對分課堂在線性代數(shù)課程教學(xué)中的應(yīng)用*

湯樂

南京理工大學(xué)紫金學(xué)院 南京 210023

0 引言

對分課堂一詞最早由復(fù)旦大學(xué)心理學(xué)系教授張學(xué)新提出，并于2014年春季學(xué)期在心理學(xué)研究方法與實驗設(shè)計課程中首次使用[1]。其核心是將課堂一分為二，一半時間為教師講解，另外一半時間為學(xué)生討論。此教學(xué)方式將講授式和討論式教學(xué)相結(jié)合，強(qiáng)調(diào)學(xué)生在課堂教學(xué)中的參與性，對提升學(xué)生的學(xué)習(xí)能力和教學(xué)效果有較好的作用。

1 傳統(tǒng)課堂教學(xué)存在的問題

傳統(tǒng)講授式課堂以教師為中心，側(cè)重于教師對課程內(nèi)容的準(zhǔn)備及課堂講解，基本上是教師一人從頭講到尾，學(xué)生被動接受。這種“填鴨式”的教學(xué)形式，一味地灌輸知識，課堂節(jié)奏快，講授內(nèi)容多，學(xué)生缺少思考和消化的時間，從而對后續(xù)內(nèi)容的理解產(chǎn)生障礙，對學(xué)生的學(xué)習(xí)興趣產(chǎn)生不良影響。

傳統(tǒng)課堂與迅速發(fā)展的新式教學(xué)手段和教學(xué)方式之間存在一定的隔閡，如微課、慕課、網(wǎng)課等是學(xué)生比較常用的學(xué)習(xí)輔助工具，學(xué)生可以不受時間和空間的限制，利用碎片化時間來學(xué)習(xí)知識點。相比于傳統(tǒng)課堂上的做筆記，學(xué)生更樂于課上拍照作為記筆記、課后看視頻作為復(fù)習(xí)。學(xué)生學(xué)習(xí)習(xí)慣的改變促使傳統(tǒng)課堂教學(xué)必須與時俱進(jìn)，以適應(yīng)新的教學(xué)手段和教學(xué)理念。

傳統(tǒng)的講授式課堂教學(xué)對培養(yǎng)學(xué)生的自主學(xué)習(xí)和創(chuàng)新能力有所限制，學(xué)習(xí)內(nèi)容、重點難點、概念理解、方法總結(jié)等都是經(jīng)過教師整理搜集處理后再對學(xué)生講解，學(xué)生對知識的理解與掌握缺乏主動探索的過程，僅僅停留在教師怎么說，教材怎么寫，自己怎么理解的層面，不利于形成自己的觀點，也不善于挖掘不同知識之間的內(nèi)在聯(lián)系，更不擅長對知識作延伸。

2 線性代數(shù)課程的特點

線性代數(shù)是本科院校比較重要的一門數(shù)學(xué)基礎(chǔ)課，是學(xué)習(xí)計算機(jī)、經(jīng)管等專業(yè)課程的重要工具。與其他數(shù)學(xué)類課程相比，線性代數(shù)是一門相對獨立的數(shù)學(xué)課程，對學(xué)生的數(shù)學(xué)基礎(chǔ)要求不高。因此，線性代數(shù)入門相對容易，尤其是開始章節(jié)中的行列式或者矩陣部分的內(nèi)容，學(xué)生接受度比較高[2]。然而，不同于高等數(shù)學(xué)這樣的數(shù)學(xué)課程，線性代數(shù)概念多，而且比較抽象，尤其是每個概念所涉及的性質(zhì)、定理比較多，要靈活運用這些概念和性質(zhì)，對一部分學(xué)生而言有一定難度。并且章節(jié)之間的聯(lián)系也較為緊密，矩陣與向量、線性方程組之間的關(guān)系尤為突出。能夠比較深入地理解不同概念之間的聯(lián)系，綜合運用各種方法和手段來解決問題是學(xué)習(xí)這門課程的難點。另外，線性代數(shù)特別注重邏輯分析和方法技巧，作業(yè)和考試中有不少關(guān)于概念的結(jié)論判斷和命題證明，這些往往是很多學(xué)生的薄弱點[3]。鑒于學(xué)生對抽象概念和理論邏輯掌握的困難度，在日常教學(xué)和考核過程中，一般以基本的線性代數(shù)概念和運算講授為主，對不同概念之間的聯(lián)系點到即止，對技巧性強(qiáng)的理論證明則盡量規(guī)避，重點訓(xùn)練學(xué)生做題的熟練度，從而使其達(dá)到掌握基礎(chǔ)概念和運算法則的要求。

