具有積分邊界條件的耦合φ-Hilfer分數階微分系統解的存在性

張蓓 司換敏 江衛華 郭春靜 陳坤

摘 要：為了拓展分數階微分方程系統的相關理論，研究了一類具有積分邊界條件的耦合φ-Hilfer分數階微分系統。首先，將具有積分邊界條件的耦合φ-Hilfer分數階微分系統轉化為積分系統；其次，定義合適的Banach乘積空間和范數，構造合適的積分算子，分別運用壓縮映像原理和Kransnoselskii不動點定理得出耦合φ-Hilfer分數階微分系統在積分邊界條件下解的存在性結果；最后，通過列舉實例說明所得結論的正確性。研究表明，積分邊界條件下的耦合φ-Hilfer分數階微分系統的解具有存在性。研究結論豐富了耦合分數階微分系統理論可解性的相關理論，可為深入研究分數階微分方程提供一定的理論參考。

關鍵詞：解析理論；φ-Hilfer分數階導數；耦合系統；壓縮影像原理；Kransnoselskii不動點定理；解的存在性

中圖分類號：O175.8? 文獻標識碼：A??文章編號：1008-1542（2024）02-0159-09

Existence of solutions of coupled φ-Hilfer fractionaldifferential systems with integral boundary conditions

ZHANG Bei1， SI Huanmin1， JIANG Weihua1， GUO Chunjing1， CHEN Kun2

（1.School of Sciences， Hebei University of Science and Technology， Shijiazhuang， Hebei 050018， China；2.Office of Academic Affairs，Shijiazhuang People's Medical College，Shijiazhuang，Hebei 050091，China）

Abstract：In order to expand the relevant theory of fractional differential equation systems， a class of coupled φ-Hilfer fractional differential systems with integral boundary conditions was studied. Firstly， the coupled φ-Hilfer fractional differential system with integral boundary conditions was transformed into an integral system. Secondly， the appropriate Banach product space and norm were defined， the appropriate integral operator was constructed， and the existence result of the solution of the coupled? φ-Hilfer fractional differential system under the integral boundary condition was given by using the compressed image principle and Kransnoselskii's fixed point theorem， respectively. Finally， examples were given to illustrate the correctness of the conclusions obtained. The results show that the solutions of the coupled φ-Hilfer fractional differential system under the integral boundary condition exist. The existence of solutions of coupled φ-Hilfer fractional differential systems is studied for the first time by using the compressed image principle and Kransnoselskii's fixed point theorem， respectively， and some innovative new results are obtained. In addition， the research conclusion enriches the relevant theories of the theoretical solvability of coupled fractional differential systems， and provides certain theoretical reference value for the further study of fractional order differential equations.

Keywords：analytic theory; φ-Hilfer fractional order derivative; coupling system; the principle of compressed images; Kransnoselskii's fixed point theorem; existence of solutions

目前，分數階微積分理論得到不斷完善，吸引了越來越多專家和學者的關注[1-13]，推動了科學和工程等諸多領域的發展。Riemann-Liouville分數階導數和Caputo分數階導數應用較為廣泛，是分數階微分方程研究的基礎。Hilfer分數階導數同時包含Riemann-Liouville導數和Caputo導數，而φ-Hilfer分數階導數又是Hilfer分數階導數的推廣。因此，對具有φ-Hilfer導數的分數階微分方程或者耦合系統進行研究得到的結果更具有一般化，能夠推廣之前得到的研究結論，具有一定的研究意義。近年來，有學者對φ-Hilfer分數階微分方程邊值問題及其應用進行了深入研究，并且取得了一些理論成果[14-17]。

ALMALAHI等[18]利用Schaefer不動點定理研究了非線性φ-Hilfer分數階微分方程邊值問題Dq，r;φ0+v（μ）=λv（t）+f（t，v（t）），v（0）=0， v（b）=∑mi=1δiIζ，φ0+v（τi），其中Dq，r;φ0+是q階r型φ-Hilfer分數階導數，1

