考慮接頭參數(shù)化的空間桁架輕量化設(shè)計

張瑞桐，汪雷，劉佳佳，3，朱繼宏

1.西北工業(yè)大學(xué) 航宇材料結(jié)構(gòu)一體化設(shè)計與增材制造裝備技術(shù)國際聯(lián)合研究中心，西安 710072

2.中國運(yùn)載火箭技術(shù)研究院，北京 100076

3.北京宇航系統(tǒng)工程研究所，北京 100076

復(fù)合材料桁架結(jié)構(gòu)因其質(zhì)量輕，強(qiáng)度高和可制造性強(qiáng)等優(yōu)點(diǎn)被廣泛應(yīng)用于航空航天領(lǐng)域。例 如Zephyr-7［1］和Heliplat［2］等高空長航時大展弦比太陽能無人機(jī)［3-8］的機(jī)身和機(jī)翼［9-10］結(jié)構(gòu)，以及太陽翼支撐結(jié)構(gòu)［11-12］和可展天線結(jié)構(gòu)［13-14］等大型空間在軌裝配結(jié)構(gòu)［15］，都采用了復(fù)合材料桁架結(jié)構(gòu)。這些桁架結(jié)構(gòu)的力學(xué)性能是由復(fù)合材料管本身的布局，尺寸以及接頭決定的，特別是桁架的破壞多發(fā)生在接頭處。因此，為提高結(jié)構(gòu)的力學(xué)性能，有必要對連桿布局和接頭結(jié)構(gòu)細(xì)節(jié)進(jìn)行優(yōu)化。

前期學(xué)者們圍繞桁架結(jié)構(gòu)連桿布局及尺寸優(yōu)化問題進(jìn)行了大量研究。Venkatesh 等［16］提出了基于測度變化進(jìn)化優(yōu)化（Change of Measure–Based Evolutionary Optimization，COMBEO）的帶屈曲約束桁架尺寸和形狀優(yōu)化方法。Weldeyesus 等［17］研究了具有全局穩(wěn)定性約束的桁架布局優(yōu)化問題。Fakhimi 等［18］則重點(diǎn)研究了多載荷桁架尺寸優(yōu)化（Multi-load Truss Sizing Optimization，MTSO）問題及其計算實(shí)驗(yàn)。針對桁架優(yōu)化后構(gòu)件優(yōu)化截面和長度復(fù)雜導(dǎo)致制造成本高的問題，Lu 和Xie［19］提出了一種基于K 均值聚類算法的策略。通過將桁架的構(gòu)件按橫截面或長度和橫截面進(jìn)行分類來降低制造成本。除此之外，拓?fù)鋬?yōu)化方法也被應(yīng)用于桁架結(jié)構(gòu)設(shè)計中。Qiu 等［20］對某飛機(jī)的桁架結(jié)構(gòu)進(jìn)行了拓?fù)鋬?yōu)化和尺寸優(yōu)化。使用拓?fù)鋬?yōu)化方法得到桁架分布后采用遺傳算法對得到其尺寸進(jìn)行優(yōu)化。Wu等［21］在拓?fù)鋬?yōu)化的基礎(chǔ)上，提出了力流路徑提取的方法，將連續(xù)體拓?fù)渑c離散桁架相結(jié)合。Lieu［22］提出了一種不同工況下的拓?fù)鋬?yōu)化框架。在運(yùn)動穩(wěn)定性、位移、應(yīng)力、歐拉屈曲載荷、固有頻率和瞬態(tài)性能等約束條件下，對桁架結(jié)構(gòu)的尺寸和形狀進(jìn)行了優(yōu)化。Wei 等［23］提出了一種剛度擴(kuò)展法（Stiffness Spreading Method，SSM）來優(yōu)化桁架結(jié)構(gòu)布置。該方法將桁架結(jié)構(gòu)桿單元的剛度矩陣表示為嵌入在弱網(wǎng)格中的一組等效剛度矩陣，使桁架結(jié)構(gòu)的設(shè)計具有更大的靈活性。以上研究的側(cè)重點(diǎn)均在于桁架連桿的布局與尺寸，并未考慮連接結(jié)構(gòu)即接頭對于整體力學(xué)性能的影響。

