簡諧基礎加速度激勵下的點陣結構優化設計

陳立，曾孝云，黃文，張建飛

中國工程物理研究院 機械制造工藝研究所，綿陽 621900

隨著中國航空航天事業的大力發展，針對航空航天飛行器結構的輕量化設計變得尤為重要。近年來點陣結構因其具有超輕質、高比剛度、高比強度等優良的機械性能，以及減振降噪等功能屬性應用到航空航天工程領域［1］。航空航天器中存在大量支撐功能部件的支撐結構，這些功能部件在飛行過程中受到基礎加速度激勵工況，這就要求功能部件所處的位置不能發生過大的振動位移響應。在航空航天工程結構中，往往是采用蒙皮和均勻點陣填充并配合力學性能校核進行設計［2］。然而，具有可變單胞密度的非均勻點陣結構顯然能獲得更好的性能，因此面向位移響應最小化的非均勻點陣結構優化設計是一個值得研究的問題。

點陣結構可以看成是由一系列周期性單胞微結構組成。均勻化方法可以對單胞微結構進行優化設計，Sigmund［3］提出了基于均勻化理論的拓撲優化方法可以對各向同性材料單胞構型進行逆向設計，通常采用均勻化方法設計單胞結構是從宏觀的結構拓撲設計和微觀結構設計兩個尺度進行。該方法需要宏觀結構尺度遠大于微觀尺度。為了克服尺度問題，Wang 等［4-5］提出了一種參數化點陣結構，實現了宏觀拓撲結構和微觀點陣結構協同優化。Wu 等［6］基于子結構法提出了近似降階懲罰模型，將點陣單胞視為一個超單元，實現了點陣結構與宏觀結構協同設計。避免了均勻化理論帶來的尺度效應。Wu 和Li［7］采用擴展有限元方法實現了共形點陣結構的尺寸優化。Zhou 等［8］基于參數化點陣和多尺度有限元方法提出了實體-點陣的混合變量優化模型，避免了均勻化理論中的尺度分離。上述工作均針對結構的靜力學性能進行研究。在動力學研究領域，Xiao 等［9］同種單胞結構不同密度的力學性能進行計算，實現在點陣夾心結構的最大化基礎頻率的優化。Vicente 等［10］提出了一種基 于BESO 的協同拓撲優化方法，可以同時優化周期微結構和宏觀結構兩個尺度的頻率響應問題，Zhang 等［11］通過構造可連接性微結構的方法實現了多尺度點陣結構頻率響應最小的優化設計。

點陣結構中的桿件也可以看成是由一系列梁組成，采用梁單元對點陣結構進建模，避免了均勻化方法帶來的尺度分離效應。點陣結構的優化設計就可以轉化為對每個梁截面尺寸的優化。Tang 等［12］提出了一種基于格框算法的點陣生成方法，實現了點陣結構的生成和最小柔順度的優化設計，Chen 等［13］提出了一種基于網格的點陣結構生成方法，實現了點陣結構最小柔順度的優化設計，Terriault 和Brailovski［14］提出了基于網格的共形點陣生成方法，并對其力學性能進行了預測。Zhou 和Li［15-16］采 用Michell 桁架方法對類桁架結構的自然頻率進行了優化設計。

上述對點陣結構靜力學優化設計、固有頻率優化方面都已分別有了相應的研究。但點陣結構在動力學激勵下的優化方面僅有很少一部分研究內容［11］。實際工程中的點陣結構往往是三維復雜結構，有些結構即包含蒙皮也包含內部的點陣填充，這些結構會受到外部各種周期性載荷和簡諧激勵，而這些周期性載荷可以通過傅里葉變化轉化為不同頻率下的簡諧激勵的疊加。因此研究點陣結構在簡諧基礎加速度激勵下的優化問題將變得很有意義。

受Zhang 等［1］文章的啟發，結合航空航天工程對三維點陣結構在關鍵位置的位移響應控制的迫切需求開展研究。提出通過優化點陣結構桿件的截面尺寸來降低結構動響應的優化方法，建立了簡諧加速度激勵下點陣結構優化的數學模型、推導了設計目標的靈敏度。實現了非均勻點陣結構在基礎加速度激勵下的優化設計。

1 理論基礎及優化模型

首先給出點陣結構的建模方法、簡諧加速度激勵下的點陣結構優化設計的基礎理論，包括大質量法、結構動響應分析方法等，然后給出點陣結構在簡諧加速度激勵下的優化模型。

1.1 點陣結構建模方法

點陣結構是由三維空間中重復排列的一些列桿件組成。單胞是定義點陣結構基本單元，一些典型的點陣單胞結構如圖1 所示，單胞結構可以看成是由桿系結構組成，將單胞中桿件采用梁單元進行建模，桿件的每個交點都看成是單元節點，最終點陣結構優化問題轉為梁截面尺寸優化問題［13］。面向大規模點陣結構尺寸優化問題，Zhou［17］和Stolpe［18］等都進行過相關研究。