ABDO等[19]利用Kransnoselskiis不動點定理和壓縮映像原理研究了φ-Hilfer分數階微分方程多點邊值問題Dα，β;φa+u（t）=f（t，u（t），χu（t））， 0<α<1，0≤β≤1，t∈（a，b］，I1-γ;φa+u（t）|t=a=ua+∑mk=1cku（τk）， τk∈（a，b），α≤γ=α+β-αβ。

式中：ua∈R，Dα，β;φa+是α階β型φ-Hilfer分數階導數，I1-γ;φa+（·）是φ-Riemann-Liouville分數階積分，χu（t）：=∫t0h（t，s，u（s））ds，a<τ1<…<τm

AHMAD等[20]利用Leray-Schauders非線性抉擇和Banach壓縮映像原理等研究了具有積分邊界條件的耦合Hadamard分數階微分系統Dαu（t）=f（t，u（t），v（t））， Dβv（t）=g（t，u（t），v（t）），HDα2，β2;φa+x2（t）+λ2（t）f2（t，x1（t），x2（t））=0， t∈J=［a，b］，u（1）=0， u（e）=Iγu（σ1）， v（1）=0， v（e）=Iγv（σ2）。

式中：γ>0;σ1∈（1，e）;σ2∈（1，e）;Iγ是Hadamard分數階積分;f，g：［1，e］×R×R→R是連續函數。

目前，學者對φ-Hilfer分數階微分方程邊值問題解的存在性和唯一性已經進行了廣泛研究，但鮮有關于φ-Hilfer分數階耦合微分系統的研究。為此，本文研究下列具有積分邊界條件的耦合φ-Hilfer分數階微分系統HDα1，β1;φa+x1（t）+λ1（t）f1（t，x1（t），x2（t））=0， t∈J=［a，b］，HDα2，β2;φa+x2（t）+λ2（t）f2（t，x1（t），x2（t））=0， t∈J=［a，b］，x1（a）=0， x1（b）=η1∫bax2（s）ds，x2（a）=0， x2（b）=η2∫bax1（s）ds（1）

解的存在性，其中1<αi<2，0≤βi≤1，ηi>0，HDαi，βi;φa+是αi階βi型φ-Hilfer分數階導數，λi：J→R是黎曼可積的函數，fi∈C（J×R2，R），i=1，2。

1 預備知識

為了更好地得出主要結論，引入一些符號和重要定義及引理。

η*=max{η1，η2}，A*=max{A1，A2}，ρ1=max{（φ（b）-φ（a））γ1-1，（φ（b）-φ（a））γ2-1}，ρ2=max{（φ（b）-φ（a））1-γ1，（φ（b）-φ（a））1-γ2}，θ=max{K1+K2，L1+L2}，ó=max（φ（b）-φ（a））α1Γ（α1+1），（φ（b）-φ（a））α2Γ（α2+1），ω=max（φ（b）-φ（a））α1+1Γ（α1+1），（φ（b）-φ（a））α2+1Γ（α2+1），σ=max（φ（b）-φ（a））α1-γ1+2Γ（α1+1），（φ（b）-φ（a））α2-γ2+2Γ（α2+1）。

定義1[21] 假設n-1<α

定義2[21] 設1<α<2，0≤β≤1，γ=α+2β-αβ，且對于每一個t∈J，φ∈C2［a，b］是遞增函數以及滿足φ′（t）≠0。定義連續函數x：［a，b］→R的加權空間為C2-γ;φ［a，b］={x：［a，b］→R|（φ（t）-φ（a））2-γx（t）∈C［a，b］}，1<γ≤2，賦予范數為‖x‖C2-γ;φ=maxt∈［a，b］|（φ（t）-φ（a））2-γx（t）|，顯然C2-γ;φ［a，b］是Banach空間。

定義3[21] 對于任意的（x1，x2）∈C2-γ;φ［a，b］，定義乘積空間為C2-γ;φ［a，b］=C2-γ1;φ［a，b］×C2-γ2;φ［a，b］，且范數為‖（x1，x2）‖C2-γ;φ=‖x1‖C2-γ1;φ+‖x2‖C2-γ2;φ。

