基于水平集帶方法的柔順機(jī)構(gòu)拓?fù)鋬?yōu)化研究

魏鵬 何磊 許偉鵬 陳起 劉杰 龍凱

（1.華南理工大學(xué) 土木與交通學(xué)院/亞熱帶建筑與城市科學(xué)全國重點(diǎn)實(shí)驗(yàn)室，廣東 廣州 510640；2.廣東技術(shù)師范大學(xué)機(jī)電學(xué)院，廣東 廣州 510665；3.燕山大學(xué) 機(jī)械工程學(xué)院，河北 秦皇島 066004；4.華北電力大學(xué) 新能源電力系統(tǒng)國家重點(diǎn)實(shí)驗(yàn)室，北京 102206）

機(jī)構(gòu)是一種能夠傳遞力、運(yùn)動(dòng)或能量的機(jī)械裝置。不同于傳統(tǒng)機(jī)構(gòu)的剛體運(yùn)動(dòng)工作方式，柔順機(jī)構(gòu)通過自身的彈性變形實(shí)現(xiàn)力與運(yùn)動(dòng)的傳遞［1］。憑借著在降低成本和提高性能等方面的顯著優(yōu)勢(shì)，柔順機(jī)構(gòu)在微創(chuàng)手術(shù)、空間機(jī)器人以及微型機(jī)電系統(tǒng)（MEMS）領(lǐng)域得到了廣泛的研究和應(yīng)用。

拓?fù)鋬?yōu)化是設(shè)計(jì)柔順機(jī)構(gòu)的有效手段，當(dāng)前主流的拓?fù)鋬?yōu)化方法包括變密度法［2］、漸進(jìn)結(jié)構(gòu)優(yōu)化法［3］以及水平集法［4-5］等。不同于需要先確定基本構(gòu)型的偽剛體模型設(shè)計(jì)方法，拓?fù)鋬?yōu)化方法在僅已知設(shè)計(jì)域、邊界條件、輸入和輸出條件的前提下，就可綜合設(shè)計(jì)出大量不同形式的功能型柔順機(jī)構(gòu)［6］。同時(shí)，柔順機(jī)構(gòu)分析的非伴隨特性也使其成為考驗(yàn)優(yōu)化方法的經(jīng)典算例。

在方法應(yīng)用層面，變密度法在柔順機(jī)構(gòu)設(shè)計(jì)中的發(fā)展歷史最為久遠(yuǎn)。1994年，Ananthasuresh等［7］首次將拓?fù)鋬?yōu)化方法應(yīng)用在柔順機(jī)構(gòu)的設(shè)計(jì)中，證實(shí)了拓?fù)鋬?yōu)化技術(shù)可以成為多功能柔順機(jī)構(gòu)設(shè)計(jì)的有力工具。1997年，Sigmund［8］基于固體各向同性材料懲罰模型（SIMP模型），以幾何增益等作為目標(biāo)函數(shù)研究了柔順機(jī)構(gòu)的優(yōu)化設(shè)計(jì)問題。李兆坤等［9］基于變密度法提出了一種考慮可靠度的幾何非線性柔順機(jī)構(gòu)設(shè)計(jì)方法。張憲民等［10］基于SIMP模型和并行求解策略，提出了一種多材料熱固耦合柔順機(jī)構(gòu)的設(shè)計(jì)方法。

此外，水平集方法憑借其在處理復(fù)雜拓?fù)溲莼约疤峁┣逦Y(jié)構(gòu)邊界等方面的優(yōu)勢(shì)，也逐漸成為柔順機(jī)構(gòu)優(yōu)化設(shè)計(jì)的重要方法［11］。水平集方法首先由Osher等［4］提出，用于描述曲面或曲線的演化過程，后由Sethian等［5］引入結(jié)構(gòu)拓?fù)鋬?yōu)化領(lǐng)域。該方法的基本原理是通過建立高一維的水平集函數(shù)，以零水平集面隱式表達(dá)動(dòng)態(tài)變化的結(jié)構(gòu)邊界。Zhu等［12］基于水平集方法提出了一種多點(diǎn)輸出柔順機(jī)構(gòu)的設(shè)計(jì)方法，該方法無需在輸入輸出位置施加額外的彈簧裝置，優(yōu)化結(jié)果表明該方法可以有效抑制“類鉸鏈”結(jié)構(gòu)的產(chǎn)生。