因此，國內(nèi)外研究者們也開展了考慮桁架連接結(jié)構(gòu)的優(yōu)化工作。?ilih 等［24］基于混合整數(shù)非線性規(guī)劃（Mixed-Integer Non-Linear Programming，MINLP）方法對帶柔性節(jié)點(diǎn)桁架的形狀和尺寸進(jìn)行了優(yōu)化。Mellaert 等［25］在實(shí)際設(shè)計標(biāo)準(zhǔn)的約束下的進(jìn)行桁架優(yōu)化。為滿足標(biāo)準(zhǔn)要求，在桁架優(yōu)化過程中考慮將接頭設(shè)計標(biāo)準(zhǔn)作為約束條件。最終設(shè)計的重量比無該約束的設(shè)計重量高15%。在現(xiàn)有的工作［26］中，通常將接頭簡化為節(jié)點(diǎn)［27］實(shí)現(xiàn)考慮連接的桁架優(yōu)化。接頭作為整個結(jié)構(gòu)的薄弱區(qū)域，這種簡化一定程度上影響了最終結(jié)果的準(zhǔn)確性［28］。因此，本文進(jìn)行了考慮接頭精細(xì)模型的桁架連桿布局優(yōu)化。在明確了接頭形狀與連桿位置之間的對應(yīng)關(guān)系后，基于管狀接頭軸線夾角及連桿尺寸實(shí)現(xiàn)其參數(shù)化建模。由于桁架整體的精細(xì)化建模會導(dǎo)致計算成本迅速增加［29-30］，對優(yōu)化造成較大困難，結(jié)合現(xiàn)有研究［31］，將接頭精細(xì)模型嵌入宏觀桁架結(jié)構(gòu)，生成疏密結(jié)合的網(wǎng)格，建立梁-殼結(jié)合模型，提高分析的精度和效率。在此基礎(chǔ)上，利用基于高斯過程的貝葉斯方法實(shí)現(xiàn)整體結(jié)構(gòu)的布局優(yōu)化設(shè)計。

除此之外，復(fù)合材料桁架的制造難度也被納入桁架結(jié)構(gòu)設(shè)計之中。相較于連桿，接頭多為復(fù)雜的空間多向管相貫結(jié)構(gòu)［31-32］，制造較為困難。金屬接頭加工工藝成熟，但其質(zhì)量較大且熱膨脹系數(shù)與復(fù)合管材差異也較大，因此本文中著重研究復(fù)合材料接頭。復(fù)合材料接頭的生產(chǎn)方式主要為模壓、纖維纏繞、自動鋪絲和三維編織預(yù)成型體加樹脂傳遞模塑成型（Resin Transfer Molding，RTM）等工藝［33-34］。Uozumi 和Kito［35］采 用編織/樹脂轉(zhuǎn)移模塑（RTM）工藝制作了一種含接頭的碳纖維增強(qiáng)塑料（Carbon Fiber Reinforced Plastics，CFRP）桁架結(jié)構(gòu)。與RTM 相比，自動纖維鋪放技術(shù)降低了模具設(shè)計和工藝要求。錢鈞等［36］提出了基于自動鋪絲技術(shù)進(jìn)行的構(gòu)架式衛(wèi)星接頭建模及鋪絲加工線形設(shè)計的方法。

鋪層-模壓這一工藝的主要特點(diǎn)是簡單、靈活、質(zhì)量高、模具設(shè)計成本相對較低、加工周期短，技術(shù)也較為成熟。因此，考慮選取鋪層-模壓這一方式對于復(fù)合材料接頭進(jìn)行生產(chǎn)。對于空間多向接頭的成型模具，由于其結(jié)構(gòu)較為復(fù)雜，模具設(shè)計需將接頭分成若干部分［37］，提高了成型難度和制造成本。本文中通過將空間多向接頭拆分為多個構(gòu)造較為簡單的接頭［33，38-39］，及圓整模具形狀相關(guān)參數(shù)等方式減少模具制造難度和所需模具數(shù)量，降低生產(chǎn)成本，并與考慮接頭精細(xì)模型的桁架連桿布局優(yōu)化相結(jié)合，得到性能更好、可制造性更高的復(fù)合桁架結(jié)構(gòu)。