引理1[21] 若f∈Cn［a，b］，n-1<α

引理2[22]（壓縮映像原理）設X是完備的度量空間，T是X上的壓縮映像，那么T有且僅有一個不動點。

引理3[22][WTHZ]（Krasnoselskii不動點定理）設Ω是Banach空間X中的一個非空凸閉子集，且設P，Q是2個算子，滿足：a）對任意的x，y∈Ω，有Px+Qy∈Ω；b）P是全連續映射；c）Q是一個壓縮映射，那么至少存在一個z∈Ω，使得z=Pz+Qz。

引理4 設1<αi<2，0≤βi≤1，γi=αi+2βi-αiβi，ηi>0且yi∈C（J，R），i=1，2。假設A1=∫ba（φ（s）-φ（a））γ2-1ds，A2=∫ba（φ（s）-φ（a））γ1-1ds，并且滿足A=（φ（b）-φ（a））γ1+γ2-2-η1η2A1A2≠0，則（x1，x2）∈C2-γ;φ［a，b］是下列具有積分邊界條件的耦合φ-Hilfer分數階微分系統

HDα1，β1;φa+x1（t）+y1（t）=0，? t∈J=［a，b］，HDα2，β2;φa+x2（t）+y2（t）=0，? t∈J=［a，b］，x1（a）=0， x1（b）=η1∫bax2（s）ds，x2（a）=0， x2（b）=η2∫bax1（s）ds（2）

的解，當且僅當（x1，x2）滿足積分方程系統

xi（t）=（φ（t）-φ（a））γi-1A（φ（b）-φ（a））γj-1Γ（αi）∫baφ′（τ）（φ（b）-φ（τ））αi-1yi（τ）dτ-??[DW]ηi（φ（b）-φ（a））γj-1Γ（αj）∫ba∫saφ′（τ）（φ（s）-φ（τ））αj-1yj（τ）dτds+1Γ（αi）∫taφ′（τ）（φ（t）-φ（τ））αi-1yi（τ）dτ-ηiAiΓ（αj）∫baφ′（τ）（φ（b）-φ（τ））αj-1yj（τ）dτ-η1η2AiΓ（αi）∫ba∫saφ′（τ）（φ（s）-φ（τ））αi-1yi（τ）dτds］，

其中i，j=1，2，i≠j。

證明：由式（2）的第1個方程可知：

HDα1，β1;φa+x1（t）=-y1（t）。（3）對式（3）的兩邊同時作用Iα1;φa+（·），可得Iα1;φa+HDα1，β1;φa+x1（t）=-Iα1;φa+y1（t）。

通過引理1，可得

x1（t）=c1（φ（t）-φ（a））γ1-1+c2（φ（t）-φ（a））γ1-2-Iα1;φa+y1（t），t∈［a，b］，（4）其中c1=1Γ（γ1）1φ′（t）ddtI（1-β1）（2-α1）;φa+x1（t）|t=a， c2=1Γ（γ1-1）I（1-β1）（2-α1）;φa+x1（t）|t=a。