3 對分課堂的優(yōu)勢

對分課堂是將討論式的學(xué)習(xí)模式引入課堂，弱化教師在課堂中的主導(dǎo)地位，提倡學(xué)生自主學(xué)習(xí)，通過課后自學(xué)和課堂討論激發(fā)學(xué)生的學(xué)習(xí)興趣和創(chuàng)新能力。具體分為講授（Presentation）、內(nèi)化吸收（Assimilation）和討論（Discussion）三個環(huán)節(jié)，簡稱PAD課堂。其中講授環(huán)節(jié)由教師完成，原本的整節(jié)講授時間減少到一半的課堂時間，內(nèi)容也要作相應(yīng)精簡；內(nèi)化吸收環(huán)節(jié)由學(xué)生課后完成，在這期間，學(xué)生完成教師布置的課后學(xué)習(xí)任務(wù)，從而對課堂上教師沒有完全講授的內(nèi)容進(jìn)行補(bǔ)充、完善和深化；討論環(huán)節(jié)為學(xué)生分組進(jìn)行課堂討論，時間一般為20～25分鐘，課堂討論是學(xué)生相互學(xué)習(xí)、分工協(xié)作的過程，通過討論和交流完成知識點的查漏補(bǔ)缺，從而達(dá)到對課程內(nèi)容的掌握。

對分課堂完成了課堂中教師的角色轉(zhuǎn)換，由原來教師一人主導(dǎo)的教學(xué)模式轉(zhuǎn)為師生共同參與，這在一定程度上減輕了教師的教學(xué)任務(wù)，教師有更多的精力關(guān)注學(xué)生的課堂掌握情況，及時發(fā)現(xiàn)學(xué)生在學(xué)習(xí)過程中出現(xiàn)的各種問題，及時調(diào)整教學(xué)方案以適應(yīng)學(xué)生的學(xué)習(xí)需求，真正做到因材施教。同時，教師與學(xué)生在課堂上的互動更為直接，采用的教學(xué)素材更加具有針對性，教學(xué)效果也更為明顯[4]。對學(xué)生而言，課堂討論使每一位學(xué)生更加重視過程化學(xué)習(xí)，在目標(biāo)任務(wù)驅(qū)動之下，需要擠出時間來研讀教材、查閱學(xué)習(xí)輔導(dǎo)書、觀看教學(xué)視頻等，以此來消化重要的知識點。同時，學(xué)習(xí)中遇到的疑惑和困難，在課堂討論中也變得豁然開朗，這種自主參與、自主學(xué)習(xí)的方式，能夠激發(fā)學(xué)生的學(xué)習(xí)潛能，培養(yǎng)學(xué)生良好的學(xué)習(xí)習(xí)慣。

對分課堂強(qiáng)調(diào)學(xué)生的過程化學(xué)習(xí)，因此，要對以期末考試成績?yōu)橹鞯目己嗽u定方式進(jìn)行優(yōu)化。以往成績評定由學(xué)生的出勤、作業(yè)和期末考試成績?nèi)糠謽?gòu)成，絕大多數(shù)學(xué)生在出勤和作業(yè)方面都能較好地完成，但其過程化學(xué)習(xí)存在許多問題。如：部分學(xué)生課堂上不是用心在聽講而是在刷手機(jī)，課堂提問常常是教師自問自答，學(xué)生課后作業(yè)解題過程模板化，等等。傳統(tǒng)的出勤和作業(yè)考核很難做到對學(xué)生學(xué)習(xí)情況的客觀評價，因此，教師不得不加大期末考試成績的占比，由此帶來的影響是不及格率偏高，班級總體成績不夠理想。而課堂討論可以比較客觀地反映學(xué)生在課后內(nèi)化吸收的效果，改變學(xué)生濫竽充數(shù)的平時表現(xiàn)。因此，加大平時成績占比是對學(xué)生過程化學(xué)習(xí)的一種認(rèn)可，對激發(fā)學(xué)生的學(xué)習(xí)興趣和提高班級成績都能起到積極作用。

