關(guān)于一類(lèi)帶耗散發(fā)展方程收斂率估計(jì)的注記

樊 龍

（山西大同大學(xué)數(shù)學(xué)與統(tǒng)計(jì)學(xué)院，山西大同 037009）

在自然科學(xué)領(lǐng)域，有許多現(xiàn)象可以用帶有耗散的非線性發(fā)展方程來(lái)模擬，具體參看文獻(xiàn)[3-5]，該方程由Hsieh 在文獻(xiàn)[1]中給出，具體方程如下

其 中，σ,α,β以 及ν為正常數(shù)，且滿足σ＜α，0 ＜β＜1，初值為

Tang和Zhao在文獻(xiàn)[2]中討論了Cauchy問(wèn)題（1）（2）化簡(jiǎn)形式解的全局存在性和收斂率估計(jì)，其中，α=β且σ=1。Zhu 和Wang 在文獻(xiàn)[6]中證明了Cauchy 問(wèn)題（1）（2）在σ=1 和α=β下的全局存在性，并給出了解的指數(shù)收斂估計(jì)。

研究的方程如下

其中，α,β以及ν為正常數(shù)，且滿足σ＜α，0 ＜β＜1,初值為

相較于先前的研究工作，不同點(diǎn)在于方程（3）（4）中的非線性項(xiàng)(ψθ)x，這會(huì)帶來(lái)更為復(fù)雜的計(jì)算。

安排如下，在第2 節(jié)中給出Cauchy 問(wèn)題（3）（4）收斂率估計(jì)中一個(gè)重要的定理證明，在第3節(jié)中給出了該定理的一個(gè)具體應(yīng)用，并給出具體能量積分過(guò)程。

1 主要結(jié)果及證明

在本節(jié)中首先給出主要定理。

定理1假設(shè)給定函數(shù)g(t) ≥0，并且g(t) ∈L1[0,∞]，g′(t) ∈L1[0,∞]，則有g(shù)(t) →0，當(dāng)t→0。

證明：首先我們有由g′(t) ∈L1[0,∞]，當(dāng)t1和t2足夠接近時(shí)可得

當(dāng)t1,t2→∞時(shí)，可知g(t)為常函數(shù)，即g(t)=a

再由g(t) ∈L1[0,∞]，若假設(shè)a≠0，有

其中，M為一足夠大正數(shù)，易知I2為無(wú)窮大，與已知條件矛盾，故假設(shè)不成立，定理證畢。

2 應(yīng)用

在關(guān)于方程（3）的能量估計(jì)中，首先引入如下矯正函數(shù)，關(guān)于具體計(jì)算過(guò)程在此省略，可參看文獻(xiàn)[6]

其中，為G(x,t)為熱核函，具體形式如下

m0(x)為有緊支集且連續(xù)滿足條件

作如下變換

可將方程（3）化為如下形式

初值為

其中，

接下來(lái)問(wèn)題轉(zhuǎn)換為Cauchy問(wèn)題（5）（6）解的衰減估計(jì)，首先需解決Cauchy問(wèn)題（5）（6）解的存在性，通過(guò)將方程（5）簡(jiǎn)化為積分方程，再采取能量積分的方法，容易得到方程解的存在性，在此省略證明過(guò)程，具體過(guò)程可以參看文獻(xiàn)[6]。

關(guān)鍵問(wèn)題是衰減估計(jì)，為了得到解的衰減性質(zhì)，需采用先驗(yàn)估計(jì)的方法。首先假設(shè)

其中，δ是一個(gè)很小的正數(shù)。

接下來(lái)問(wèn)題分為三個(gè)步驟：

首先，在方程（5）的兩端同乘2u以及2v，并關(guān)于x和t在?和(0,t)上積分可得

通過(guò)計(jì)算上式右端每一項(xiàng)，可得

再由

以及Gronwall不等式可知

其次，在方程（5）的兩端關(guān)于x求導(dǎo)一次，并且同乘2ux以及2vx，并關(guān)于x和t在?和(0,t)上積分，同理可得

最后，在方程（5）的兩端關(guān)于x求導(dǎo)兩次，并且同乘2uxx以及2vxx，并關(guān)于x和t在?和(0,t)上積分可得

證明過(guò)程類(lèi)似于步驟1，在此省略。

注：在步驟2中不必對(duì)方程（5）求導(dǎo)，直接在方程兩端同時(shí)乘以-2uxx和-2vxx，然后分部積分，再進(jìn)行能量估計(jì)，同樣可以得到相同的結(jié)論。

由于給出了條件δ和δ0充分小的條件，在此條件之下可知先驗(yàn)估計(jì)（7）是封閉的，因此先驗(yàn)估計(jì)成立，即（7）式成立。

綜合以上結(jié)果可得：

其中，C是不依賴于時(shí)間t的正常數(shù)，所以取g(t)=，可 知g(t) ∈L1(0,∞)，再由分部積分可得

同理可得v的收斂性質(zhì)。