本文組織結(jié)構(gòu)：在第1 節(jié)中介紹了考慮接頭參數(shù)化建模的結(jié)構(gòu)有限元模型建立流程和方法。在第2 節(jié)中介紹了優(yōu)化流程和優(yōu)化方法。第3 節(jié)給出了考慮接頭精細(xì)化建模的連桿布局的單目標(biāo)和多目標(biāo)優(yōu)化算例，探討了制造約束及精細(xì)化接頭建模的引入對設(shè)計結(jié)果產(chǎn)生的影響，并驗(yàn)證了該方法的有效性。

1 建模流程及方法

1.1 建模流程

對于圖1 所示航天器［40］，主要由桁架結(jié)構(gòu)，柔性太陽能電池陣及中部三角形的可負(fù)載部分組成，整個結(jié)構(gòu)的剛度主要由桁架結(jié)構(gòu)提供。桁架結(jié)構(gòu)由3 條等長度邊構(gòu)成，各邊之間的夾角為120°，每條等長度邊包含6 個結(jié)構(gòu)單元，每個結(jié)構(gòu)單元長為2 000 mm，寬和高均為1 000 mm。每個結(jié)構(gòu)單元中包含4 根主梁，上下梁之間設(shè)置腹板桿，前后梁之間設(shè)置斜拉桿，整個桁架結(jié)構(gòu)由復(fù)合材料制成。

圖1 新型航天器桁架結(jié)構(gòu)示意圖［40］Fig.1 Schematic diagram of new spacecraft truss structure［40］

與圓管相比，接頭的幾何模型更為復(fù)雜，且在連桿布局優(yōu)化時會發(fā)生變化，因此接頭的精細(xì)化建模是考慮接頭力學(xué)行為的連桿布局優(yōu)化實(shí)現(xiàn)的難點(diǎn)之一，為解決這一問題提出圖2 所示的建模過程。設(shè)lc為連桿布局優(yōu)化的設(shè)計變量，是兩管軸線相交點(diǎn)距離固定點(diǎn)的距離。為建立接頭幾何模型與lc之間的關(guān)系，提出了一種簡化的圓管軸線之間的關(guān)系，如圖2（a）所示。圖中l(wèi)hw、lvl分別為兩根主梁之間寬度和沿主梁的長度；p1、p2分別為主梁1 和主梁2 起始點(diǎn)的位置矢量；平行的軸向矢量為v1，支管的軸向矢量為o1。lhw、lvl、p1、p2、v1由模型提取。c1和c2為主梁軸線與斜拉梁（或腹板梁）軸線的交點(diǎn)，用于確定接頭結(jié)構(gòu)的空間位置。α是被連接圓管軸線的夾角（0°<α<π/2），即為接頭軸線夾角?；谏鲜鲎兞靠梢越⒔宇^的坐標(biāo)系和幾何模型（圖2（b）），進(jìn)而可以確定構(gòu)成其有限元模型的節(jié)點(diǎn)坐標(biāo)并組成單元?？紤]到結(jié)構(gòu)薄壁的特點(diǎn)，采用三節(jié)點(diǎn)三角形殼單元模擬接頭結(jié)構(gòu)，每三個相鄰節(jié)點(diǎn)組成一個殼單元，接頭有限元模型如圖2（c）所示。連桿管主要采用梁單元進(jìn)行模擬，采用（Multi-Point Constraints，MPC）技術(shù)耦合不同種類不同自由度的單元。重復(fù)以上過程，根據(jù)設(shè)計變量向量建立整體結(jié)構(gòu)的有限元模型并進(jìn)行分析，整體結(jié)構(gòu)的有限元模型如圖2（d）所示。

