關于柔軟無彈性輕繩中加速度奇點問題的討論

劉天齊

摘 要 不少大學物理教材將“柔軟無彈性輕繩”作為一種經典模型并圍繞其理想性提出了一系列的題目，而不同的求解方法可能得到不同的答案，這本質上是因為這種模型中隱含著加速度奇點，而各解法對加速度奇點的處理不同。為了系統性地解決不同解法之間的分歧，本文首先選取了有關加速度奇點的三個經典物理問題，然后綜述了這些題目的若干解法，接著分析其正確性，最后歸納出了有關加速度奇點的物理問題的一般規律，并提出了多種應對方法，以更準確地處理有關加速度奇點的物理問題。

關鍵詞 大學物理;柔軟無彈性輕繩;加速度奇點;微元法

“加速度奇點”[1]指質量無窮小，但在某瞬時的加速度為無窮大的理想質點，常見于“柔軟無彈性輕繩或鏈條”的經典理想模型中[2-5]，求解有關這類模型的問題時可能產生不易發現的陷阱。本文將深入探究柔軟無彈性輕繩的動力學性質，找到加速度奇點問題的一般規律，以糾正柔軟無彈性輕繩中加速度奇點問題的解法上存在的錯誤。

1 鈍角擺問題

1.1 題目

常見的單擺都是銳角擺，即擺角不超過90°的單擺，如果擺角超過90°則為鈍角擺。如圖1（a）所示的一鈍角擺，一長為l 的柔軟無彈性輕繩一端系于光滑的釘子上，另一端掛著一個質量為m 的小球，一開始繩恰好繃直，高于釘子，θ 為30°。無初速度地釋放小球，求小球經過最低點時的速度u。

4 關于加速度奇點的討論

由上面三個例題可知，“加速度奇點”常存在于各種理想模型中，除了不可伸長的柔軟無彈性輕繩與鏈條之外，還有理想氣體分子間的碰撞等模型。從這些模型中可以歸納出應對“加速度奇點”的方法。

第一，“加速度奇點”可能使得質量無窮小的物體產生不容忽略的反作用力。由數學知識可知，處理無窮大量或無窮小量時，最嚴謹的做法是把做近似或取極限放在最后一步，為此，計算有關“加速度奇點”的問題時應當盡量最后再做近似，例如3.4節的解法在最后一步才令r→0+ 。此外，當柔軟無彈性輕繩的運動狀態可能會突變時，還應當采用微元法，例如繩落釘問題中，繩子在緊貼著釘子下落的過程中會突然躍離釘子，如果把繩整體化考慮，就容易犯3.2節的錯誤，而3.4節把繩微元化考慮，考慮到了繩的每一部分的狀態，不易出錯，并且3.4節相比3.3節的解法更為嚴謹，可以證明繩子在整體躍起之前不會有部分先躍起，且繩子在躍起前不會在離心力的作用下產生畸變。

第二，“加速度奇點”可能使得機械能不守恒，如繩落桌問題的題b和鈍角擺問題，這兩個問題中，繩子上的某一點或整條繩子在某一時刻為“加速度奇點”，且此處的速度大小有突變，類似于非彈性碰撞，機械能不守恒;繩落桌問題的題a和繩落釘問題中，繩子上的某處在某一時刻有“加速度奇點”，但此處的速度大小沒有突變，類似于彈性碰撞，機械能守恒。綜上，可以總結出以下規律：若“加速度奇點”處速度大小有突變，則機械能不守恒;若沒有“加速度奇點”，或“加速度奇點”處速度大小不變，則機械能守恒。

第三，“加速度奇點”可能使得物體運動的狀態發生突變，如繩落釘問題中繩子會躍起，又如繩落桌問題，如果沒有凹槽的限制，繩在速度達到一定值的時候會脫離桌沿而躍出[6]。為此，可以先假設系統穩定，再檢驗系統初值是否滿足假設，最后討論假設態的可持續性。這樣就可以證明系統在第一次出現狀態突變之前一直是穩定的，也可以導出何時出現第一次狀態突變。

5 結語

本文通過討論三個有關“加速度奇點”的例題，得出了“加速度奇點”可能產生的三個反常物理效果，最終給出了相應的應對方法，可以指導“加速度奇點”問題的建模與計算。未來的研究可進一步探索含有“加速度奇點”的柔軟無彈性輕繩在運動狀態突變后的行為，例如繩落釘問題中繩在躍起后的運動軌跡。

參考文獻

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