酚醛樹脂氣凝膠復(fù)合材料熱物性參數(shù)預(yù)測(cè)方法

張春云，陳雄斌，劉健，崔苗，*

1.大連理工大學(xué) 工業(yè)裝備結(jié)構(gòu)分析優(yōu)化與CAE 軟件全國(guó)重點(diǎn)實(shí)驗(yàn)室，大連 116024

2.大連理工大學(xué) 遼寧省空天飛行器前沿技術(shù)重點(diǎn)實(shí)驗(yàn)室，大連 116024

3.北京空天技術(shù)研究所，北京 100074

酚醛樹脂基熱防護(hù)材料［1-3］應(yīng)用比較成熟，但是密度較大，導(dǎo)熱系數(shù)仍相對(duì)較高，對(duì)于長(zhǎng)時(shí)間熱防護(hù)應(yīng)用，厚度和重量難以承受。酚醛樹脂氣凝膠復(fù)合材料（Inorganic-Organic Hybrid Phenolic Aerogel Composites，IPC）是近年來發(fā)展的一種新型輕質(zhì)高效隔熱材料［4］，其抗氧化能力強(qiáng)，殘?zhí)悸矢撸浅＿m合長(zhǎng)時(shí)間熱防護(hù)應(yīng)用，發(fā)展前景廣闊。但是與酚醛樹脂基熱防護(hù)材料相似，IPC 在400 ℃以上出現(xiàn)熱解碳化，伴隨這一復(fù)雜的物理化學(xué)過程，材料的導(dǎo)熱系數(shù)等熱物性參數(shù)會(huì)發(fā)生明顯的變化。由于裂解產(chǎn)物（油氣）對(duì)設(shè)備的影響，很難通過直接測(cè)量［5-6］獲取材料的高溫?zé)嵛镄裕荒苓M(jìn)行粗略估計(jì)，這降低了溫度場(chǎng)預(yù)測(cè)的精度，進(jìn)而影響熱防護(hù)結(jié)構(gòu)的設(shè)計(jì)與優(yōu)化。因此，獲取較為準(zhǔn)確的IPC 隨溫度變化的熱物性參數(shù)對(duì)于熱防護(hù)結(jié)構(gòu)的精細(xì)化設(shè)計(jì)具有重要意義。

酚醛樹脂氣凝膠復(fù)合材料在碳化過程中發(fā)生熱解反應(yīng)，密度、導(dǎo)熱系數(shù)和比熱容等物性參數(shù)隨材料成分的變化而變化；并且其傳熱等物理化學(xué)模型的建立與求解非常具有挑戰(zhàn)性。因此，在工程分析中通常采用等效導(dǎo)熱系數(shù)［7］等概念，將IPC 碳化裂解以及熱物性參數(shù)隨溫度變化等影響都考慮到等效熱物性參數(shù)中。在不建立化學(xué)反應(yīng)方程的條件下，通過在熱傳導(dǎo)方程中增加源項(xiàng)等方式模擬化學(xué)反應(yīng)的影響，將微觀量轉(zhuǎn)化為宏觀量，以滿足精度需要。