圖2 優(yōu)化過程中有限元模型建立Fig.2 Establishment of finite element model in optimization process

1.2 基于夾角及尺寸接頭參數(shù)化建模方法

模型建立流程中的難點(diǎn)是求解設(shè)計變量決定的接頭有限元模型具體位置和節(jié)點(diǎn)坐標(biāo)。下面詳細(xì)介紹一種新的圓管狀接頭參數(shù)化建模的方法。該方法利用現(xiàn)有的圓管狀接頭幾何模型［41-42］，基于軸線夾角α及被連接圓管外徑建立了設(shè)計變量相關(guān)的接頭有限元模型。接頭的幾何模型如圖3 所示。接頭由兩根相貫的圓管組成。主管半徑為R，支管半徑為r，由被連接圓管外徑?jīng)Q定，在兩圓管軸線交點(diǎn)處建立局部坐標(biāo)系。

圖3 接頭幾何模型Fig.3 Geometric model of joint

在兩個局部坐標(biāo)系（O-xyz，O-x′y′z′）下相貫線的參數(shù)方程為

式中：θ為方程 中參數(shù)。列向量o1、c1、c2和v1、p1、p2、lc之間的關(guān)系為

軸線夾角α為

對于坐標(biāo)系O-xyz，坐標(biāo)軸向量v1、v2和v3分別為

坐標(biāo)系O-xyz繞y軸順時針旋轉(zhuǎn)α，得到坐標(biāo) 系O-x′y′z′。從O-x′y′z′到O-xyz的變換矩陣為A，對A和其擴(kuò)展矩陣Aex有：

為了實(shí)現(xiàn)節(jié)點(diǎn)坐標(biāo)從局部坐標(biāo)系（O-xyz）到全局坐標(biāo)系下的轉(zhuǎn)換，提出另一個變換矩陣：

式中：P為平移矩陣；Tt為旋轉(zhuǎn)矩陣，具體表達(dá)式分別為

對于節(jié)點(diǎn)的全局坐標(biāo)ng有：

式中：n為節(jié)點(diǎn)在局部坐標(biāo)系O-xyz下的坐標(biāo)。考慮到n是由幾何模型決定的，將節(jié)點(diǎn)分成6 部分并進(jìn)行分別求解，劃分結(jié)果如圖4 所示。圖中l(wèi)p1、lp3和lp4分別為接頭第1 部分，第3 部分和第4 部分沿各自軸線的長度。ltm和ltb分別為接頭主管和支管的總長度。

圖4 接頭劃分方法Fig.4 Joint division method

首先確定相貫線的端點(diǎn)，計算端點(diǎn)的具體坐標(biāo)。xxmax、xxmin分別是O-xyz坐標(biāo)系下具有最大和最小x坐標(biāo)的節(jié)點(diǎn)即端點(diǎn)的坐標(biāo)：

對于第1 部分的節(jié)點(diǎn)，第ic圈第jc個節(jié)點(diǎn)坐標(biāo)為

0 ≤ic

對于第2 部分的節(jié)點(diǎn)，首先在相貫線上建立16 個節(jié)點(diǎn)，如圖5 所示。

圖5 相貫線上節(jié)點(diǎn)分布Fig.5 Node distribution on intersecting lines

相貫線上第ic個節(jié)點(diǎn)nic的增廣坐標(biāo)為

式中：θic為第ic個節(jié)點(diǎn)對應(yīng)角度。令：

對于相貫線上的每一個節(jié)點(diǎn)，有一個對應(yīng)的向量夾角θae，如圖6 所示。

圖6 θae 示意圖Fig.6 Diagram of θae

令θa為

式中：θae為兩個向量的夾角，其中一個向量平行于z軸，另一個向量連接節(jié)點(diǎn)和主管軸線上與節(jié)點(diǎn)z坐標(biāo)相同的點(diǎn)；n2、n3是相貫線上節(jié)點(diǎn)的y、z坐標(biāo)。對于第2 部分的節(jié)點(diǎn)，當(dāng)y>0 時，第ic圈上第jc個節(jié)點(diǎn)的增廣坐標(biāo)為