根據式（2）的邊界條件x1（a）=0，有c2=0，那么式（4）變為

x1（t）=c1（φ（t）-φ（a））γ1-1-Iα1;φa+y1（t），t∈［a，b］。（5）

類似地，依據式（2）的第2個方程和邊界條件x2（a）=0，可得x2（t）=d1（φ（t）-φ（a））γ2-1-Iα2;φa+y2（t），t∈［a，b］ ，（6）

其中d1=1Γ（γ2）1φ′（t）ddtI（1-β2）（2-α2）;φa+x2（t）|t=a。

一方面，利用邊界條件x1（b）=η1∫bax2（s）ds得

c1（φ（b）-φ（a））γ1-1-Iα1;φa+y1（b）=η1∫ba［d1（φ（s）-φ（a））γ2-1-Iα2;φa+y2（s）］ds ，（7）

因為A1=∫ba（φ（s）-φ（a））γ2-1ds，所以通過式（7），可得

d1=1η1A1c1（φ（b）-φ（a））γ1-1-Iα1;φa+y1（b）+η1∫baIα2;φa+y2（s）ds 。（8）

另一方面，依據邊界條件x2（b）=η2∫bax1（s）ds得

d1（φ（b）-φ（a））γ2-1-Iα2;φa+y2（b）=η2∫ba［c1（φ（s）-φ（a））γ1-1-Iα1;φa+y1（s）］ds，（9）

利用A2=∫ba（φ（s）-φ（a））γ1-1ds，A=（φ（b）-φ（a））γ1+γ2-2-η1η2A1A2≠0，且將式（8）代入式（9），可以得到

c1=1A（φ（b）-φ（a））γ2-1Γ（α1）∫baφ′（τ）（φ（b）-φ（τ））α1-1y1（τ）dτ-η1（φ（b）-φ（a））γ2-1Γ（α2）∫ba∫saφ′（τ）（φ（s）-φ（τ））α2-1y2（τ）dτds+η1A1Γ（α2）∫baφ′（τ）（φ（b）-φ（τ））α2-1y2（τ）dτ-η1η2A1Γ（α1）∫ba∫saφ′（τ）（φ（s）-φ（τ））α1-1y1（τ）dτds，

將c1代入式（5），則可以得到積分方程系統的第1個方程。再將c1代入式（8）得

d1=1A（φ（b）-φ（a））γ1-1Γ（α2）∫baφ′（τ）（φ（b）-φ（τ））α2-1y2（τ）dτ- η2（φ（b）-φ（a））γ1-1Γ（α1）∫ba∫saφ′（τ）（φ（s）-φ（τ））α1-1y1（τ）dτds+η2A2Γ（α1）∫baφ′（τ）（φ（b）-φ（τ））α1-1y1（τ）dτ-η1η2A2Γ（α2）∫ba∫saφ′（τ）（φ（s）-φ（τ））α2-1y2（τ）dτds，

最后，將d1代入式（6），則可以得到積分方程系統的第2個方程，即引理得證。

2 主要結果

引入3個算子Ti：C2-γi;φ［a，b］→C2-γi;φ［a，b］和T：C2-γ;φ［a，b］→C2-γ;φ［a，b］，分別定義為Ti（x1，x2）（t）=（φ（t）-φ（a））γi-1（φ（b）-φ（a））γj-1AΓ（αi）∫baφ′（τ）（φ（b）-φ（τ））αi-1λi（τ）fi（τ，x1（τ），x2（τ））dτ-ηi（φ（t）-φ（a））γi-1（φ（b）-φ（a））γj-1AΓ（αj）∫ba∫saφ′（τ）（φ（s）-φ（τ））αj-1λj（τ）fj（τ，x1（τ），x2（τ））dτds+ηiAi（φ（t）-φ（a））γi-1AΓ（αj）∫baφ′（τ）（φ（b）-φ（τ））αj-1λj（τ）fj（τ，x1（τ），x2（τ））dτ-η1η2Ai（φ（t）-φ（a））γi-1AΓ（αi）×∫ba∫saφ′（τ）（φ（s）-φ（τ））αi-1λi（τ）fi（τ，x1（τ），x2（τ））dτds-1Γ（αi）∫taφ′（τ）（φ（t）-φ（τ））αi-1λi（τ）fi（τ，x1（τ），x2（τ））dτ，?t∈［a，b］，i，j=1，2，i≠j，且T（x1，x2）（t）=（T1（x1，x2）（t），T2（x1，x2）（t）），?t∈［a，b］，（x1，x2）∈C2-γ;φ［a，b］，則（x1，x2）∈C2-γ;φ［a，b］是系統（1）的解當且僅當（x1，x2）是算子T的不動點。

假設λi：J→R是黎曼可積函數，fi：J×R2→R是連續函數，i=1，2，并且滿足下列條件：

（H1）存在常數M>0，使得對?t∈J，有|λi（t）|≤M，i=1，2;

（H2）存在常數Ki，Li>0，i=1，2，使得對（u1，u2），（v1，v2）∈C2-γ;φ［a，b］，有fi（t，u1，u2）-fi（t，v1，v2）≤Ki（φ（t）-φ（a））2-γ1u1-v1+Li（φ（t）-φ（a））2-γ2u2-v2。