4 對分課堂的實施

4.1 了解學(xué)生的認(rèn)知結(jié)構(gòu)

本科院校不同專業(yè)、不同層次的學(xué)生都開設(shè)了線性代數(shù)這門課程，不同班級的學(xué)生情況是不同的，有些班級的學(xué)生外省份、偏遠(yuǎn)地區(qū)人數(shù)較多，有些專業(yè)文理兼收，有些班級的學(xué)生是從中職學(xué)校進(jìn)到本科學(xué)校的，越過了高中學(xué)習(xí)階段，還有部分學(xué)生有線性代數(shù)的學(xué)習(xí)經(jīng)歷等，這些情況都反映出學(xué)生在數(shù)學(xué)認(rèn)知結(jié)構(gòu)、學(xué)習(xí)習(xí)慣及學(xué)習(xí)能力等方面存在差異。因此，教師在開展對分課堂之前需要充分了解學(xué)生的學(xué)習(xí)背景，可以向輔導(dǎo)員詢問生源地資料、高考數(shù)學(xué)成績等，也可以在學(xué)生班級群中進(jìn)行問卷調(diào)查。

4.2 制訂對分課堂教學(xué)方案

根據(jù)學(xué)生的層次，選定對分課堂的章節(jié)。線性代數(shù)課程不同章節(jié)的難易程度有所不同，做對分的內(nèi)容和頻率需要和學(xué)生的能力相匹配。比如，行列式、矩陣、線性方程組這三個章節(jié)內(nèi)容相對簡單，對分課堂的次數(shù)可以相對多些，向量、特征值與特征向量、二次型這三章難度偏高一些，對分課堂的次數(shù)要相對減少。另外，學(xué)習(xí)能力強(qiáng)的班級對分課堂開展的頻率可高些，反之，學(xué)習(xí)能力稍弱的班級開展對分課堂的次數(shù)要有一定限制，一般不超過總課時的二分之一。

根據(jù)對分課堂章節(jié)設(shè)計具體的教學(xué)計劃，包括教師講解內(nèi)容的設(shè)定；課后學(xué)習(xí)任務(wù)的安排、學(xué)習(xí)資料（課件、視頻、練習(xí)題等）的選取；學(xué)生課堂討論問題的設(shè)置；教師課堂總結(jié)內(nèi)容的準(zhǔn)備；等等。需要特別注意的是，布置的學(xué)習(xí)任務(wù)要盡量具體，不能太寬泛，而且必須是重點，課堂討論內(nèi)容的難度和數(shù)量要保證能夠在規(guī)定的時間內(nèi)討論完成并且達(dá)成共識。另外，教師講解的內(nèi)容需要精挑細(xì)選，要盡可能地言簡意賅、精益求精、重難點突出，要能對整個教學(xué)內(nèi)容起到提綱挈領(lǐng)的作用，同時，也要為學(xué)生的課后學(xué)習(xí)與消化做好鋪墊和準(zhǔn)備。

4.3 對分課堂實施步驟

第一次課為講授式授課，讓學(xué)生了解線性代數(shù)課程的特點和基本學(xué)習(xí)內(nèi)容。告知學(xué)生對分課堂的流程、分組方式、考核標(biāo)準(zhǔn)等。線性代數(shù)是兩小節(jié)課連上，每一小節(jié)45分鐘，開展對分課堂的具體安排為：在第一小節(jié)課上教師公布要討論的問題，學(xué)生分組討論20～25分鐘，然后從每一小組中隨機(jī)選出一名學(xué)生進(jìn)行匯報，把該學(xué)生匯報的成績作為整個小組的成績，學(xué)生匯報時間不超過25分鐘，討論加匯報剛好為1小節(jié)課的時間；第2小節(jié)課的前半節(jié)時間為教師點評學(xué)生匯報內(nèi)容并總結(jié)這一次課的重難點，后半節(jié)時間為教師講解新課，并布置學(xué)習(xí)任務(wù)，預(yù)告下一次課要進(jìn)行課堂討論的內(nèi)容[4]。教師講解和學(xué)生課堂討論分別放在前后兩次課上進(jìn)行，中間至少間隔三天以上，目的是給學(xué)生留足課后學(xué)習(xí)的時間，使其達(dá)到內(nèi)化吸收的效果。

