yùn)動(dòng)中，可證明出兩種平均力大小相等。通過(guò)以上分析可知，只有在恒力作用下，物體做勻變速直線運(yùn)動(dòng)時(shí)，即力對(duì)時(shí)間和力對(duì)位移都是均勻變化的，這種情況下才有兩種平均作用力的大小相等。

3" " 兩種平均作用力的使用情境

由兩種平均作用力的物理意義可知：（Δx）只能與位移相乘計(jì)算這個(gè)過(guò)程中變力做的功，而不能與時(shí)間相乘計(jì)算沖量；而（t）只能與時(shí)間相乘計(jì)算這個(gè)過(guò)程中變力的沖量，而不能與位移相乘來(lái)計(jì)算功。

回到前述學(xué)生遇到的問(wèn)題，他列出方程W=x=BILx，對(duì)后續(xù)求解實(shí)際是力對(duì)時(shí)間的平均，顯然用力對(duì)時(shí)間的平均值乘以位移來(lái)求功是錯(cuò)誤的，進(jìn)而導(dǎo)致最后結(jié)果與參考答案的不同。

由于在一般過(guò)程中，變力F的t和的大小一般不同，故我們?cè)谑褂闷骄饔昧η蠼庾兞?wèn)題時(shí)，一定要關(guān)注具體的問(wèn)題情境。具體而言，t只跟力對(duì)時(shí)間的積累效應(yīng)有關(guān)，故t只能應(yīng)用于力對(duì)時(shí)間的積累效應(yīng)的情境。例如，可用t求變力的沖量，求平均加速度，也可應(yīng)用于動(dòng)量定理求物體的速度、動(dòng)量、通過(guò)的電荷量等。而不可以把應(yīng)用于做功過(guò)程求功、平均功率，也不能把用于動(dòng)能定理中求動(dòng)能、速度等。與之相對(duì)應(yīng)，只跟力對(duì)位移的積累效應(yīng)有關(guān)，故只能應(yīng)用于力對(duì)位移的積累效應(yīng)的情境。例如，可用求變力的功、變力的平均功率，也可應(yīng)用于動(dòng)能定理求物體的動(dòng)能、速度等。不可以把應(yīng)用于求沖量和平均加速度，也不能把用于動(dòng)量定理中求動(dòng)量、速度等。否則就會(huì)導(dǎo)致錯(cuò)誤［4］。

總之，在求解變力的相關(guān)問(wèn)題時(shí)，我們首先要搞清楚這兩種平均作用力的物理意義，進(jìn)而明白各自的應(yīng)用情境和條件，切不可不加判斷而隨意應(yīng)用平均作用力，唯有如此才能避免類(lèi)似的錯(cuò)誤發(fā)生。

參考文獻(xiàn)：

［1］高2020屆高2017級(jí)高三物理一輪復(fù)習(xí)步步高全書(shū)學(xué)案第十章專(zhuān)題強(qiáng)化十三（2020年）［EB/OL］.http：//www.wendangku.net/doc/4f2902191.html.

［2］繆鐘英，羅啟蕙.力學(xué)問(wèn)題討論［M］.合肥：中國(guó)科學(xué)技術(shù)大學(xué)出版社，2018：182.

［3］陳恩譜.物理原來(lái)可以這樣學(xué)［M］.長(zhǎng)沙：中南大學(xué)出版社，2018：253.

［4］崔金巖.關(guān)于兩種平均作用力及其應(yīng)用［J］.物理教學(xué)，1990，12（4）：10-13.

（欄目編輯" " 蔣小平）

收稿日期：2023-11-14

作者簡(jiǎn)介：范青林（1982-），男，中學(xué)高級(jí)教師，主要研究高中物理疑難問(wèn)題。