剩余節(jié)點(diǎn)可以按照y軸對稱得到。

對于第3 部分的節(jié)點(diǎn)，第ic圈上第jc個節(jié)點(diǎn)的增廣坐標(biāo)為

式中：xxmin1為xxmin的第1 個分量；nnp2為位于第2 部分的相貫線上的節(jié)點(diǎn)數(shù)；ndis為與單元大小相關(guān)的參數(shù)，這里ndis選取2。

對于第4 部分的節(jié)點(diǎn)，當(dāng)y′≥0，第ic圈上第jc個節(jié)點(diǎn)的增廣坐標(biāo)為

0 ≤ic

對于第5 部分的節(jié)點(diǎn)，在計算節(jié)點(diǎn)的具體坐標(biāo)之前，先計算相貫線上的相關(guān)數(shù)據(jù)。其中xzmax、xzmin分別為O-x′y′z′坐標(biāo)系下z′坐標(biāo)最大和最小的節(jié)點(diǎn)的坐標(biāo)向量：

當(dāng)y′≥0 時，第ic圈上第jc個節(jié)點(diǎn)的增廣坐標(biāo)為

式中：xzmax1為xzmax的第1 個分量；nnp5為第5 部分上沿軸向的節(jié)點(diǎn)數(shù)。當(dāng)y′<0 時，節(jié)點(diǎn)圍繞平面Ox′z′對稱。

對于第6 部分的節(jié)點(diǎn)，相貫線上的第ic個節(jié)點(diǎn)在O-x′y′z′的增廣坐標(biāo)為

在前5 個節(jié)點(diǎn)上建立通過節(jié)點(diǎn)并平行于y′z′的平面，在這些平面上生成第4 部分的節(jié)點(diǎn)。第ic圈上第jc個節(jié)點(diǎn)在O-xyz下的增廣坐標(biāo)為

至此，完成了接頭有限元模型的建立。此外，還對主梁與接頭接觸的部分進(jìn)行了建模。主梁與接頭的粘結(jié)部分分為三部分，如圖7 所示，其中1、3 部分對應(yīng)接頭中的1、3 部分，2 部分為單獨(dú)劃分。在第2 部分中，黃色部分與接頭接觸，節(jié)點(diǎn)具有相同的坐標(biāo)。

圖7 與接頭連接部分主梁劃分示意圖Fig.7 Division diagram of main beam connected with joint

圖8 優(yōu)化問題流程圖Fig.8 Optimization problem flow chart

當(dāng)y>0 時，對于初始相貫線上的節(jié)點(diǎn)，在O-xyz下的坐標(biāo)為

同時：

主梁上白色區(qū)域節(jié)點(diǎn)的增廣坐標(biāo)為

剩余節(jié)點(diǎn)可以根據(jù)y軸對稱獲得，至此可以得到接頭部分的參數(shù)化有限元模型，并在此基礎(chǔ)上完成結(jié)構(gòu)有限元分析及后續(xù)優(yōu)化流程。

2 優(yōu)化問題描述

對于圖1 所示的航天器，以某一階固有頻率最大為目標(biāo)，考慮接頭精細(xì)化建模的連桿位置為設(shè)計變量，整體結(jié)構(gòu)質(zhì)量為約束條件，建立優(yōu)化問題的數(shù)學(xué)模型。對于某一階固有頻率fc有：

式中：λc為對應(yīng)的特征值。為便于計算，以λc最大為優(yōu)化目標(biāo)，優(yōu)化問題的數(shù)學(xué)模型表示為

式中：l為設(shè)計變量，決定連桿位置及匹配接頭的形狀；ld和lu分別為其對應(yīng)的下限和上限；n為設(shè)計變量的數(shù)量；m為結(jié)構(gòu)的總質(zhì)量；mu為其上限。其具體求解過程為

式中：mss為其中連桿的總質(zhì)量；nbeam為梁的數(shù)目；mh為第h個連桿的質(zhì)量；ρ為碳纖維的密度；llh、Rrh和tth分別為對應(yīng)的長度、半徑和厚度。對于傾斜的梁，llh的表達(dá)式為

