拋物線中的定值、最值問題探究

摘 要：拋物線中的定值問題和最值問題是個難點，主要涉及動點及動點的路徑問題，所利用的結論主要是兩點之間線段最短以及垂線段最短.文章以2017年遵義市的一道中考題為例，先利用網絡畫板進行實驗探究，然后給出試題的多種解法.

關鍵詞：定值；最值；動點；相似三角形

中圖分類號：G632 文獻標識碼：A 文章編號：1008-0333（2024）05-0002-03

初中最值問題大致分為幾何最值和代數最值兩類. 幾何最值是指在一定條件下，求幾何圖形中某個確定的幾何量（如長度、角度、面積等）的最大值或最小值，而代數最值是指求一些簡單的代數式或與實際問題相關（如用料最省、成本最低、能耗最少、產值最高、利潤最高等）的問題.

1 幾何最值問題的求解思路

在初中階段，解決幾何最值問題的依據有兩個，一是兩點之間，線段最短；二是垂線段最短.由這兩個依據延伸出以下常用的結論：三角形任意兩邊之和大于第三邊，任意兩邊之差小于第三邊；過圓內一點的所有弦中，垂直于過這點的直徑的弦最短；直徑是圓中最長的弦.

因此，幾何方法求最值的思路是：將幾何圖形中的最值轉化成基本的幾何模型——“兩點之間，線段最短”和“垂線段最短”.其關鍵是抓住運動變化中不變的相關量（長度、角度、面積）與變化的相關量比較大小.即通過平移、旋轉、軸對稱將多條線段首尾相連轉化到兩定點之間的線段上，實現“折”轉“直”，利用“兩點之間，線段最短”說明最小.或者將問題轉化為一定點到一條定直線的距離， 利用“垂線段最短”即可得出最小值.

2 幾何最值案例分析

2.1 試題呈現

如圖1，拋物線y=ax2+bx-a-b（a<0，a，b為常數）與x軸交于A，C兩點，與y軸交于B點，直線AB的函數關系式為y=（8/9）x+（16/3）.

（1）求該拋物線的解析式與C點坐標.

（2）已知點M（m，0）是線段OA上的一個動點，過點M作x軸的垂線l分別與直線AB和拋物線交于D，E兩點，當m為何值時，ΔBDE恰好是以DE為底邊的等腰三角形[1]？

（3）在（2）問條件下，當ΔBDE恰好是以DE為底邊的等腰三角形時，動點M相應位置記為點M′，將OM′繞原點O順時針旋轉得到ON（旋轉角在0°到90°之間）.

①探究： 線段OB上是否存在定點P（P不與O，B重合）， 無論ON如何旋轉，NP/NB始終保持不變？ 若存在，試求出P點坐標；若不存在， 請說明理由[2].

②試求出此旋轉過程中，NA+3/4NB的最小值[3].

2.2 探究實驗

第（2）問：如圖2，拖動點M，觀察BE和BD測量值的變化，是否存在相等的情形，有幾種情況？

第（3）問：如圖3所示，拖動點N，觀察對應測量值，可以發現：當點P的坐標為（0，3）時，NP/NB=3/4（定值）;當ΔNOP∽ΔBON時，NA+3/4NB存在最小值，即求NA+NP的最小值.

2.3 思路分析

（1）根據已知條件求出A，B坐標， 用待定系數法可求出拋物線解析式.

（2）作BF⊥l，與l交于F點，根據等腰三角形的性質得到EF=FD=1/2DE，FM=OB=16/3，列方程即可得到結論.

（3）對于問題1，如圖4所示，探究NP/NB的定值是一個比值，可聯想相似三角形或三角函數，尋找與固定點（點M′，O，B）有關的三角形，即探究以點O，P，B，N為頂點組成的某兩個三角形是否相似，由此猜想NP/NB可能的比值.若ΔNBP∽ΔOBN時，NB/OB=NP/ON， 可得NP/NB=ON/OB=3/4，根據已知條件無法求出點P的坐標.若△NOP∽△BON時，OP/ON=NP/NB=ON/OB=3/4，NP/NB不變，根據已知條件ON2=OP·OB， 可以求出點P坐標是確定的.

對于問題2，求兩條線段和的最小值， 首先想到“將軍飲馬”問題模型，即“PA+PB”型最短問題，但兩條線段系數不為 1 . 因此將3/4NB的系數轉化為系數是1 的線段， 由問題1知NP/NB=OP/ON=3/4，得到NP=3/4NB， 將NA+3/4NB轉化為兩個定點A，P間折線段和的最小值問題， 即求NA+NP的最小值.

3 結束語

探求定值一般是先分清問題的不變量與變量，而定值往往與這些不變量中的某些量（或它們的代數式）有關，常將一般問題特殊化，運用特殊情形（即用特殊值、特殊位置、特殊圖形等）探求定值.

參考文獻：

［1］ 陸麗麗.巧構造 妙轉化：另類線段和的最值問題[J].上海中學數學，2019（10）：19-21，43.

[2] 孫玉軍，羅勇，李圣波.2017年中考“圖形的變化”專題解題分析[J].中國數學教育，2018（Z1）：115-123.

[3] 李玉榮.三類新型最值問題的解法探究：以近年中考試題為例[J].初中數學教與學，2019（21）：31-34.

［責任編輯：李 璟］

收稿日期：2023-11-15

作者簡介：包勝利（1975.10-），男，甘肅省通渭人，本科，中小學一級教師，從事初中數學教學研究.