反問題［8］為酚醛樹脂氣凝膠復(fù)合材料熱物性參數(shù)的準(zhǔn)確確定提供了新思路。反問題一般是基于可測(cè)/易測(cè)的物理量測(cè)量信息來確定系統(tǒng)的結(jié)構(gòu)特征或輸入信息，在航空航天、損傷識(shí)別、冶金工程、核反應(yīng)堆等領(lǐng)域廣泛應(yīng)用［9-10］。周煥林等［11］結(jié)合邊界單元法和梯度正則化算法確定了隨溫度變化的導(dǎo)熱系數(shù)，并且證明了該算法具有較好的精度和穩(wěn)定性。Tahmasbi 和Noori［12］采用Levenberg-Marquardt（LM）算法確定了正交碳化復(fù)合材料纖維方向和厚度方向的導(dǎo)熱系數(shù)。Liu 等［13］采用遺傳算法反演納米多孔介質(zhì)二氧化硅氣凝膠復(fù)合材料隨溫度變化的等效導(dǎo)熱系數(shù)，并與實(shí)驗(yàn)測(cè)得的結(jié)果對(duì)比，證明了該方法的準(zhǔn)確性和魯棒性。姜貴慶等［14］采用Newton-Raphson 算法通過預(yù)測(cè)3 個(gè)待定參數(shù)確定了防熱涂層材料碳化層的導(dǎo)熱系數(shù)。Xie 等［15］采用Levenberg-Marquardt 算法預(yù)測(cè)了硅氣凝膠材料的等效導(dǎo)熱系數(shù)。張紅軍等［16］基于共軛梯度法，通過求解燒蝕傳熱方程，確定了納米酚醛氣凝膠材料原始層和碳化層的導(dǎo)熱系數(shù)。林旭文等［17］基于動(dòng)態(tài)貝葉斯網(wǎng)格對(duì)燒蝕熱防護(hù)材料的導(dǎo)熱系數(shù)進(jìn)行了預(yù)測(cè)。Wang 等［18］基于蒙特卡羅法確定了燒蝕材料原始層和碳化層隨溫度變化的導(dǎo)熱系數(shù)。

通過分析前人的研究工作，可以看出，對(duì)于近些年新開發(fā)的酚醛樹脂氣凝膠復(fù)合材料，關(guān)于其熱物性參數(shù)確定的報(bào)道較少，缺乏數(shù)據(jù)庫(kù)，沒有通用性，不利于工程應(yīng)用；對(duì)于燒蝕型復(fù)合材料，現(xiàn)有的研究存在部分溫度區(qū)間熱物性參數(shù)預(yù)測(cè)精度低和計(jì)算效率低的問題，不便于高超聲速飛行器熱防護(hù)結(jié)構(gòu)的整體性能評(píng)估或者優(yōu)化設(shè)計(jì)。

酚醛樹脂氣凝膠復(fù)合材料熱物性參數(shù)的預(yù)測(cè)可以采用隨機(jī)法［19］和梯度法［20-21］。隨機(jī)類算法的優(yōu)點(diǎn)是全局收斂性好，但是計(jì)算效率比較低，而梯度算法不需要進(jìn)行全局搜索，計(jì)算效率和精度高，更適用于工程應(yīng)用。然而，對(duì)于梯度法而言，靈敏度矩陣的準(zhǔn)確確定至關(guān)重要。復(fù)變量求導(dǎo) 法（Complex Variable-Differentiation Method，CVDM）［22］在計(jì)算一階偏導(dǎo)數(shù)時(shí)具有高的精度和好的通用性，因此，本文采用復(fù)變量求導(dǎo)法計(jì)算靈敏度系數(shù)，保證預(yù)測(cè)結(jié)果的準(zhǔn)確性。同時(shí)，在求解不適定問題時(shí)，靈敏度矩陣的準(zhǔn)確確定避免了迭代過程中目標(biāo)函數(shù)的震蕩，提高了計(jì)算效率。

基于上述分析，本文首先建立求解瞬態(tài)非線性熱傳導(dǎo)反問題的改進(jìn)Levenberg-Marquardt 梯度算法；然后，采用該算法預(yù)測(cè)隨溫度變化的熱物性參數(shù)，驗(yàn)證該算法的有效性，并研究測(cè)量誤差和初始猜測(cè)值對(duì)反演結(jié)果的影響；最后，開展酚醛樹脂氣凝膠復(fù)合材料測(cè)溫試驗(yàn)，并基于試驗(yàn)測(cè)量數(shù)據(jù)預(yù)測(cè)IPC 碳化過程隨溫度變化的等效導(dǎo)熱系數(shù)。