程序流程圖如8 所示，圖中iiter為迭代步。根據(jù)設(shè)計變量l建立相應(yīng)連桿及接頭的有限元模型并實(shí)現(xiàn)整體模型的建立。求解整體模型并計算優(yōu)化目標(biāo)和約束，即某一階特征值和結(jié)構(gòu)質(zhì)量，重復(fù)以上過程直到達(dá)到最大迭代步imax。優(yōu)化算法采用基于高斯過程的貝葉斯方法，該方法是一種高效的全局優(yōu)化算法，通過設(shè)計合理的代理模型和采集函數(shù)，求解時僅消耗較少的真實(shí)函數(shù)評估，對求導(dǎo)困難和表達(dá)式未知的復(fù)雜問題求解十分有效［43］。

3 算例和結(jié)果分析

下面討論航天器桁架結(jié)構(gòu)布局優(yōu)化設(shè)計的具體實(shí)現(xiàn)過程，并將優(yōu)化結(jié)果與初始結(jié)構(gòu)進(jìn)行比較。考慮到工程實(shí)際，布局優(yōu)化的結(jié)果需要通過圓整來減少模具和節(jié)省制造成本，這一要求通過在優(yōu)化階段控制變量的搜索空間實(shí)現(xiàn)。航天器桁架結(jié)構(gòu)的邊界條件如圖9 所示，在中間三角形區(qū)域施加固定約束。

圖9 航天器桁架結(jié)構(gòu)邊界條件Fig.9 Boundary conditions of spacecraft trusses structure

考慮到桁架結(jié)構(gòu)的對稱性，將桁架結(jié)構(gòu)由中心向邊緣劃分為6 組，每一組中的結(jié)構(gòu)單元有相同的結(jié)構(gòu)且由同樣的設(shè)計變量控制。初始設(shè)計變量值均為500 mm，優(yōu)化目標(biāo)為質(zhì)量不增加的前提下實(shí)現(xiàn)一階固有頻率的最大。對初始結(jié)構(gòu)進(jìn)行有限元分析計算，結(jié)果如圖10 所示。

圖10 初始結(jié)構(gòu)固有頻率分析結(jié)果Fig.10 Initial structure natural frequency analysis results

對初始結(jié)構(gòu)進(jìn)行模態(tài)分析，選取前10 階振型中較有代表性的1、3、10 階振型進(jìn)行參考，其對應(yīng)的頻率分別為0.478、2.401、7.490 Hz，整個結(jié)構(gòu)的質(zhì)量為171.227 kg。這一分析結(jié)果將作為優(yōu)化結(jié)果的參考。

3.1 1 階固有頻率最大的單目標(biāo)優(yōu)化

考慮到結(jié)構(gòu)單元本身的對稱性，每個桁架結(jié)構(gòu)單元包含2個設(shè)計變量，如圖11所示。每組中的3 個結(jié)構(gòu)單元結(jié)構(gòu)相同，在考慮接頭的連接梁布局優(yōu)化中，設(shè)計上限為900 mm，下限為100 mm，設(shè)計變量數(shù)目為12，優(yōu)化目標(biāo)為1 階固有頻率最大，約束條件為結(jié)構(gòu)質(zhì)量不增加。優(yōu)化結(jié)果見表1。

表1 1 階固有頻率最大優(yōu)化結(jié)果Table 1 Maximum optimization results of first order natural frequency

圖11 結(jié)構(gòu)單元內(nèi)設(shè)計變量分布示意圖Fig.11 Schematic diagram of design variables distribution in structural unit

通過控制優(yōu)化過程中搜索空間相關(guān)參數(shù)，實(shí)現(xiàn)了在優(yōu)化過程中對接頭位置結(jié)果進(jìn)行圓整。整體結(jié)構(gòu)中共有72 個接頭形狀隨設(shè)計變量變化而變化，優(yōu)化后僅需8 個模具即可實(shí)現(xiàn)其制造。根據(jù)設(shè)計變量和每一組中結(jié)構(gòu)單元的具體結(jié)構(gòu)如圖12 所示。

