寬象限相依樣本下頻率插值密度估計的收斂性質

潮學琳，胡學平

（安慶師范大學數理學院,安徽安慶 246133）

概率密度估計是數理統計中經典問題，其方法主要有直方圖估計、頻率多邊形密度估計、核估計和最近鄰估計，其頻率多邊形密度估計是由Scott[1]基于直方圖技術提出，頻率多邊形密度估計不僅在相同計算量下比直方圖估計收斂速度快，而且在計算二元數據集合比核密度估計更簡單、便捷，所以對其進行進一步探究是具有理論價值和實際意義。

關于頻率插值密度估計，已有很多研究成果。文[2]在φ混合樣本下探究了頻率插值密度估計的強相合性，梁丹[3]分別在α混合、φ混合、NA序列樣本下討論了頻率插值密度估計的相合性以及相應的收斂速度。文[4-5]利用指數不等式，分別在NA 和寬象限相依樣本下，研究了頻率插值密度估計的強相合性。鄧新[6]在廣義負相依下研究邊緣頻率插值密度估計的相合性。

1 相關定義

文[7]在研究風險模型中提出了寬限相依（widely orthant dependence，簡記為WOD）序列的定義：

定義1 設{Xn,n≥1} 是隨機序列，若存在一個有限正實數列{gL(n),n≥1}，滿足對每個n≥1 及x1,x2,…,xn∈R，都有

若存在一個有限正實數列{gU(n),n≥1}，滿足對每個n≥1及x1,x2,…,xn∈R，都有

王學軍[8]建立了WOD 列的Rosenthal 型不等式，并研究了完全收斂性及非參數回歸模型估計的相合性。李永明[9]在WOD 隨機樣本下，討論密度函數和失效率函數遞歸核估計的逐點相合性。文[10-11]在WOD 隨機樣本下分別探討了核密度估計的收斂性與一致強相合性。

下面簡要介紹頻率多邊形插值密度估計的定義：

設X是密度函數為f(x)的連續隨機變量，并令X1,X2,…,Xn是從總體中抽取的一組樣本。考慮在實軸上等距分割，…＜x-2＜x-1＜x0＜x1＜x2…，令第k個區間為Ik=[(k-1)bn,kbn)，bn是窗寬，考慮相鄰的兩個區間Ik0=[(k0-1)bn,k0bn)和Ik1=[k0bn,(k0+1)bn)，其中k1=k0+1，定義vk0和vk1分別為落在兩個區間觀測點的個數，則有：

于是密度函數f(x)在區間Ik0和Ik1上的直方圖估計分別為：

受上述學者研究啟發，在WOD 樣本下，運用Rosenthal 不等式和截尾方法探討了頻率插值估計的強相合性和r 階矩收斂。全文C 表示正常數，在不同地方可以取不同值，所有極限都是在n→∞時獲得，g(n)表示WOD列的控制數。

2 假設條件及主要結果

首先給出需要的一些假設條件：

(A1){Xn,n≥1} 為同分布WOD 隨機序列，其密度函數f(x)在R上有界；

(A2)窗寬bn→0；

(A3)g(n)=O(nλ)，(λ＞0)；

(A4)τn是正常數列，且滿足τn→0，(nbnτn2)-1=o(n-α)，(α＞λ＞0)；

(A5)f(x)在x∈R上是可微的，且對于某個M＞0，有|f′(x)|≤M。

注：假設(A1)及(A2)為文[2]、[4]和[5]中的條件，對寬泛的WOD 樣本，假設(A3)與文[9]-[10]定理中的條件類似，為得到強相合性增加了條件(A4)。

定理1 若假設條件(A1)-(A4)成立，且對p≥2，滿足E|X1|p＜∞，當αp/2 -λ ＞2 時，對R 的緊子集D有

此外若還有條件(A5)成立，那么

定理2 若假設條件(A1)-(A4)成立，對某個T＞0有

此外若還有(A5)成立且E|X1|2/T＜∞，則有

3 定理的證明

3.1 主要引理

引理1[9]設隨機變量X1,X2,…,Xn是WOD 序列，若f1,f2,…,fn均為非降函數或（非增函數），則隨機變量f1(X1),f2(X2),…,fn(Xn)仍為WOD序列。

引理2[8]（Rosenthal 型不等式）設{Xn,n≥1} 是WOD 序列，當p≥1，有E|Xn|p＜∞(n≥1)。進一步假設當p≥2 時，EXn=0(n≥1)，那么存在正常數C1(p)和C2(p)僅依賴于p，使得

3.2 證明過程

于是，對任意ε＞0，有

對任意的x∈Dj時，有

對給定的j，令

由引理1 可得{ξi,1 ≤i≤n} 為WOD 的，且滿足Eξi=0，|ξi|≤2，于是有

由f(x)的有界性可得

再由Markov 不等式和引理2，條件(A3)及條件(A4)得

可得

類似地，也有

聯合（8）～（10）式，有

根據（7）式和nbn→∞，因此

當αp/2 -λ＞2時，從而有

由Borel-Cantelli引理可知(2)式成立。

下證(3)式，當x∈Dj時，令

對x∈Dj，將F(jbn)和F((j-1)bn)在x 處泰勒展開，可得

類似可得

因此，

于是可得

從而(3)式成立，結合(2)式，可得(4)式，定理1證畢。

定理2 的證明令An=(-∞,-nT)∪(nT,+∞)，T＞0，并定義Dj=[ (j-1/2)bn,(j+1/2)bn)，其 中，對任意的ε＞0，有

類似定理1的證明，可得（5）式及

進一步可得

結合（12）和（13）式，有

由（5）、（11）和（14）式，可得

（6）式得證，定理2證畢。

定理3的證明由Cr不等式和Jensen不等式可得

下面只需證I1→0，

由引理1可知，{Xi,1 ≤i≤n} 是WOD 的，{ξis,i≤n} (s=1,2,3)仍為同分布的WOD 隨機序列，且Eξis=0(s=1,2,3)，|ξis|≤2，結合Cr不等式和引理2有

當α＞λ＞0 時，結合以上證明可得，從而結論得證。