1 IPC 熱物性參數(shù)預(yù)測(cè)的理論基礎(chǔ)

1.1 瞬態(tài)傳熱問題

預(yù)測(cè)酚醛樹脂氣凝膠復(fù)合材料隨溫度變化的熱物性參數(shù)需要求解瞬態(tài)傳熱問題。瞬態(tài)非線性熱傳導(dǎo)控制方程的差分表達(dá)式［23］為

初始條件為

邊界條件表示為

以對(duì)流換熱邊界條件為例，邊界節(jié)點(diǎn)的離散方程為

式中：上標(biāo)i為節(jié)點(diǎn)編號(hào)；下標(biāo)t為時(shí)刻；Δt為時(shí)間步長(zhǎng)；λ為導(dǎo)熱系數(shù)，W·m-1·℃-1；T為溫度，℃；q為熱流密度，W·m-2；Δx為空間步長(zhǎng)；T0為初始溫度；Q為體熱源，W·m-3；ρ為密度，kg·m-3；c為比熱容，J·kg-1·℃-1；t為時(shí)間，s；Tw為壁面 溫度，℃；Tf為流體溫度，℃；h為對(duì)流 換熱系數(shù)，W·m-2·℃-1；a為熱擴(kuò)散率，m2·s-1；n為法線方向。

1.2 基于梯度算法的熱物性參數(shù)預(yù)測(cè)

基于試驗(yàn)測(cè)點(diǎn)溫度信息，采用改進(jìn)的Levenberg-Marquardt 梯度算法，預(yù)測(cè)酚醛樹脂氣凝膠復(fù)合材料隨溫度變化的熱物性參數(shù)。在LM 算法中，瞬態(tài)熱傳導(dǎo)反問題的無(wú)量綱優(yōu)化目標(biāo)函數(shù)［24］表示為

式中：Ti和分別為測(cè)點(diǎn)物理量的計(jì)算值和測(cè)量值；M為測(cè)量物理量的個(gè)數(shù)；Y為預(yù)測(cè)的熱物性參數(shù)，可為隨溫度變化的導(dǎo)熱系數(shù)、比熱容或熱擴(kuò)散率，Y=[ ]Y1，Y2，…，YN，其中N為預(yù)測(cè)物性參數(shù)的數(shù)量。

預(yù)測(cè)的熱物性參數(shù)根據(jù)式（8）進(jìn)行迭代計(jì)算：

式中：w為收斂因子，設(shè)置為1；P為迭代次數(shù)。此外，熱物性參數(shù)的更新值δ由式（9）確定：

式中：μ為阻尼因子，阻尼因子是Levenberg-Marquardt 算法中的關(guān)鍵參數(shù)，采用無(wú)量綱目標(biāo)函數(shù)的冪指數(shù)形式，隨著迭代次數(shù)增加不斷更新［24］：

其中：指數(shù)n=1.5。J為靈敏度矩陣，具體形式為

為了準(zhǔn)確計(jì)算靈敏度矩陣，保證算法的精度，采用復(fù)變量求導(dǎo)法［25］計(jì)算靈敏度系數(shù)。其偏導(dǎo)數(shù)的計(jì)算與空間步長(zhǎng)大小無(wú)關(guān)，因此求解精度高。在復(fù)變量求導(dǎo)法中，以x+ih代替實(shí)函數(shù)f(x)中的變量x，h的取值很小，一般取10-30。將f(x+ih)展開成泰勒級(jí)數(shù)的形式為

因?yàn)閔的取值很小，所以f（x）的一階導(dǎo)數(shù)為

式中：Im 代表虛部。

當(dāng)無(wú)量綱優(yōu)化目標(biāo)函數(shù)值很小或者目標(biāo)函數(shù)的變化很小時(shí)，迭代停止，即

式中：收斂容差ζ為一個(gè)小的正整數(shù)，一般為1×10-6。

該算法求解非線性熱傳導(dǎo)反問題的流程如下：

1）讀取待預(yù)測(cè)參數(shù)的初始猜測(cè)值，對(duì)于提出的算法，由于其是一種梯度類算法，算法的收斂性依賴于初始猜測(cè)值，因此，初始猜測(cè)值應(yīng)盡量接近真實(shí)值，然后設(shè)置收斂容差、收斂因子以及測(cè)量溫度信息等。