圖12 優(yōu)化結(jié)果重構(gòu)模型Fig.12 Reconstructed model of optimization results

在組1 和組6 的結(jié)構(gòu)單元中，只包括1 種長度的連桿及其接頭結(jié)構(gòu)，其余結(jié)構(gòu)單元中均含有2 種。整個結(jié)構(gòu)有8 種接頭，相應(yīng)的設(shè)計變量為100、190、200、515、605、770、830、900 mm，在一定程度上降低了制造和裝配的復(fù)雜性?；诖?，建立整個桁架結(jié)構(gòu)的有限元模型并對其進(jìn)行模態(tài)分析，分析結(jié)果如圖13 所示。

圖13 優(yōu)化后結(jié)構(gòu)固有頻率分析結(jié)果Fig.13 Natural frequency analysis results of optimized structure

優(yōu)化后結(jié)構(gòu)的1 階、3 階和10 階固有頻率分別 為0.585、2.458 Hz 和6.354 Hz，結(jié)構(gòu)總質(zhì)量為170.716 kg。相比較初始結(jié)構(gòu)，優(yōu)化后結(jié)構(gòu)的1 階固有頻率提升了22.385%，1 階固有頻率即優(yōu)化目標(biāo)提升明顯。3 階固有頻率提升了2.374%，與初始結(jié)構(gòu)相比無明顯變化。10 階固有頻率降低了15.167%，相比較初始結(jié)構(gòu)有明顯降低。整體質(zhì)量降低了0.298%，與初始結(jié)構(gòu)質(zhì)量基本保持一致。

為探究圓整模具尺寸即制造約束的引入對最終優(yōu)化結(jié)果造成的影響，在不考慮模具圓整的條件下，對結(jié)構(gòu)進(jìn)行優(yōu)化設(shè)計，優(yōu)化結(jié)果如表2所示。

表2 無圓整要求的1 階固有頻率最大優(yōu)化結(jié)果Table 2 Maximum optimization results of first order natural frequency without roundness requirement

由優(yōu)化結(jié)果可得共需9 個模具實(shí)現(xiàn)全部接頭制造，相比考慮圓整的優(yōu)化接頭數(shù)量增加了12.5%。根據(jù)優(yōu)化結(jié)果建立整個桁架結(jié)構(gòu)的有限元模型并對其進(jìn)行固有頻率分析，分析結(jié)果如圖14 所示。

圖14 無圓整要求的優(yōu)化后結(jié)構(gòu)固有頻率分析結(jié)果Fig.14 Natural frequency analysis results of optimized structure without roundness requirement

優(yōu)化后結(jié)構(gòu)的1 階、3 階和10 階固有頻率分別為0.562、2.275 Hz 和5.951 Hz，結(jié)構(gòu)總質(zhì)量為167.830 kg。相比較考慮圓整的優(yōu)化結(jié)果，該結(jié)果的1 階固有頻率降低了4.093%，3 階固有頻率降低了7.445%，10 階固有頻率降低了6.342%，整體質(zhì)量降低了1.691%。該結(jié)果之中，各階固有頻率略小于考慮圓整的結(jié)果，差別不明顯，證明了該約束的引入不影響求解且在一定程度上減少所需模具數(shù)量。同時，圓整的引入可以縮小優(yōu)化算法的搜索空間，得到更優(yōu)的設(shè)計結(jié)果。

為衡量嵌入精細(xì)化接頭建模對桁架結(jié)構(gòu)產(chǎn)生的影響，以表1 中數(shù)據(jù)為設(shè)計參數(shù)，分別建立桁架的全梁單元有限元模型，梁-殼單元結(jié)合模型和全殼單元模型，對其進(jìn)行相同工況下固有頻率分析，分析結(jié)果分別如圖15～圖17 所示。

圖16 梁-殼結(jié)合模型固有頻率分析結(jié)果Fig.16 Natural frequency analysis results of beamshell combination model