傳統(tǒng)的水平集方法通過求解Hamilton-Jacobi（H-J）偏微分方程實(shí)現(xiàn)水平集函數(shù)的更新演化，但函數(shù)曲面上的點(diǎn)只能通過水平運(yùn)動(dòng)來實(shí)現(xiàn)拓?fù)溥吔绲倪B接與斷開，因此傳統(tǒng)水平集方法的優(yōu)化結(jié)果依賴于初始設(shè)計(jì)中孔洞的設(shè)置，存在一定的初始設(shè)計(jì)依賴性。近年來提出的參數(shù)化水平集方法［13］在一定程度上改善了傳統(tǒng)水平集方法的初始設(shè)計(jì)依賴性缺陷，但仍存在諸如優(yōu)化過程不穩(wěn)定等問題需要進(jìn)一步解決。

水平集方法在優(yōu)化過程中的不穩(wěn)定是由于優(yōu)化過程中的材料分布不存在中間密度，材料密度的突變易造成不連續(xù)的拓?fù)渥兓M(jìn)而影響優(yōu)化過程的穩(wěn)定性。為了克服這一缺陷，Wei等［14］結(jié)合變密度法的相關(guān)概念提出了水平集帶方法，即在零水平集周圍引入水平集帶，將零水平集面擴(kuò)大為具有一定寬度的水平集帶范圍。水平集帶區(qū)域內(nèi)的材料密度通過插值可以連續(xù)地分布于［0，1］范圍內(nèi)。隨著優(yōu)化過程的推進(jìn)，水平集帶寬度按一定速率逐步減小至0，回歸至零水平集面，同時(shí)水平集帶區(qū)域的材料密度也不斷向0-1分布靠攏，最終使得優(yōu)化過程穩(wěn)定地收斂于最優(yōu)解。

本文基于引入水平集帶的參數(shù)化水平集方法，以最大互應(yīng)變能為目標(biāo)函數(shù)，在材料體積約束下對(duì)具有不同初始設(shè)計(jì)的位移反向器優(yōu)化問題進(jìn)行了研究。優(yōu)化結(jié)果表明，水平集帶方法可有效地改善柔順機(jī)構(gòu)優(yōu)化過程中初始設(shè)計(jì)依賴性問題，能夠得到更加理想的目標(biāo)函數(shù)。此外還研究了具有不規(guī)則設(shè)計(jì)域和考慮非線性效應(yīng)的柔順機(jī)構(gòu)拓?fù)鋬?yōu)化問題，證明了該方法在面向?qū)嶋H工程的復(fù)雜設(shè)計(jì)問題中的適用性。

1 引入水平集帶的參數(shù)化水平集方法

1.1 參數(shù)化水平集方法

水平集方法通過高一維度的水平集函數(shù)的零等值面隱式表達(dá)結(jié)構(gòu)邊界，通過更新水平集函數(shù)實(shí)現(xiàn)結(jié)構(gòu)邊界的演化，進(jìn)而實(shí)現(xiàn)結(jié)構(gòu)拓?fù)湫问降母淖儭Ｋ郊瘮?shù)的定義通常如下：

式中，D為設(shè)計(jì)域，x∈D表示設(shè)計(jì)域內(nèi)任意一點(diǎn)，t為水平集函數(shù)演化的偽時(shí)間步，Ω為實(shí)體材料區(qū)域，?Ω為實(shí)體材料區(qū)域的邊界。水平集函數(shù)的形式如圖1所示。