2）基于幾何條件、邊界條件以及初始猜測(cè)值，采用有限差分法求解瞬態(tài)非線性熱傳導(dǎo)問題，得到測(cè)點(diǎn)的計(jì)算溫度值，同時(shí)得到由復(fù)變量求導(dǎo)法計(jì)算的靈敏度矩陣系數(shù)。

3）根據(jù)式（7）計(jì)算無(wú)量綱優(yōu)化目標(biāo)函數(shù)S，并通過式（14）判斷目標(biāo)函數(shù)是否收斂。如果滿足，則迭代停止，輸出參數(shù)預(yù)測(cè)值和優(yōu)化目標(biāo)函數(shù)值；如果不滿足，則繼續(xù)執(zhí)行下一步計(jì)算。

4）基于目標(biāo)函數(shù)值計(jì)算阻尼因子μ，并根據(jù)式（9）計(jì)算熱物性參數(shù)的更新值δ。

5）基于式（8）更新隨溫度變化的熱物性參數(shù)，并更新迭代步數(shù)P，然后返回步驟2）進(jìn)行循環(huán)。

熱物性參數(shù)預(yù)測(cè)的流程圖如圖1 所示。

圖1 預(yù)測(cè)算法流程圖Fig.1 Flowchart of prediction algorithm

2 導(dǎo)熱系數(shù)預(yù)測(cè)驗(yàn)證算例

為了確保該算法能夠有效地預(yù)測(cè)IPC 隨溫度變化的等效導(dǎo)熱系數(shù)，驗(yàn)證該梯度算法求解瞬態(tài)非線性熱傳導(dǎo)正反問題的有效性和精度。

2.1 瞬態(tài)非線性熱傳導(dǎo)問題

以一個(gè)一維模型為例，其幾何模型和邊界條件如圖2 所示。該模型長(zhǎng)10.0 mm，兩端為隨時(shí)間變化的溫度邊界條件，如表1 所示。材料熱物性參數(shù)隨溫度變化，如表2 所示。初始溫度為20 ℃，計(jì)算時(shí)間為100 s。該瞬態(tài)熱傳導(dǎo)問題采用有限差分法進(jìn)行求解。

表1 驗(yàn)證算例的邊界條件Table 1 Boundary conditions of validation model

表2 驗(yàn)證算例的材料熱物性參數(shù)Table 2 Thermo-physical properties of validation model

圖2 驗(yàn)證算例的幾何模型和邊界條件Fig.2 Geometry and boundary conditions of validation model

分別采用有限單元法（Finite Element Method，F(xiàn)EM）和有限差分法（Finite Difference Method，F(xiàn)DM）對(duì)瞬態(tài)非線性熱傳導(dǎo)問題進(jìn)行求解，計(jì)算結(jié)果如圖3 所示。

圖3 節(jié)點(diǎn)數(shù)量對(duì)計(jì)算結(jié)果的影響Fig.3 Effects of number of nodes on calculation results

由圖3 可以看到，采用有限差分法計(jì)算的3.0、6.4、6.6 mm 3 個(gè)位置處的溫度值與有限單元法的計(jì)算結(jié)果吻合較好，51、101、201 和3014 組節(jié)點(diǎn)的計(jì)算溫度值與有限單元法計(jì)算結(jié)果的平均相對(duì)誤差分別為 0.026%、0.010%、0.017%和0.018%。可以看出，對(duì)于該瞬態(tài)非線性熱傳導(dǎo)問題，只要滿足收斂穩(wěn)定性條件，節(jié)點(diǎn)數(shù)量對(duì)結(jié)果精度影響較小。