圖17 全殼模型固有頻率分析結(jié)果Fig.17 Natural frequency analysis results of full-shell model

相比于全梁模型，梁-殼結(jié)合的有限元模型的1 階、3 階和10 階振型更接近于精度最高的全殼模型。3 種模型的1 階、3 階 和10 階固有頻率及節(jié)點(diǎn)數(shù)量見表3。

表3 不同精細(xì)度模型分析結(jié)果對比Table 3 Analysis results comparison of different fineness models

以全殼模型的計算結(jié)果作為參考，全梁模型的1 階、3 階和10 階的固有頻率分別增大了101.676%、65.682% 和63.210%，節(jié)點(diǎn)數(shù)目約為全殼模型的0.007 倍；梁-殼模型的1 階、3 階和10 階的固有頻率分別增大了8.939%、11.727%和1.952%，節(jié)點(diǎn)數(shù)目約為全殼模型的0.106 倍。表3 表明，相比全梁模型，梁-殼模型中接頭精細(xì)模型的引入實(shí)現(xiàn)了兼顧計算效率的前提下大幅度提高了分析結(jié)果的精度。

3.2 多階頻率最大的多目標(biāo)優(yōu)化

優(yōu)化目標(biāo)的大幅度提升證明了該方法的有效性，但是優(yōu)化結(jié)果中其余階固有頻率存在下降情況，因此對于綜合考慮多階固有頻率的多目標(biāo)優(yōu)化進(jìn)行探討。該多目標(biāo)優(yōu)化中的設(shè)計變量設(shè)置與單目標(biāo)優(yōu)化相同，最大迭代步為300 步，優(yōu)化目標(biāo)分別為1 階、3 階和10 階固有頻率，約束條件為結(jié)構(gòu)質(zhì)量不增大。優(yōu)化得到的解如圖18 所示。

圖18 多目標(biāo)優(yōu)化的Pareto 前沿示意圖Fig.18 Pareto front diagram of multi-objective optimization

在這一優(yōu)化結(jié)果中，黑色圓形標(biāo)識數(shù)據(jù)點(diǎn)為非可行解，紅色正方形數(shù)據(jù)點(diǎn)為可行解。如圖18所示，對于目標(biāo)1，即1 階固有頻率最大，1 階、3 階和10 階固有頻率分別為0.574、2.820 和6.633 Hz。對于目標(biāo)2 和目標(biāo)3，其最優(yōu)解相同，1 階、3 階和10 階固有頻率分別為0.528、3.657 6 Hz 和10.965 Hz。相比較單目標(biāo)優(yōu)化，多目標(biāo)優(yōu)化結(jié)果對優(yōu)化目標(biāo)提升較為有限，但可以綜合考慮結(jié)構(gòu)的多階振型，實(shí)現(xiàn)更為復(fù)雜的設(shè)計目標(biāo)。

4 結(jié)論

1）根據(jù)接頭幾何模型的特點(diǎn)實(shí)現(xiàn)了其有限元模型的參數(shù)化建模，解決了接頭形狀隨連桿位置變化的這一優(yōu)化過程中的難點(diǎn)，同時通過控制搜索空間的范圍實(shí)現(xiàn)優(yōu)化結(jié)果的圓整。

2）在保證結(jié)構(gòu)質(zhì)量不變的情況下，優(yōu)化后結(jié)構(gòu)的一階固有頻率即優(yōu)化目標(biāo)提升了22.385%，該方法的可行性得到了驗(yàn)證。

3）同樣在保證結(jié)構(gòu)質(zhì)量不變的情況下，進(jìn)行了考慮結(jié)構(gòu)1 階、3 階和10 階固有頻率最大的多目標(biāo)優(yōu)化，為綜合考慮結(jié)構(gòu)多階頻率的優(yōu)化設(shè)計提供了方法參考。

本文提出的方法可以為桁架結(jié)構(gòu)的優(yōu)化提供更加精確的設(shè)計方案，并可應(yīng)用于其他工況或優(yōu)化目標(biāo)下的桁架結(jié)構(gòu)設(shè)計。