圖1 一些典型的點陣單胞Fig.1 Some typical lattice unit cells

為實現大規模點陣結構的建模，這里采用Tang 等［12］所提出的方法，將不同點陣單胞生成單胞庫，根據工程結構的性能要求選擇單胞結構進行填充。根據單胞的幾何尺寸對幾何體進行離散，然后生成大規模點陣結構，具體的優化設計流程如圖2 所示。具體步驟為

圖2 點陣結構優化設計流程Fig.2 Optimization design process of lattice structure

1）確定優化對象的優化計算邊界條件。

2）對優化對象的設計域進行劃分，并從點陣單胞庫中選擇單胞生成點陣結構。

3）在簡諧加速度激勵下優化點陣結構的動力學響應。

4）完成優化模型。

1.2 大質量法

結構在承受基礎激勵時的動力學平衡方程為

采用分塊矩陣形式，式（1）可以改寫為

在大質量法中，通過在基礎處附著質量很大的集中質量ML，得到對應于Mbb的大質量矩陣，此時對結構響應起主要作用的是大質量受到基礎傳遞來的加速度激勵而產生的慣性力。為保證基礎處原有的加速度場不變，需在大質量點激勵自由度方向上施加相應的外力載荷。假設基礎節點激勵自由度方向受到的加速度激勵向量為則式（2）可以變換為

將式（3）左側第2 項展開為

通過大質量法就可以將基礎加速度激勵等效施加到結構與基礎交界面處的節點上。即基礎加速度為

式中：Γg為加速度激勵幅值向量；ω為加速度激勵頻率。此時等效的力激勵向量為

通過大質量法將簡諧加速度激勵等效轉化為簡諧力激勵。并且在用模態位移法分析簡諧響應時，當不考慮結構剛體模態的情況下，可獲得響應點的相對位移響應。

1.3 簡諧加速度激勵下位移響應幅值分析

簡諧響應分析，即求在簡諧載荷作用下解線性結構的穩態響應。首先給出具有n自由度的結構在簡諧力激勵下的動力學平衡方程：

式中：f(t)=Fejωt(j2=-1)為簡諧力向量；F為簡諧載荷振幅向量；ω為簡諧載荷激勵圓頻率。

在采用模態疊加法求解簡諧響應時，通過求解自由振動下的平衡方程，求解結構的特征頻率和特征值：

則第i階固有頻率i和對應的第i階振型向量Φi可通過求解以下特征方程求得：

設質量歸一化振型矩陣為Φ=[Φ1，Φ2，…，Φn]，在經典阻尼條件下求得：

式中：I為單位矩陣；ξi為第i階模態阻尼比。

假設系統的瑞利阻尼矩陣是質量矩陣和剛度矩陣的線性組合［20］，即

式中：α和β為瑞利阻尼系數，取α=10-3、β=10-6。根據式（11）可以求解得到結構模態阻尼比為

通過引入廣義坐標系變化公式，位移響應可以寫為

式中：y(t)為廣義坐標下的位移向量。將式（14）代入式（8）中，并左乘ΦiT，可以得到n個解耦的單自由度振動方程為

式（15）為標準的二階系統形式，可以求得：

式（16）右端的第1 部分即為第i個單自由度系統的頻率響應函數，引入表達式：

根據Zhu 等［21］文章中的結論，在簡諧加速度激勵下，模態位移法（MDM）和模態加速度（MAM）有著相同的計算精度，通過模態位移法（MDM）可求得：

考慮到計算效率，求解中取結構前q階模態進行計算［22］，則：

2 簡諧加速度激勵下點陣結構優化模型

2.1 優化數學模型

在單頻簡諧基礎加速度激勵下的點陣結構優化設計中，以目標自由度相對位移響應幅值最小為優化目標。以體積為約束的尺寸優化模型，設計變量為單元的半徑rk。點陣結構優化的數學模型可表述為

式中：rk為在點陣結構中第k個梁單元的半徑設計變量；ne為設計單元的數量；Vk為第k個梁單元的體積；V0為所有點陣結構單元總和的體積上限值；rmin和rmax為點陣結構桿件的最小半徑和最大半徑。

2.2 靈敏度分析

首先求解用模態位移法得到的簡諧響應關于設計變量的靈敏度，因為本文的優化目標為某個自由度c 的位移響應，現假設a是一個在自由度c 上為1 其余項為0 的n維向量。則有：

