利用對角線證明中點四邊形的特殊性

摘 要：文章立足于初中數學教學實踐，利用已知四邊形的對角線分析了中點四邊形的特殊性.旨在為初中數學教師教學提供嶄新思路.與此同時，通過數學模型的證明與應用，培養學生的幾何推理能力，提升學生的數學核心素養.

關鍵詞：中點；中點四邊形；對角線；數學模型

中圖分類號：G632 文獻標識碼：A 文章編號：1008-0333（2024）05-0005-03

任意畫一個四邊形，以這個四邊形各邊的中點為頂點可以組成一個新的四邊形，這個新的四邊形叫做中點四邊形[1].中點四邊形有何特殊性，教師又如何去引導學生證明呢？教學實踐發現，這是一個數學模型，利用已知四邊形的對角線證明中點四邊形的性質，會達到事半功倍的效果.

1 基本模型

模型1 已知四邊形的對角線既不相等也不垂直，中點四邊形是平行四邊形

如圖1，已知四邊形ABCD，點E，F，G，H分別是AB，BC，CD，AD的中點，問四邊形EFGH是什么四邊形？說明理由.

模型分析：由三角形中位線的性質，易知四邊形EFGH是平行四邊形.理由如下：

因為點E，F，G，H分別是AB，BC，CD，AD的中點，由三角形中位線的性質可得EH∥BD，BD=2EH，FG∥BD，BD=2FG，所以EH∥FG，EH=FG，所以四邊形EFGH是平行四邊形.

模型2 已知四邊形的對角線相等，但不垂直，中點四邊形是菱形

如圖2，已知四邊形ABCD，點E，F，G，H分別是AB，BC，CD，AD的中點，AC=BD，問四邊形EFGH是什么四邊形？說明理由.

模型分析：四邊形EFGH是菱形.理由如下：

因為點E，F，G，H分別是AB，BC，CD，AD的中點，所以EH∥BD，BD=2EH，FG∥BD，BD=2FG，EF∥AC，AC=2EF，所以EH∥FG，EH=FG，所以四邊形EFGH是平行四邊形.又AC=BD，所以EF=EH，所以四邊形EFGH是菱形.

模型3 已知四邊形的對角線垂直，但是不相等，中點四邊形是矩形

如圖3，已知四邊形ABCD，點E，F，G，H分別是AB，BC，CD，AD的中點，AC⊥BD，問四邊形EFGH是什么四邊形？說明理由.

模型分析：四邊形EFGH是矩形.理由如下：

因為點E，F，G，H分別是AB，BC，CD，AD的中點，所以EH∥BD，BD=2EH，FG∥BD，BD=2FG，EF∥AC，AC=2EF，所以EH∥FG，EH=FG，所以四邊形EFGH是平行四邊形，又因為AC⊥BD，所以∠AJD=90°，所以∠EFG=∠EID=∠AJD=90°，所以四邊形EFGH是矩形.

模型4 已知四邊形的對角線既相等又垂直，中點四邊形是正方形

如圖4，已知四邊形ABCD，點E，F，G，H分別是AB，BC，CD，AD的中點，AC=BD，AC⊥BD，問四邊形EFGH是什么四邊形？說明理由.

模型分析：四邊形EFGH是正方形.理由如下：

因為點E，F，G，H分別是AB，BC，CD，AD的中點，所以EH∥BD，BD=2EH，FG∥BD，BD=2FG，EF∥AC，AC=2EF，所以EH∥FG，EH=FG，所以四邊形EFGH是平行四邊形.又因為AC⊥BD，所以∠AJD=90°，所以∠EFG=∠EID=∠AJD=90°，所以四邊形EFGH是矩形.又因為AC=BD，所以EF=EH，所以四邊形EFGH是菱形，所以四邊形EFGH是正方形.

