拋物線中的定值、最值問題探究

摘 要：拋物線中的定值問題和最值問題是個(gè)難點(diǎn)，主要涉及動(dòng)點(diǎn)及動(dòng)點(diǎn)的路徑問題，所利用的結(jié)論主要是兩點(diǎn)之間線段最短以及垂線段最短.文章以2017年遵義市的一道中考題為例，先利用網(wǎng)絡(luò)畫板進(jìn)行實(shí)驗(yàn)探究，然后給出試題的多種解法.

關(guān)鍵詞：定值；最值；動(dòng)點(diǎn)；相似三角形

中圖分類號(hào)：G632 文獻(xiàn)標(biāo)識(shí)碼：A 文章編號(hào)：1008-0333（2024）05-0002-03

初中最值問題大致分為幾何最值和代數(shù)最值兩類. 幾何最值是指在一定條件下，求幾何圖形中某個(gè)確定的幾何量（如長度、角度、面積等）的最大值或最小值，而代數(shù)最值是指求一些簡單的代數(shù)式或與實(shí)際問題相關(guān)（如用料最省、成本最低、能耗最少、產(chǎn)值最高、利潤最高等）的問題.

1 幾何最值問題的求解思路

在初中階段，解決幾何最值問題的依據(jù)有兩個(gè)，一是兩點(diǎn)之間，線段最短；二是垂線段最短.由這兩個(gè)依據(jù)延伸出以下常用的結(jié)論：三角形任意兩邊之和大于第三邊，任意兩邊之差小于第三邊；過圓內(nèi)一點(diǎn)的所有弦中，垂直于過這點(diǎn)的直徑的弦最短；直徑是圓中最長的弦.

因此，幾何方法求最值的思路是：將幾何圖形中的最值轉(zhuǎn)化成基本的幾何模型——“兩點(diǎn)之間，線段最短”和“垂線段最短”.其關(guān)鍵是抓住運(yùn)動(dòng)變化中不變的相關(guān)量（長度、角度、面積）與變化的相關(guān)量比較大小.即通過平移、旋轉(zhuǎn)、軸對(duì)稱將多條線段首尾相連轉(zhuǎn)化到兩定點(diǎn)之間的線段上，實(shí)現(xiàn)“折”轉(zhuǎn)“直”，利用“兩點(diǎn)之間，線段最短”說明最小.或者將問題轉(zhuǎn)化為一定點(diǎn)到一條定直線的距離， 利用“垂線段最短”即可得出最小值.

2 幾何最值案例分析

2.1 試題呈現(xiàn)

如圖1，拋物線y=ax2+bx-a-b（a<0，a，b為常數(shù)）與x軸交于A，C兩點(diǎn)，與y軸交于B點(diǎn)，直線AB的函數(shù)關(guān)系式為y=（8/9）x+（16/3）.

（1）求該拋物線的解析式與C點(diǎn)坐標(biāo).

（2）已知點(diǎn)M（m，0）是線段OA上的一個(gè)動(dòng)點(diǎn)，過點(diǎn)M作x軸的垂線l分別與直線AB和拋物線交于D，E兩點(diǎn)，當(dāng)m為何值時(shí)，ΔBDE恰好是以DE為底邊的等腰三角形[1]？

（3）在（2）問條件下，當(dāng)ΔBDE恰好是以DE為底邊的等腰三角形時(shí)，動(dòng)點(diǎn)M相應(yīng)位置記為點(diǎn)M′，將OM′繞原點(diǎn)O順時(shí)針旋轉(zhuǎn)得到ON（旋轉(zhuǎn)角在0°到90°之間）.

①探究： 線段OB上是否存在定點(diǎn)P（P不與O，B重合）， 無論ON如何旋轉(zhuǎn)，NP/NB始終保持不變？ 若存在，試求出P點(diǎn)坐標(biāo)；若不存在， 請(qǐng)說明理由[2].

②試求出此旋轉(zhuǎn)過程中，NA+3/4NB的最小值[3].

2.2 探究實(shí)驗(yàn)

第（2）問：如圖2，拖動(dòng)點(diǎn)M，觀察BE和BD測(cè)量值的變化，是否存在相等的情形，有幾種情況？

第（3）問：如圖3所示，拖動(dòng)點(diǎn)N，觀察對(duì)應(yīng)測(cè)量值，可以發(fā)現(xiàn)：當(dāng)點(diǎn)P的坐標(biāo)為（0，3）時(shí)，NP/NB=3/4（定值）;當(dāng)ΔNOP∽ΔBON時(shí)，NA+3/4NB存在最小值，即求NA+NP的最小值.

2.3 思路分析

（1）根據(jù)已知條件求出A，B坐標(biāo)， 用待定系數(shù)法可求出拋物線解析式.

（2）作BF⊥l，與l交于F點(diǎn)，根據(jù)等腰三角形的性質(zhì)得到EF=FD=1/2DE，F(xiàn)M=OB=16/3，列方程即可得到結(jié)論.

（3）對(duì)于問題1，如圖4所示，探究NP/NB的定值是一個(gè)比值，可聯(lián)想相似三角形或三角函數(shù)，尋找與固定點(diǎn)（點(diǎn)M′，O，B）有關(guān)的三角形，即探究以點(diǎn)O，P，B，N為頂點(diǎn)組成的某兩個(gè)三角形是否相似，由此猜想NP/NB可能的比值.若ΔNBP∽ΔOBN時(shí)，NB/OB=NP/ON， 可得NP/NB=ON/OB=3/4，根據(jù)已知條件無法求出點(diǎn)P的坐標(biāo).若△NOP∽△BON時(shí)，OP/ON=NP/NB=ON/OB=3/4，NP/NB不變，根據(jù)已知條件ON2=OP·OB， 可以求出點(diǎn)P坐標(biāo)是確定的.

對(duì)于問題2，求兩條線段和的最小值， 首先想到“將軍飲馬”問題模型，即“PA+PB”型最短問題，但兩條線段系數(shù)不為 1 . 因此將3/4NB的系數(shù)轉(zhuǎn)化為系數(shù)是1 的線段， 由問題1知NP/NB=OP/ON=3/4，得到NP=3/4NB， 將NA+3/4NB轉(zhuǎn)化為兩個(gè)定點(diǎn)A，P間折線段和的最小值問題， 即求NA+NP的最小值.

3 結(jié)束語

探求定值一般是先分清問題的不變量與變量，而定值往往與這些不變量中的某些量（或它們的代數(shù)式）有關(guān)，常將一般問題特殊化，運(yùn)用特殊情形（即用特殊值、特殊位置、特殊圖形等）探求定值.

參考文獻(xiàn)：

［1］ 陸麗麗.巧構(gòu)造 妙轉(zhuǎn)化：另類線段和的最值問題[J].上海中學(xué)數(shù)學(xué)，2019（10）：19-21，43.

[2] 孫玉軍，羅勇，李圣波.2017年中考“圖形的變化”專題解題分析[J].中國數(shù)學(xué)教育，2018（Z1）：115-123.

[3] 李玉榮.三類新型最值問題的解法探究：以近年中考試題為例[J].初中數(shù)學(xué)教與學(xué)，2019（21）：31-34.

［責(zé)任編輯：李 璟］

收稿日期：2023-11-15

作者簡介：包勝利（1975.10-），男，甘肅省通渭人，本科，中小學(xué)一級(jí)教師，從事初中數(shù)學(xué)教學(xué)研究.