在保證有限差分法滿足收斂穩(wěn)定性條件的前提下，選取101 個(gè)節(jié)點(diǎn)，分析差分步長(zhǎng)對(duì)計(jì)算精度的影響。計(jì)算結(jié)果如圖4 所示。可以看出，采用不同差分步長(zhǎng)計(jì)算的溫度值與有限單元法計(jì)算的結(jié)果吻合較好，當(dāng)差分步長(zhǎng)為0.000 2、0.001 0 和0.005 0 時(shí)，其計(jì)算溫度與FEM 計(jì)算結(jié)果的平均相對(duì)誤差分別為0.009%、0.010%和0.017%。可以得出，計(jì)算誤差隨著差分步長(zhǎng)的增加而增加。綜合考慮計(jì)算精度和效率，選取0.001 0 的差分步長(zhǎng)進(jìn)行計(jì)算。

圖4 差分步長(zhǎng)對(duì)計(jì)算結(jié)果的影響Fig.4 Effects of difference step on calculation results

2.2 隨溫度變化導(dǎo)熱系數(shù)的預(yù)測(cè)

為了驗(yàn)證提出的預(yù)測(cè)算法的優(yōu)勢(shì)，采用該方法預(yù)測(cè)隨溫度變化的導(dǎo)熱系數(shù)，并與傳統(tǒng)LM 算法進(jìn)行比較。對(duì)于此類問題，由于無(wú)法推導(dǎo)出靈敏度系數(shù)的解析表達(dá)式，在傳統(tǒng)LM 算法中，通常采用差分格式來確定靈敏度矩陣：

以該模型3.0、6.4、6.6 mm 處的正問題溫度計(jì)算值作為測(cè)量信息，每2 s 讀取一次溫度，則一共有150 個(gè)測(cè)量信息。求解瞬態(tài)熱傳導(dǎo)反問題時(shí)，需要預(yù)測(cè)7 個(gè)溫度處的導(dǎo)熱系數(shù)，其他計(jì)算條件同正問題一致。數(shù)值算例均在CPU Intel?CoreTMi5-8400、2.80 GHz、內(nèi)存16 GB 的計(jì)算機(jī)上完成。計(jì)算得到的導(dǎo)熱系數(shù)收斂曲線如圖5 所示。本文算法與傳統(tǒng)Levenberg-Marquardt 算法的對(duì)比如表3 所示。

表3 不同預(yù)測(cè)算法計(jì)算結(jié)果比較Table 3 Comparison of computational results with different prediction methods

圖5 驗(yàn)證算例導(dǎo)熱系數(shù)的收斂過程Fig.5 Convergence process for thermal conductivities of validation model

由圖5 可以看到，5 次迭代后，7 個(gè)參數(shù)收斂至各自的真實(shí)值，這說明該方法在預(yù)測(cè)熱物性參數(shù)方面具有較高的效率和精度。

由表3 可以看出，當(dāng)步長(zhǎng)較小時(shí)，如1×10-16，傳統(tǒng)的梯度算法不收斂，并且步長(zhǎng)影響參數(shù)預(yù)測(cè)的迭代步數(shù)和目標(biāo)函數(shù)。而本文算法在步長(zhǎng)為1×10-30時(shí)仍能收斂，迭代步數(shù)不隨步長(zhǎng)的變化而變化，目標(biāo)函數(shù)隨步長(zhǎng)的變化較小，說明該算法受步長(zhǎng)影響小，具有很好的穩(wěn)定性和精度。在實(shí)際應(yīng)用中，該算法不需要調(diào)整步長(zhǎng)，通用性好，具有可推廣性。此外，由表3 還可以看到，本文算法的計(jì)算時(shí)間均比傳統(tǒng)算法少，說明該算法效率高。這是因?yàn)椴捎貌罘指袷接?jì)算靈敏度系數(shù)時(shí)，反復(fù)計(jì)算溫度場(chǎng)，增加了計(jì)算量。