自由度c 的位移響應幅值為

式中：Xc復位移幅值；xc(t)=Xcejωt，|xc(t)|關 于設計變量的靈敏度求解公式為

采用模態位移法求解簡諧響應xc(t)關于設計變量rk的靈敏度。對式（18）兩邊關于設計變量直接進行求導即可求得：

頻率靈敏度可以通過式（25）進行求解［23］：

振型的靈敏度可以通過不完備振型疊加法［24］進行求解，即采用前q階振型的線性組合表示第i階振型的靈敏度：

通過鏈式求導法則即可求得式（21）中簡諧位移響應的靈敏度。

3 數值算例

3.1 給定頻率下的簡諧加速度激勵

對如圖3 所示的三維懸臂梁點陣結構進行優化設計，模型的幾何尺寸為210 mm×100 mm×40 mm。模型灰色部分為質量塊，模擬結構所受到的負載，灰色部分的中心為響應點。從點陣單胞庫中隨機選擇BC、Octa點陣單胞對設計與進行填充，單胞的尺寸為10 mm×10 mm×10 mm，填充后的模型如圖4 所示。材料的彈性模量、泊松比和密度分別為1.95 GPa、0.39、1 200 kg/m3，設點陣結構中桿件半徑上下限分別為rmin=0.25 mm 和rmax=1.5 mm。設點陣結構的體積上限V0=1.2×105mm3，此時BC 點陣結構的一階共振頻率為48.9 Hz、Octa點陣結構的一階共振頻率為126 Hz。

圖3 三維懸臂梁Fig.3 3D cantilever beam

圖4 懸臂梁點陣結構Fig.4 Cantilever beam with lattice structure

給定模型左端支撐處沿Y方向施加激勵頻率ωp=40 Hz、幅值為5 m/s2的簡諧加速度激勵。此時激勵頻率低于結構一階共振頻率。優化目標為響應點沿Y方向的相對位移響應幅值最小。

優化過程和最終優化構型如圖5 所示。結果顯示BC 點陣結構的目標自由度的相對位移響應幅值由20.5 mm 下降到0.97 mm，Octa 點陣結構的目標自由度的相對位移響應幅值由1.14 mm下降到0.30 mm，優化后的結構點陣密度分布清晰，優化效果明顯。采用Octa 點陣單胞的結構動響應更小，因為Octa 點陣結構單胞桿件數量更多，優化空間更大。

圖5 點陣結構低頻激勵下的相對位移響應幅值迭代過程Fig.5 Iteration history of relative displacement response amplitudes under low-frequency excitation of lattice structure

當對BC 點陣結構和Octa點陣結構，分別施加簡諧加速度激勵頻率50 Hz和130 Hz，且均高于一階共振頻率時。經過優化，結構目標自由度的相對位移響應幅值分別由149 mm 下降到5.9 mm 和16.2 mm 下降到0.91 mm。但此時通過圖6 的優化構型可以看出，點陣結構中材料主要集中在響應點附近，而支撐處材料變少，這一結果使得靜剛度很差，無法應用于工程當中。點陣結構高頻激勵下的一階共振頻率迭代曲線如圖7所示。

圖6 點陣結構高頻激勵下的相對位移響應幅值迭代過程Fig.6 Iterative history of relative displacement response amplitudes under high-frequency excitation of lattice structure

圖7 點陣結構高頻激勵下的一階共振頻率迭代曲線Fig.7 Iterative curves of first resonance frequency under high-frequency excitation of lattice structure

針對高于共振頻率下簡諧激勵存在的問題，Olhoff 和Du［25］曾提出一種增加靜柔順度約束的方法用于解決無阻尼連續結構在簡諧激勵下拓撲優化問題。

在實際工程中，結構通常受到某個頻段范圍內的簡諧加速度激勵。針對這種載荷下的結構優化問題，Liu［26］和Zhu［21］等采用的以頻段內相對位移響應幅值的積分最小為目標，很好的解決了這個問題。優化數學模型如式（28）所示，具體詳見文獻［21］：

在圖4 所示的2 種單胞結構的懸臂梁上分別施加頻段為［0，500］Hz 的簡諧加速度激勵，頻段內相對位移響應幅值的積分迭代過程和優化結構如圖8 所示，可以看出，優化過程中頻段內相對位移響應幅值的積分數值均逐漸降低，并趨于收斂。兩種優化結構相較圖6 更符合靜剛度的要求，傳力路徑上的點陣結構更粗，并且與頻點優化的結構有著明顯區別。

圖8 點陣結構頻段內相對位移響應幅值的積分迭代過程Fig.8 Iterative history of relative displacement response amplitude integration within band of lattice structure

對初始結構和優化后的結構進行簡諧響應分析，結果如圖9 所示。相比于初始結構，優化后的結構在低頻處的相對位移響應幅值降低，一階共振頻率增大，在高頻處的響應得到很好的抑制。