5 對分課堂教學(xué)案例

筆者使用對分課堂教學(xué)的線性代數(shù)課程共32課時，一周兩次課，每次兩課時，每課時為45分鐘，課程內(nèi)容依次為矩陣、行列式、向量、線性方程組、特征值與特征向量。為方便討論，按宿舍分組，一組6人，個別組人數(shù)為5人，因為是大班化教學(xué)，一個教學(xué)班的人數(shù)達(dá)到125人，總共有21個小組，要求同一組學(xué)生在教室中坐一起，前后兩排各坐2～3人。

案例1：本課程第一次課的兩課時由教師講解，主要內(nèi)容為矩陣概念、矩陣線性運算、乘法和轉(zhuǎn)置，布置給學(xué)生的課后學(xué)習(xí)任務(wù)是什么是矩陣多項式、矩陣的初等變換有哪些、怎樣用初等變換解線性方程組。第二次課的開始，給學(xué)生三個討論問題，第一個問題是計算一個矩陣多項式，第二個問題是寫出一個線性方程組的矩陣等價形式，第三個問題是給學(xué)生一個線性方程組，要求學(xué)生用初等行變換求線性方程組解，討論時間為20分鐘。討論結(jié)束后開始匯報。第一個問題的矩陣多項式題，學(xué)生正確地講解了計算方法，尤其注意到了矩陣代入多項式中的常數(shù)項上要乘以同階單位陣，第二個問題的矩陣表示線性方程組題，匯報的學(xué)生用增廣矩陣作為線性方程組的等價形式，這樣表示是有所欠缺的。因為增廣矩陣只體現(xiàn)了線性方程組的兩個關(guān)鍵元素：變量系數(shù)和常數(shù)項，另外一個元素變量雖然相對次要，但是利用矩陣乘法將系數(shù)、常數(shù)和變量完整表示的形式要比增廣矩陣更準(zhǔn)確。增廣矩陣的主要作用是方便求解，它的解由系數(shù)和常數(shù)項決定，可以忽略變量形式。第三個問題用初等行變換求線性方程組解，學(xué)生講解和演算都正確，但是，學(xué)生做初等行變換時，只把增廣矩陣化到階梯矩陣而不是最簡階梯矩陣，導(dǎo)致的后果是后續(xù)求解需要繼續(xù)做消元，不僅計算量大，而且容易出錯。前兩問匯報時間相對較短，第三問匯報時間相對長一些，總共時長25分鐘，討論和匯報花去一小節(jié)課時間。在第二小節(jié)課的前半節(jié)，教師對學(xué)生匯報中的問題進(jìn)行了點評，并且對這一節(jié)教學(xué)內(nèi)容中沒有給學(xué)生布置學(xué)習(xí)任務(wù)的初等矩陣概念與初等矩陣的作用進(jìn)行了講解，總共用時25分鐘。在后半節(jié)的20分鐘內(nèi)，教師講解了逆矩陣的概念、性質(zhì)、矩陣可逆的判別方法及相關(guān)例題，并布置了課后學(xué)習(xí)任務(wù)、預(yù)告了下次課的討論內(nèi)容。