2.3 測(cè)量誤差的影響

在試驗(yàn)過程和實(shí)際工程應(yīng)用中，溫度的測(cè)量必然存在著誤差。反問題具有不適定性，很小的測(cè)量誤差都可能使預(yù)測(cè)參數(shù)產(chǎn)生很大的波動(dòng)。為了研究測(cè)量誤差對(duì)算法的影響，定義平均相對(duì)誤差Ere為

式中：N為預(yù)測(cè)參數(shù)的個(gè)數(shù)；為預(yù)測(cè)的熱物性參數(shù)的真實(shí)值。

存在隨機(jī)測(cè)量誤差的測(cè)量溫度［24］可以表示為

式中：Tex為真實(shí)的測(cè)點(diǎn)溫度；Tes為存在測(cè)量誤差的溫度；γ為-1～1 之間的隨機(jī)數(shù)；ξ為測(cè)量誤差。

表4 給出了施加不同測(cè)量誤差時(shí)，隨溫度變化的導(dǎo)熱系數(shù)的預(yù)測(cè)結(jié)果。可以看到，測(cè)量誤差影響預(yù)測(cè)算法的精度，測(cè)量誤差越大，該算法預(yù)測(cè)精度越低。但是，當(dāng)測(cè)量誤差為3%時(shí)，導(dǎo)熱系數(shù)預(yù)測(cè)的平均相對(duì)誤差為1.448%，仍在合理范圍之內(nèi)。這說明該算法受測(cè)量誤差影響較小，采用該方法確定隨溫度變化的導(dǎo)熱系數(shù)具有高的精度。此外，由表4 還可以看到，平均相對(duì)誤差均小于各自的測(cè)量誤差，說明了該預(yù)測(cè)算法魯棒性好。

表4 測(cè)量誤差對(duì)預(yù)測(cè)結(jié)果的影響Table 4 Effects of measurement errors on prediction results

2.4 初始猜測(cè)值的影響

相比于隨機(jī)算法，梯度算法的計(jì)算結(jié)果受初始猜測(cè)值影響較大。為了研究初始猜測(cè)值對(duì)隨溫度變化的導(dǎo)熱系數(shù)預(yù)測(cè)的影響，選取3 組不同的初始猜測(cè)值進(jìn)行反演計(jì)算，其他計(jì)算條件均相同。隨溫度變化的導(dǎo)熱系數(shù)的預(yù)測(cè)結(jié)果如表5 和圖6 所示。可以看出：當(dāng)導(dǎo)熱系數(shù)的初始猜測(cè)值取0.1、0.5、1.0 時(shí)，預(yù)測(cè)的導(dǎo)熱系數(shù)均可以收斂到真實(shí)值，這說明該預(yù)測(cè)算法受初始猜測(cè)值影響較小，具有很好的精度和穩(wěn)定性。此外，由表5 進(jìn)一步分析可以看出，初始猜測(cè)值與導(dǎo)熱系數(shù)的真實(shí)值越接近，迭代次數(shù)越少，預(yù)測(cè)算法的收斂速度越快。

表5 初始猜測(cè)值對(duì)預(yù)測(cè)結(jié)果的影響Table 5 Effects of initial guessed values on prediction results

圖6 初始猜測(cè)值不同時(shí)導(dǎo)熱系數(shù)的預(yù)測(cè)值Fig.6 Predicted thermal conductivities with different initial guessed values

3 試驗(yàn)結(jié)果與分析

開展了IPC 測(cè)溫實(shí)驗(yàn)，并基于試驗(yàn)測(cè)量溫度值預(yù)測(cè)酚醛樹脂氣凝膠復(fù)合材料隨溫度變化的等效導(dǎo)熱系數(shù)。