（H3）存在常數r，N>0，使得對t∈J，（u1，u2）∈C2-γ;φ［a，b］且‖（u1，u2）‖C2-γ;φ［a，b］≤r，有fi（t，u1，u2）≤N，i=1，2，并且r≥4MN·max{ω（ρ1+η*A*）η*（b-a）+1A，σ}。

定理1 假設條件（H1）和條件（H2）成立，且滿足條件Mωθ|A|{（ρ1+η*A*）［η*（b-a）+1］+|A|ρ2}<1，則系統（1）存在唯一解。

證明：對（x1，x2），（y1，y2）∈C2-γ;φ［a，b］，?t∈J有|（φ（t）-φ（a））2-γi［Ti（x1，x2）（t）-Ti（y1，y2）（t）］|≤M（φ（b）-φ（a））αi+1|A|Γ（αi+1）［（φ（b）-φ（a））γj-1+η*2A*（b-a）+|A|（φ（b）-φ（a））1-γi］×（Ki‖x1-y1‖C2-γ1;φ［a，b］+Li‖x2-y2‖C2-γ2;φ［a，b］）+M（φ（b）-φ（a））αj+1|A|Γ（αj+1）［η*（φ（b）-φ（a））γj-1（b-a）+η*A*］×（Kj‖x1-y1‖C2-γ1;φ［a，b］+Lj‖x2-y2‖C2-γ2;φ［a，b］），i，j=1，2，i≠j。

因此，‖T（x1，x2）（t）-T（y1，y2）（t）‖C2-γ;φ［a，b］≤Mωθ|A|{（ρ1+η*A*）［η*（b-a）+1］+|A|ρ2}‖（x1，x2）-（y1，y2）‖C2-γ;φ［a，b］，又因為Mωθ|A|{（ρ1+η*A*）［η*（b-a）+1］+|A|ρ2}<1，根據引理2，可以得出系統（1）存在唯一解。

定理2 假設條件（H1）-（H3）成立，且滿足Mσθ<1，‖（x1，x2）‖C2-γ;φ［a，b］則系統（1）至少有1個解。

證明：取閉球Br={（x1，x2）∈C2-γ;φ［a，b］|‖（x1，x2）‖C2-γ;φ［a，b］≤r}，其中r≥4MN·max[JB（{]ω（ρ1+η*A*）［η*（b-a）+1］|A|，σ。

定義算子如下：

P=（P1，P2）：Br→C2-γ;φ［a，b］和Q=（Q1，Q2）：Br→C2-γ;φ［a，b］，其中對t∈［0，1］，（x1，x2）∈Br。Pi，Qi：Br→C2-γi;φ［a，b］定義為

Pi（x1，x2）（t）=（φ（t）-φ（a））γi-1（φ（b）-φ（a））γj-1AΓ（αi）∫baφ′（τ）（φ（b）-φ（τ））αi-1λi（τ）fi（τ，x1（τ），x2（τ））dτ-ηi（φ（t）-φ（a））γi-1（φ（b）-φ（a））γj-1AΓ（αj）∫ba∫saφ′（τ）（φ（s）-φ（τ））αj-1λj（τ）fj（τ，x1（τ），x2（τ））dτds+ηiAi（φ（t）-φ（a））γi-1AΓ（αj）∫baφ′（τ）（φ（b）-φ（τ））αj-1λj（τ）fj（τ，x1（τ），x2（τ））dτ-η1η2Ai（φ（t）-φ（a））γi-1AΓ（αj）×∫ba∫saφ′（τ）（φ（s）-φ（τ））αi-1λi（τ）fi（τ，x1（τ），x2（τ））dτds，Qi（x1，x2）（t）=-1Γ（αi）∫taφ′（τ）（φ（t）-φ（τ））αi-1λi（τ）fi（τ，x1（τ），x2（τ））dτ，i，j=1，2，i≠j。