案例2：向量組的線性相關(guān)性。前一次課教師講解了向量的概念和向量的線性組合，布置的學(xué)習(xí)任務(wù)是了解線性相關(guān)和線性無關(guān)的概念與性質(zhì)是什么，怎樣判斷一個向量組的線性相關(guān)性，怎樣求向量組的秩和極大無關(guān)組。后一次課的課堂討論環(huán)節(jié)布置了三個問題。第一題包含三小題，皆為用定義和性質(zhì)判斷有關(guān)向量組線性相關(guān)性的結(jié)論是否正確，第二題是給了學(xué)生一個非齊次線性方程組，要求用向量表示這個線性方程組，出這個題的目的是讓學(xué)生明確線性方程組與向量之間的關(guān)系，熟悉一個向量是否可由一組向量線性表示，等價于一個線性方程組是否有解，同時讓學(xué)生掌握向量組的線性相關(guān)性是由對應(yīng)齊次線性方程組是否有非零解來決定的。第三題是判斷四個四維向量的線性相關(guān)性，若線性相關(guān)，求該向量組的一個極大無關(guān)組。這一題涉及判斷向量組線性相關(guān)性的兩個常用方法，一是通過向量組的秩和向量個數(shù)大小關(guān)系判別，二是由向量組構(gòu)成的行列式的值來決定線性相關(guān)性。這三道題涵蓋了向量組線性相關(guān)性的常用判別方法，屬于基本知識點，也是要學(xué)生重點掌握的內(nèi)容。學(xué)生課堂討論25分鐘。在匯報環(huán)節(jié)，第一題的三個判斷題均判斷正確，原因解釋恰當(dāng)。第二題的線性方程組向量形式，學(xué)生給出了正確的表達(dá)式，緊接著教師問學(xué)生是怎樣推導(dǎo)出的這個結(jié)論，學(xué)生回答是用向量的線性運算做了推導(dǎo)。實際上，最優(yōu)的解釋是線性方程組與一個矩陣方程對應(yīng)，將矩陣方程中的系數(shù)矩陣按列分塊，由分塊矩陣的運算即可得到線性方程組等價于一個線性組合，組合系數(shù)即為變量的取值。第三題學(xué)生用定義判斷向量組的線性相關(guān)性，用矩陣秩的定義求向量組的秩和極大無關(guān)組。此時，教師向?qū)W生提問，矩陣秩是否有其他計算方法，學(xué)生受到啟發(fā)，改用初等行變換求秩、極大無關(guān)組和線性相關(guān)性的判別。在第二小節(jié)課的教師講解環(huán)節(jié)中，教師對上述匯報中學(xué)生有所遺漏或者疏忽的方法和結(jié)論做補(bǔ)充，同時對學(xué)生討論中沒有涉及的關(guān)于線性相關(guān)性、矩陣秩、向量組秩的常用結(jié)論和常見題型進(jìn)行小結(jié)，為下一次對分課堂做準(zhǔn)備。

6 對分課堂教學(xué)反饋和總結(jié)

對分課堂教學(xué)形式是學(xué)生樂于接受和歡迎的教學(xué)形式。對分課堂給予學(xué)生在課堂上展示自己的機(jī)會，學(xué)生的課堂主體意識和地位增強(qiáng)。小組成員之間的互學(xué)互助提升了學(xué)生對課程內(nèi)容的認(rèn)知，不同解題思路、學(xué)習(xí)觀點在討論中形成最優(yōu)解決方案，充分發(fā)揮小組學(xué)習(xí)的優(yōu)勢。學(xué)生普遍反映，相比傳統(tǒng)課堂，對分課堂更能激發(fā)學(xué)習(xí)動力和學(xué)習(xí)興趣，更能讓他們集中課堂注意力，緩解課堂聽講的焦慮感和緊張感，更容易把握學(xué)習(xí)的重難點、更容易解決學(xué)習(xí)中的困難和疑惑、更能有效地掌握課程內(nèi)容。

對分課堂教學(xué)實踐證明，在線性代數(shù)課程教學(xué)中開展課堂討論，對提高教學(xué)質(zhì)量有積極的作用。教師需要努力提升業(yè)務(wù)水平，嚴(yán)格把控對分課堂的每個環(huán)節(jié)，將課堂講授內(nèi)容、課后學(xué)習(xí)任務(wù)和課堂討論問題有機(jī)結(jié)合，同時要對學(xué)生課后學(xué)習(xí)過程進(jìn)行監(jiān)控和引導(dǎo)，對學(xué)生討論中出現(xiàn)的問題要靈活處理，注重啟發(fā)式教學(xué)，不斷提高學(xué)生的數(shù)學(xué)思維能力，從而達(dá)到較好的教學(xué)效果。