3.1 IPC 測(cè)溫試驗(yàn)

試驗(yàn)件為15 mm 厚的IPC 防熱層和8.6 mm厚的鋁合金背板的雙層平板，尺寸為300 mm×300 mm。采用石英燈對(duì)酚醛樹脂氣凝膠復(fù)合材料表面進(jìn)行加熱。雖然未能考慮到實(shí)際工程應(yīng)用中邊界氣體對(duì)流及熱阻塞效應(yīng)的影響，但是，IPC 是微燒蝕材料，熱失重非常小，質(zhì)量引射對(duì)降熱的效果較弱。此外，熱阻塞效應(yīng)主要發(fā)生在邊界層，使作用到表面的冷壁熱流減小，而不改變材料內(nèi)部的導(dǎo)熱系數(shù)，因此，其對(duì)IPC 等效導(dǎo)熱系數(shù)的預(yù)測(cè)結(jié)果幾乎無(wú)影響。

在該試驗(yàn)件四周包裹隔熱材料，以減少試驗(yàn)件對(duì)環(huán)境的輻射散熱和對(duì)流換熱，如圖7 所示。石英燈加熱熱流如圖8 所示，鋁合金板背面為自然對(duì)流邊界條件。圖9 為該測(cè)溫試驗(yàn)的物理模型。

圖7 試驗(yàn)示意圖Fig.7 Schematic diagram of experiment

圖8 熱流邊界條件Fig.8 Heat flux boundary condition

圖9 試驗(yàn)?zāi)Ｐ蛨DFig.9 Experiment model diagram

試驗(yàn)持續(xù)時(shí)間為750 s，初始溫度為25 ℃。該試驗(yàn)酚醛樹脂氣凝膠復(fù)合材料的密度為640 kg·m-3，室溫比熱容為950 J·kg-1·℃-1。在試驗(yàn)中，該試驗(yàn)件表面溫度采用多個(gè)熱電偶和紅外測(cè)溫儀測(cè)量。同時(shí)，為了獲取IPC 內(nèi)部測(cè)點(diǎn)隨時(shí)間變化的溫度數(shù)據(jù)，在該試驗(yàn)件內(nèi)部布置4 處熱電偶，熱電偶距加熱面的距離分別為3.0、6.4、6.6、10.0 mm。處理后的測(cè)點(diǎn)隨時(shí)間變化的溫度如圖10 所示。可以看到受熱面附近的溫度曲線中間部分下降后上升，這個(gè)現(xiàn)象的主要原因是石英燈加熱熱流的變化，如圖8 所示，受熱面附近的溫度變化趨勢(shì)與熱流變化趨勢(shì)一致。當(dāng)節(jié)點(diǎn)向外輸出的熱量大于吸收的熱量時(shí)，溫度下降；當(dāng)節(jié)點(diǎn)向外輸出的熱量小于吸收的熱量時(shí)，溫度上升。

圖10 測(cè)點(diǎn)溫度分布Fig.10 Temperature distributions of measured points

3.2 IPC 碳化過程等效導(dǎo)熱系數(shù)預(yù)測(cè)

在該IPC 隨溫度變化的等效導(dǎo)熱系數(shù)預(yù)測(cè)時(shí)，以受熱面已知測(cè)點(diǎn)溫度的平均值作為受熱面的邊界條件，10.0 mm 處的測(cè)量溫度值作為下表面邊界條件，3.0、6.4、6.6 mm 處的溫度值作為測(cè)量數(shù)據(jù)。正問題計(jì)算過程中，差分步長(zhǎng)設(shè)置為0.001 0，總節(jié)點(diǎn)數(shù)為101，滿足穩(wěn)定性條件。