圖1 水平集函數(shù)曲面及其零水平集Fig.1 Level set function and its zero-level set

傳統(tǒng)水平集方法通過求解哈密頓-雅可比偏微分方程實(shí)現(xiàn)水平集函數(shù)的更新，即

式中，Vn為結(jié)構(gòu)邊界演化的法向速度場。在參數(shù)化水平集方法中，水平集函數(shù)通過多個(gè)徑向基函數(shù)插值得到，形式如下：

式中，gk(x)為徑向基函數(shù)，αk(t)為相應(yīng)的擴(kuò)展系數(shù)，nk為徑向基函數(shù)的總數(shù)。徑向基函數(shù)由于其較好擬合性能，近年來被應(yīng)用在水平集方法中以實(shí)現(xiàn)水平集函數(shù)的參數(shù)化構(gòu)造［15］。基于徑向基函數(shù)構(gòu)造的水平集函數(shù)通過擴(kuò)展系數(shù)α(t)的更新實(shí)現(xiàn)演化，即

式中，Δt為時(shí)間步長，G為與徑向基函數(shù)分布相關(guān)的可逆矩陣，B矩陣的表達(dá)式為

式中，δ(φ)為替換|?φ|的近似函數(shù)［13］。

1.2 引入水平集帶的參數(shù)化水平集方法

參數(shù)化水平集方法通過擴(kuò)展系數(shù)的更新實(shí)現(xiàn)了水平集函數(shù)的演化，但設(shè)計(jì)域內(nèi)的材料密度嚴(yán)格遵從0-1分布，使得演化過程中的拓?fù)渥兓狈B續(xù)性，會(huì)導(dǎo)致迭代過程不夠穩(wěn)定從而陷入局部最優(yōu)。鑒于此，Wei等［14］提出了水平集帶方法，該方法結(jié)合變密度法中材料密度連續(xù)變化的優(yōu)點(diǎn)，在水平集函數(shù)的零水平集面周圍引入具有一定寬度的水平集帶，使得水平集函數(shù)的零水平集等值面擴(kuò)大到相應(yīng)的帶寬范圍。水平集帶區(qū)域內(nèi)的材料密度可以通過如下的Heaviside函數(shù)計(jì)算得到：

式中，h為水平集帶的寬度，ε為設(shè)定的材料密度的最小值，本文算例中同取為0.001。水平集帶區(qū)域內(nèi)的材料密度可以通過Heaviside函數(shù)插值實(shí)現(xiàn)分布于0.001～1之間的連續(xù)變化，從而避免優(yōu)化過程中由于孔洞出現(xiàn)或消失造成的材料密度突變。水平集帶寬度的大小對(duì)材料密度的影響如圖2所示，隨著水平集帶的寬度的減小，帶寬范圍內(nèi)的材料密度逐漸趨近于0-1分布。

圖2 水平集帶寬度對(duì)材料密度的影響Fig.2 Effect of the level set band width on the material density

2 優(yōu)化模型

柔順機(jī)構(gòu)的主要設(shè)計(jì)目的是在輸入端施加驅(qū)動(dòng)后，能夠在輸出端得到目標(biāo)形式的運(yùn)動(dòng)，因此機(jī)構(gòu)必須具有一定的柔性才能保證運(yùn)動(dòng)產(chǎn)生。機(jī)構(gòu)的柔性可以通過互應(yīng)變能（MSE）表示，互應(yīng)變能越大，表示機(jī)構(gòu)的柔性越大，輸出端位移也越大。

式中，J為互應(yīng)變能，K為結(jié)構(gòu)剛度，U1為在結(jié)構(gòu)的輸入端施加實(shí)際載荷產(chǎn)生的結(jié)構(gòu)位移矢量，U2為在結(jié)構(gòu)輸出端施加單位虛荷載產(chǎn)生的結(jié)構(gòu)位移矢量。以互應(yīng)變能最大化為目標(biāo)函數(shù)、材料體積為約束的優(yōu)化模型可以表示為