2 應用例舉

例1 如圖5，四邊形MNOP中，I，J，K，L分別是MN，NO，OP，PM的中點，若四邊形IJKL是菱形，那么四邊形MNOP的對角線滿足什么條件？

解析 根據模型1，易知四邊形IJKL是平行四邊形.又因為若四邊形IJKL是菱形，根據模型2，易知四邊形MNOP的對角線相等，所以若四邊形IJKL是菱形，所以四邊形MNOP的對角線滿足的條件是MO=PN.

例2 如圖6，四邊形DEFG是菱形，點H，I，J，K分別是邊DE，EF，FG，GD的中點，請問四邊形HIJK是什么圖形？

解析 因為四邊形DEFG是菱形，所以四邊形DEFG對角線互相垂直.根據模型3，易知四邊形DEFG是矩形.

例3 如圖7，在四邊形BCDE中，F、J、H、I分別是各邊的中點，則四邊形FJHI是（）.

A. 正方形 B.矩形C.菱形 D.平行四邊形

解析 因為在四邊形BCDE中，F、J、H、I分別是各邊的中點，根據模型1，易知四邊形FJHI是平行四邊形，故選D.

例4 如圖8，點G、H、I、J分別是四邊形CDEF的邊CD、DE、EF、FC的中點，若四邊形GHIJ是矩形，則四邊形CDEF的對角線CE和DF有何關系？

解析 因為點G、H、I、J分別是四邊形CDEF的邊CD、DE、EF、FC的中點，四邊形GHIJ是矩形，根據模型3，易知四邊形CDEF的對角線CE和DF互相垂直，即CE⊥DF.

例5 如圖9，四邊形EFGH四條邊上的中點分別為I、J、K、M，順次連接點I、J，K、M，得到四邊形IJKM.

（1）四邊形IJKM的形狀是____.當四邊形EFGH的對角線滿足____（填入位置關系或數量關系）時，四邊形IJKM是矩形.

（2）當EG=FH時，四邊形IJKM的形狀是.

（3）若EG⊥FH且EG=FH，求證：四邊形IJKM為正方形.

解析 （1）因為四邊形EFGH四條邊上的中點分別為I、J、K、M，根據模型1，易知四邊形IJKM是平行四邊形.根據模型3，易知四邊形EFGH的對角線滿足EG⊥FH.故四邊形IJKM是平行四邊形，EG⊥FH.

（2）因為四邊形EFGH對角線EG=FH，根據模型2，易知四邊形IJKM是菱形.

（3）證明：因為四邊形EFGH對角線EG⊥FH.根據模型3，四邊形IJKM是矩形，又因為四邊形EFGH對角線EG=FH，根據模型2，四邊形IJKM菱形.綜上所述，四邊形IJKM是正方形.

3 結束語

綜上所述，不論已知四邊形是什么四邊形，其中點四邊形的形狀只與已知四邊形的兩條對角線有關.當已知四邊形的兩條對角線既不相等也不垂直時，順次連接已知四邊形各邊的中點得到的中點四邊形是平行四邊形；當已知四邊形的兩條對角線相等，但是不垂直時，順次連接已知四邊形各邊的中點得到的中點四邊形是菱形；當已知四邊形的兩條對角線垂直，但是不相等時，順次連接已知四邊形各邊的中點得到的中點四邊形是矩形；當已知四邊形的兩條對角線既相等又垂直時，順次連接已知四邊形各邊的中點得到的中點四邊形是正方形[2].中點四邊形的這些特殊性在解題中有著廣泛的應用.

參考文獻：

［1］ 葉智強，胡琴，鐘華蘭.“類中點四邊形”：對“中點四邊形”的再研究[J].明日，2019（34）：1.

[2] 張曉東.關注數學本質 發展學生思維：以“中點四邊形”教學為例[J].中學課程輔導：教師通訊，2021（8）：76-77.

［責任編輯：李 璟］

收稿日期：2023-11-15

作者簡介：陳禮弦（1971.12-），男，貴州省清鎮人，本科，高級教師，從事初中數學教學研究.