預(yù)測(cè)酚醛樹脂氣凝膠復(fù)合材料隨溫度變化的等效導(dǎo)熱系數(shù)，在整個(gè)溫度區(qū)間范圍內(nèi)采取分段線性插值，選取100～1 100 ℃的溫度點(diǎn)，間隔為100 ℃。11 個(gè)參數(shù)的初始猜測(cè)值均為0.03 W·m-1·℃-1。在3 個(gè)測(cè)點(diǎn)位置分別選取150 個(gè)測(cè)量數(shù)據(jù)，則一共有450 個(gè)測(cè)量數(shù)據(jù)。IPC 隨溫度變化的等效導(dǎo)熱系數(shù)的預(yù)測(cè)結(jié)果如表6 和圖11 所示。可以看到，該試驗(yàn)IPC 的等效導(dǎo)熱系數(shù)隨著溫度的升高而增加，并且在800 ℃以下，等效導(dǎo)熱系數(shù)均低于0.1 W·m-1·℃-1，預(yù)測(cè)結(jié)果符合物理規(guī)律。

表6 預(yù)測(cè)的典型溫度點(diǎn)的等效導(dǎo)熱系數(shù)Table 6 Inverted effective thermal conductivities for typical temperature points

圖11 等效導(dǎo)熱系數(shù)隨溫度的變化規(guī)律Fig.11 Variation of effective thermal conductivity with temperature

預(yù)測(cè)過程中，優(yōu)化目標(biāo)函數(shù)的變化過程如圖12 所示，可以看到，經(jīng)過11 次迭代，該預(yù)測(cè)算法收斂，并且優(yōu)化目標(biāo)函數(shù)下降很快。這說明該預(yù)測(cè)算法在確定IPC 碳化過程等效導(dǎo)熱系數(shù)時(shí)效率高。

圖12 目標(biāo)函數(shù)的變化過程Fig.12 Change process for objective function

圖13 比較了試驗(yàn)測(cè)量溫度和采用預(yù)測(cè)的等效導(dǎo)熱系數(shù)計(jì)算的溫度值。可以看到，3 個(gè)測(cè)點(diǎn)處溫度的測(cè)量值與計(jì)算值吻合較好，測(cè)量數(shù)據(jù)與計(jì)算溫度值的平均相對(duì)誤差為3.279%，說明了本文算法精度高，預(yù)測(cè)結(jié)果的可信度高。

圖13 IPC 測(cè)量溫度與計(jì)算溫度的對(duì)比Fig.13 Comparison of measurement values with calculated temperatures for IPC

4 結(jié)論

建立了酚醛樹脂氣凝膠復(fù)合材料（IPC）碳化過程熱物性參數(shù)的預(yù)測(cè)算法。通過與傳統(tǒng)梯度算法比較，表明了本文算法的良好性能。開展了IPC 測(cè)溫實(shí)驗(yàn)，基于試驗(yàn)測(cè)量數(shù)據(jù)，對(duì)IPC 隨溫度變化的等效導(dǎo)熱系數(shù)進(jìn)行了預(yù)測(cè)。主要研究結(jié)論如下：

1）該算法受步長(zhǎng)影響較小，具有很好的穩(wěn)定性和精度。對(duì)于所研究的算例，該算法在步長(zhǎng)為1×10-30時(shí)仍能收斂，且迭代步數(shù)和目標(biāo)函數(shù)受步長(zhǎng)影響小，而傳統(tǒng)的梯度算法在步長(zhǎng)為1×10-16時(shí)就無(wú)法收斂。

2）相比于傳統(tǒng)的梯度算法，該算法的計(jì)算時(shí)間明顯縮短，針對(duì)所研究的算例，計(jì)算時(shí)間由75 s下降至35 s，說明該算法效率高。

3）采用本文算法預(yù)測(cè)的酚醛樹脂氣凝膠復(fù)合材料的等效導(dǎo)熱系數(shù)隨著溫度的增加而增加，試驗(yàn)測(cè)量值和計(jì)算溫度吻合較好，平均相對(duì)誤差為3.279%。預(yù)測(cè)結(jié)果符合物理規(guī)律，且精度高。

該工作為獲取熱防護(hù)材料隨溫度變化的高溫?zé)嵛镄詤?shù)提供了一種有效方法，為熱防護(hù)結(jié)構(gòu)傳熱分析的整體優(yōu)化設(shè)計(jì)計(jì)算提供了關(guān)鍵參數(shù)。