在上述優(yōu)化模型中：

式中：J(u，φ)為目標(biāo)函數(shù)，即結(jié)構(gòu)互應(yīng)變能；u1為輸入端施加真實(shí)載荷后得到的結(jié)構(gòu)位移；u2為在輸出端施加單位載荷后的結(jié)構(gòu)位移；ε為應(yīng)變張量；C為彈性張量；v為虛位移；U為準(zhǔn)許位移場；G(φ)為限制材料用量的體積約束；Vmax為用體積表示的材料最大用量；u0為結(jié)構(gòu)位移邊界條件；n為邊界法向單位向量；τ1、τ2分別為在輸入端和輸出端施加的面力荷載；a(u，v，φ)為能量雙線性函數(shù)；l1(v，φ)、l2(v，φ)分別為上述兩種荷載情況下的外力虛功；b為體力，在本文算例中未考慮。H(φ)用于定義水平集函數(shù)曲面上某一點(diǎn)的材料密度，通常如下式所示：

引入水平集帶后，H(φ)則更新為式（6）的形式，兩者最大的區(qū)別在于引入水平集帶之后，材料允許在迭代過程中存在中間密度。由互應(yīng)變能密度和控制體積約束的拉格朗日乘子確定如式（14）所示的法向速度Vn后，通過最速下降法對(duì)優(yōu)化問題進(jìn)行求解。

有關(guān)水平集帶方法的更多細(xì)節(jié)可以參考Wei等［14］關(guān)于結(jié)構(gòu)柔順度最小化問題的研究。

3 數(shù)值算例

本節(jié)通過位移反向器算例以及旋轉(zhuǎn)柔順機(jī)構(gòu)算例驗(yàn)證水平集帶方法在柔順機(jī)構(gòu)設(shè)計(jì)中的有效性，并將該方法拓展應(yīng)用到考慮非線性效應(yīng)的柔順機(jī)構(gòu)優(yōu)化設(shè)計(jì)問題中。本節(jié)的算例都將采用無量綱參數(shù)。

3.1 位移反向器

位移反向器的設(shè)計(jì)域和邊界條件如圖3所示，設(shè)計(jì)域被劃分為40×40個(gè)正四邊形單元，左端上、下部固定，輸入端和輸出端分別施加一根彈性系數(shù)為0.1的彈簧。根據(jù)對(duì)稱性，該模型只取上半部分進(jìn)行計(jì)算，設(shè)計(jì)域下邊界施加豎向位移約束，輸入端荷載fin大小為1，施加在左端下部，其中實(shí)體材料部分的彈性模量E0=1，空材料的彈性模量為Emin=10-3E0，材料的泊松比μ=0.3，最大體積約束為整個(gè)設(shè)計(jì)域體積的30%。

圖3 位移反向器設(shè)計(jì)域及邊界條件Fig.3 Design domain and boundary conditions of a compliant inverter

首先采用引入水平集帶且基于MultiQuadric樣條函數(shù)的參數(shù)化水平集方法對(duì)上述問題進(jìn)行優(yōu)化求解，優(yōu)化過程以及優(yōu)化結(jié)果如表1所示。

表1 位移反向器優(yōu)化過程及結(jié)果Table 1 Optimization process and results of the compliant inverter