圖9 點陣結構頻段內初始和優化結構的相對位移響應幅值Fig.9 Relative displacement response amplitudes of initial and optimized structures within band of lattice structure

3.2 動量輪支架組件

某動量輪支架的設計構型如圖10 所示，該結構是基于模態加速度法提出的動力學響應拓撲優化方法得到的優化構型進行重構設計的結果。結構通過底面4 個點進行固定，結構頂面安裝有動量輪，采用BC 單胞對結構進行填充，其單胞尺寸為10 mm×10 mm×10 mm，每個單元的初始半徑為0.3 mm，設點陣結構中桿件半徑上下限分別為rmin=0.15 mm 和rmax=0.6 mm。給定點陣結構的體積為8.8×105mm3，結構蒙皮厚度為1 mm。結構材料屬性為：彈性模量72 GPa，泊松比0.33，密度2 850 kg/m3。

圖10 動量輪支架組件Fig.10 Momentum wheel bracket assembly

結構底部分別受到沿X軸和Y軸方向的簡諧加速度激勵，其中X方向的加速度激勵幅值為5 m/s2，Y方向的加速度激勵幅值為10 m/s2。在支架支撐的動量輪質心處施加動量輪的質量為5 kg，優化目標設置為響應點在激勵頻段［0，1 500］Hz 內沿X方向和Y方向的相對位移響應幅值曲線積分之和最小。

從圖11 中可以看出頻段內相對位移響應幅值的積分完成收斂。從圖12 可以看出優化結構點陣密度分布清晰，在結構4 個主承力柱上的點陣結構更粗，說明4 個主承力柱對結構的響應貢獻較大。

圖11 動量輪支架頻段內相對位移響應幅值的積分迭代曲線Fig.11 Iterative curves of relative displacement response amplitude integration within band of momentum wheel bracket

圖12 動量輪支架初始和優化結構Fig.12 Initial and optimized structures of momentum wheel bracket

對初始結構和優化結構分別進行頻率響應分析，獲得其相對位移響應幅值曲線。圖13 為X方向相對位移響應幅值曲線，圖14 為Y方向相對位移響應幅值曲線，可以看出結構各階共振頻率有所提高，給定頻段內的相對位移響應的峰值均有所降低，相比于原構型動響應降低25%。最終通過增材制造技術將其加工成型，如圖15 所示。

圖13 動量輪支架初始結構和優化結構相對位移響應幅值（X 方向）Fig.13 Relative displacement response amplitudes of initial and optimized structures of momentum wheel bracket（X direction）

圖14 動量輪支架初始結構和優化結構相對位移響應幅值（Y 方向）Fig.14 Relative displacement response amplitudes of initial and optimized structures of momentum wheel bracket（Y direction）

圖15 動量輪支架Fig.15 Momentum wheel bracket

4 懸臂梁點陣結構力學試驗驗證

為了驗證上述設計的正確性，選定基于頻段簡諧加速度激勵優化的三維懸臂梁點陣結構進行實驗。為了對實驗過程進行對比，將初始結構和優化結構的懸臂梁模型均采用SLA 工藝進行增材制造，所得到的樣件如圖16 所示，實驗采用東菱科技有限公司的ES-3-150 型電動振動測試系統進行振動測試。在振動臺側面和零件的側面分別粘貼加速度傳感器，通過測量振動臺面和被測試件的加速度以及被測試件的相位角對零件的相對位移響應幅值進行計算。

圖16 振動試驗Fig.16 Vibration test

設置簡諧加速度激勵的掃描頻率范圍為20～1 000 Hz，掃描速率為2 Oct/min，激勵加速度幅值為5 m/s2，通過測得的加速度值計算的相對位移響應幅值曲線如圖17 所示，可以看出，優化結構較初始結構的位移響應幅值更小，一階共振頻率也更高，說明了優化方法的有效性。

圖17 懸臂梁點陣結構相對位移響應幅值Fig.17 Relative displacement response amplitudes of cantilever beam with lattice structure

5 結論

1）本文建立了簡諧加速度激勵下點陣結構優化問題的數學模型，并對目標自由度相對位移響應關于設計變量的靈敏度進行了推導。

2）當簡諧加速度激勵的頻率低于初始結構的1 階共振頻率時，經過優化可以獲得符合工程要求的結構，優化后結構不僅一階共振頻率提高，而且相對位移響應峰值也有所下降；當激勵頻率在高于一階共振頻率或在某一頻率范圍內時，通過引入頻段優化方法，經過優化同樣可以獲得符合工程要求的結構并提高結構的靜力學性能。

3）采用該優化方法對動量輪支架組件進行優化，實現動響應降低25%。

4）通過對三維點陣懸臂梁結構進行振動實驗對優化結果進行了驗證，證明了優化的有效性。