優(yōu)化過程中的中間優(yōu)化結(jié)果始終保持清晰的拓?fù)溥吔纾罱K得到的優(yōu)化結(jié)果也較為合理。此外，從中間優(yōu)化結(jié)果的密度分布中可以觀察到明顯的灰度區(qū)域，反映出該方法與傳統(tǒng)參數(shù)化水平集方法的區(qū)別。為驗(yàn)證水平集帶方法的有效性，設(shè)定了如表2第1列所示的4種不同初始設(shè)計(jì)，對(duì)比了未使用和使用水平集帶的優(yōu)化結(jié)果。表2中的第1列為4種不同的初始設(shè)計(jì)，第2列對(duì)應(yīng)各初始設(shè)計(jì)下未引入水平集帶的優(yōu)化結(jié)果，第3列對(duì)應(yīng)引入水平集帶的優(yōu)化結(jié)果。水平集帶初始寬度設(shè)置為5，每一個(gè)迭代步減小0.1。表2也給出了各初始設(shè)計(jì)對(duì)應(yīng)的優(yōu)化結(jié)果目標(biāo)值。從優(yōu)化結(jié)果的拓?fù)湫问絹砜矗胨郊瘞Х椒ê臀匆胨郊瘞Х椒ǖ膬?yōu)化結(jié)果拓?fù)湫问较嗨疲诓煌某跏荚O(shè)計(jì)下均能得到相似的結(jié)果。但引入水平集帶的優(yōu)化結(jié)果拓?fù)湫问礁鼮橄嘟沂艹跏荚O(shè)計(jì)的影響更小；從目標(biāo)函數(shù)值來看，各初始設(shè)計(jì)下在引入水平集帶后優(yōu)化結(jié)果的輸出端位移更大。從優(yōu)化結(jié)果的差異性來看，未引入水平集帶方法的4種初始設(shè)計(jì)得到的目標(biāo)函數(shù)值標(biāo)準(zhǔn)差為9.96×10-3，而引入水平集帶的目標(biāo)函數(shù)值標(biāo)準(zhǔn)差減小為1.76×10-3，較為明顯地緩解了參數(shù)化水平集方法對(duì)初始設(shè)計(jì)的依賴性。此外，對(duì)比引入和未引入水平集帶方法優(yōu)化結(jié)果的幾何特征可以發(fā)現(xiàn)，引入水平集帶后輸出端的橫向桿件長度均小于未引入水平集帶時(shí)的長度。在該桿件長度較小的情況下，位移反向器獲得了更大的位移。圖4展示了表2第1行優(yōu)化結(jié)果的應(yīng)變能分布，可以觀察到引入水平集帶后的優(yōu)化結(jié)果（圖4右）中，類鉸鏈處應(yīng)變能相對(duì)較小。

表2 不同初始設(shè)計(jì)的位移反向器的優(yōu)化結(jié)果Table 2 Optimal results of the compliant inverter with different initial designs

圖4 參數(shù)化水平集方法優(yōu)化結(jié)果的應(yīng)變能分布Fig.4 Strain energy distribution of the optimal results using parameterized level set method

3.2 旋轉(zhuǎn)柔順機(jī)構(gòu)

隨著微型機(jī)電系統(tǒng)的發(fā)展，具有特定力學(xué)性能的柔順機(jī)構(gòu)也逐漸成為研究的熱點(diǎn)。旋轉(zhuǎn)柔順機(jī)構(gòu)要求在輸入端施加荷載后，能夠在輸出端形成旋轉(zhuǎn)力矩。例如圖5所示的由6個(gè)三角形組成設(shè)計(jì)域的旋轉(zhuǎn)機(jī)構(gòu)設(shè)計(jì)問題，當(dāng)特定位置同時(shí)施加荷載作用時(shí)，機(jī)構(gòu)中心處會(huì)形成力矩拉動(dòng)中部桿件旋轉(zhuǎn)運(yùn)動(dòng)［16］。考慮對(duì)稱性時(shí)，該優(yōu)化問題的設(shè)計(jì)域及邊界條件如圖6所示。

圖5 旋轉(zhuǎn)柔順機(jī)構(gòu)設(shè)計(jì)問題Fig.5 Design problem of a rotational compliant mechanism

圖6 旋轉(zhuǎn)柔順機(jī)構(gòu)設(shè)計(jì)域及邊界條件Fig.6 Design domain and boundary conditions of a rotational compliant mechanism

由于該優(yōu)化問題的設(shè)計(jì)域?yàn)槿切危灰瞬捎谜倪呅尉W(wǎng)格進(jìn)行離散化。得益于參數(shù)化水平集方法在處理具有非結(jié)構(gòu)化網(wǎng)格的優(yōu)化問題上的優(yōu)勢(shì)，本算例將該模型劃分為12 532個(gè)三角形單元，共有6 444個(gè)節(jié)點(diǎn)，最大體積約束為設(shè)計(jì)域體積的30%，水平集帶初始寬度設(shè)置為5，每個(gè)優(yōu)化迭代步減小0.1。該優(yōu)化問題采用SIMP方法和未引入水平集帶的參數(shù)化水平集方法以及引入水平集帶的參數(shù)化水平集方法的優(yōu)化結(jié)果分別如圖7（a）、7（b）、7（c）所示，采用水平集帶方法的優(yōu)化結(jié)果拼裝為整體后的效果如圖8所示。該算例中引入了水平集帶的參數(shù)化水平集方法的優(yōu)化結(jié)果與基于SIMP方法的優(yōu)化結(jié)果有一定的相似性，優(yōu)化結(jié)果的目標(biāo)函數(shù)值為1.244 2，而未引入水平集帶的優(yōu)化結(jié)果目標(biāo)函數(shù)值為1.130 7。可見引入水平集帶使得材料密度可以連續(xù)變化，從而更有利于尋找優(yōu)化問題的全局最優(yōu)解。同時(shí)對(duì)具有非結(jié)構(gòu)化網(wǎng)格柔順機(jī)構(gòu)優(yōu)化問題的成功求解也證明了該方法在面向工程的復(fù)雜設(shè)計(jì)問題上的有效性。

圖7 SIMP法和參數(shù)化水平集方法的優(yōu)化結(jié)果對(duì)比Fig.7 Comparison of optimal results using SIMP method and parameterized level set method

圖8 旋轉(zhuǎn)柔順機(jī)構(gòu)優(yōu)化結(jié)果Fig.8 Optimal result of the rotational compliant mechanism

3.3 大變形位移反向器

柔順機(jī)構(gòu)通過自身的變形來實(shí)現(xiàn)力、能量或位移的傳遞。僅在小變形范圍內(nèi)工作的柔順機(jī)構(gòu)功能受到嚴(yán)重限制，因此實(shí)際工程中往往需要能夠產(chǎn)生大變形的柔順機(jī)構(gòu)，其輸出力與位移之間的關(guān)系呈非線性。以考慮大變形效應(yīng)的位移反向器優(yōu)化設(shè)計(jì)為例，根據(jù)對(duì)稱性取上半部分模型進(jìn)行計(jì)算，圖9為位移反向器的設(shè)計(jì)域和邊界條件。

圖9 考慮大變形效應(yīng)的位移反向器設(shè)計(jì)域及邊界條件Fig.9 Design domain and boundary conditions of a compliant inverter with large deformation

該設(shè)計(jì)域劃分為100×50個(gè)正四邊形單元，共5 151個(gè)節(jié)點(diǎn)，兩側(cè)添加的彈簧以及其他邊界條件與3.1中算例相同。為了克服求解過程中單元嚴(yán)重畸變?cè)斐傻臄?shù)值求解困難，本文采用Luo等［17］提出的附加超彈性單元方法改善數(shù)值不穩(wěn)定現(xiàn)象。本算例的原始單元材料采用Neo-Hookean模型，附加超彈性單元材料采用Yeoh模型［18-19］。

考慮大變形效應(yīng)后，未引入水平集帶和引入水平集帶的參數(shù)化水平集方法的目標(biāo)函數(shù)和優(yōu)化結(jié)果分別如表3和表4所示。此算例中目標(biāo)函數(shù)值同時(shí)也為輸出端位移值的負(fù)值。在不同初始設(shè)計(jì)條件下，算例中未引入水平集帶方法的優(yōu)化過程基本不夠穩(wěn)定，迭代曲線有比較明顯的震蕩現(xiàn)象；而引入水平集帶后優(yōu)化過程的穩(wěn)定性明顯改善，其中初始設(shè)計(jì)為全實(shí)體材料的算例1的優(yōu)化過程如圖10所示。引入水平集帶方法后，優(yōu)化結(jié)果的目標(biāo)函數(shù)值比未引入水平集帶時(shí)平均提高了6.37%。水平集帶同樣能改善考慮幾何非線性效應(yīng)柔順機(jī)構(gòu)優(yōu)化問題的初始設(shè)計(jì)依賴性，表4中不同初始設(shè)計(jì)算例在未引入水平集帶時(shí)其優(yōu)化結(jié)果結(jié)構(gòu)形式相差較大，目標(biāo)函數(shù)值的標(biāo)準(zhǔn)差為2.86×10-4，而引入水平集帶后，其優(yōu)化結(jié)果在結(jié)構(gòu)形式上更為相似且材料分布更為合理，目標(biāo)函數(shù)值的標(biāo)準(zhǔn)差減小為4.33×10-5。本節(jié)算例的優(yōu)化過程和優(yōu)化結(jié)果表明引入水平集帶的參數(shù)化水平集方法在求解考慮大變形效應(yīng)的柔順機(jī)構(gòu)拓?fù)鋬?yōu)化問題時(shí)能夠得到合理的優(yōu)化結(jié)果和理想的目標(biāo)函數(shù)，更好地改善初始設(shè)計(jì)依賴性問題；且相對(duì)于未引入水平集帶的參數(shù)化水平集方法，優(yōu)化過程更加穩(wěn)定，迭代曲線更加光滑，最終可以得到相對(duì)更加合理的拓?fù)湫问健?/p>

表3 大變形位移反向器的優(yōu)化目標(biāo)函數(shù)值Table 3 Objective function values of the compliant inverter with large deformation

表4 大變形位移反向器的優(yōu)化結(jié)果及輸出端位移收斂曲線Table 4 Optimal results and convergence curves of the output displacement of the compliant inverter with large deformations

圖10 考慮大變形效應(yīng)的位移反向器問題的輸出端位移和體積分?jǐn)?shù)收斂曲線（算例1）Fig.10 Convergence curve of the output displacement and material volume fraction of the compliant inverter with large deformations （Example 1）

4 結(jié)語

本文基于引入水平集帶的參數(shù)化水平集方法，對(duì)柔順機(jī)構(gòu)拓?fù)鋬?yōu)化問題進(jìn)行了研究。通過位移反向器、具有不規(guī)則設(shè)計(jì)域的旋轉(zhuǎn)柔順機(jī)構(gòu)及考慮大變形效應(yīng)的位移反向器優(yōu)化算例，顯示出引入水平集帶的參數(shù)化水平集方法在柔順機(jī)構(gòu)優(yōu)化設(shè)計(jì)問題中的有效作用。在參數(shù)化水平集方法中引入水平集帶使得帶寬范圍內(nèi)的材料密度連續(xù)變化，增強(qiáng)了優(yōu)化過程的穩(wěn)定性；同時(shí)有效地緩解了優(yōu)化結(jié)果對(duì)初始設(shè)計(jì)的依賴性，得到了更優(yōu)的目標(biāo)函數(shù)值。

本文的柔順機(jī)構(gòu)優(yōu)化模型以最大互應(yīng)變能作為單一目標(biāo)函數(shù)來衡量機(jī)構(gòu)的柔性，但實(shí)際工程應(yīng)用中的柔順機(jī)構(gòu)還需要一定的剛度來承受荷載以保證正常工作。此外，根據(jù)目標(biāo)需求的不同，柔順機(jī)構(gòu)還需要具有多點(diǎn)輸出、恒定輸出力等多種性能指標(biāo)。因此多功能柔順機(jī)構(gòu)優(yōu)化設(shè)計(jì)是當(dāng)前重要的研究方向，也是未來的研究工作。