因此，T1=P1+Q1，T2=P2+Q2，T=P+Q。

1）證明對于?（x1，x2），（y1，y2）∈Br，有P（x1，x2）+Q（y1，y2）∈Br。

因為?t∈［0，1］，P1（x1，x2）（t），P2（x1，x2）（t），Q1（y1，y2）（t），Q2（y1，y2）（t）連續，所以，P（x1，x2）+Q（y1，y2）∈C2-γ;φ［a，b］成立；由條件（H1）和條件（H3），可得|（φ（t）-φ（a））2-γiPi（x1，x2）（t）|≤MNω|A|（ρ1+η*A*）［η*（b-a）+1］≤r4，且|（φ（t）-φ（a））2-γiQi（y1，y2）（t）|≤MN（φ（b）-φ（a））2-γiΓ（αi+1）（φ（t）-φ（a））αi≤MNσ≤r4，i=1，2。

因此，‖P（x1，x2）+Q（y1，y2）‖C2-γ;φ［a，b］≤r。故對（x1，x2），（y1，y2）∈Br，有P（x1，x2）+Q（y1，y2）∈Br。

2）證明P是全連續映射。

設序列（x1n，x2n）∈C2-γ;φ［a，b］，（x1，x2）∈C2-γ;φ［a，b］，且limn→∞‖（x1n，x2n）-（x1，x2）‖C2-γ;φ［a，b］=0，則對t∈［a，b］，根據條件（H1）、條件（H2）和定理1的證明方法，可得

|（φ（t）-φ（a））2-γi［Pi（x1n，x2n）（t）-Pi（x1，x2）（t）］|≤M（φ（b）-φ（a））αi+1|A|Γ（αi+1）［（φ（b）-φ（a））γj-1+η*2A*（b-a）］×（Ki‖x1n-x1‖C2-γ1;φ［a，b］+Li‖x2n-x2‖C2-γ2;φ［a，b］）+M（φ（b）-φ（a））αj+1|A|Γ（αj+1）［η*（φ（b）-φ（a））γj-1（b-a）+η*A*］×（Kj‖x1n-x1‖C2-γ1;φ［a，b］+Lj‖x2n-x2‖C2-γ2;φ［a，b］），其中i，j=1，2，i≠j。所以，

‖P（x1n，x2n）-P（x1，x2）‖C2-γ;φ［a，b］=‖P1（x1n，x2n）-P1（x1，x2）‖C2-γ1;φ［a，b］+‖P2（x1n，x2n）-P2（x1，x2）‖C2-γ2;φ［a，b］≤Mωθ|A|（ρ1+η*A*）［η*（b-a）+1］‖（x1n，x2n）-（x1，x2）‖C2-γ;φ［a，b］，

所以，當n→∞時，‖P（x1n，x2n）-P（x1，x2）‖C2-γ;φ［a，b］→0，即P關于（x1，x2）∈C2-γ;φ［a，b］連續。

3）證明算子P的緊性。

任取（x1，x2）∈Br，得‖P（x1，x2）‖C2-γ;φ［a，b］≤2MNω|A|（ρ1+η*A*）［η*（b-a）+1］，即P（Br）一致有界。

又因為對（x1，x2）∈Br，t1，t2∈［a，b］，t1

同理，當t1→t2時，|（φ（t1）-φ（a））2-γ2P2（x1，x2）（t1）-（φ（t2）-φ（a））2-γ2P2（x1，x2）（t2）|→0，則P1（Br）和P2（Br）是等度連續的，因此，P（Br）是等度連續的。根據Arzela -Ascoli定理可知，P在C2-γ;φ［a，b］上是緊的，故算子P全連續。

4）證明Q為壓縮算子。

對?（x1，x2），（y1，y2）∈Br，?t∈［a，b］，有|（φ（t）-φ（a））2-γi［Qi（x1，x2）（t）-Qi（y1，y2）（t）］|≤Mσ（Ki‖x1-y1‖C2-γ1;φ［a，b］+Li‖x2-y2‖C2-γ2;φ［a，b］），‖Q（x1，x2）-Q（y1，y2）‖C2-γ;φ［a，b］≤Mσ［（K1+K2）‖x1-y1‖C2-γ1;φ［a，b］+（L1+L2）‖x2-y2‖C2-γ2;φ［a，b］］≤Mσθ‖（x1，x2）-（y1，y2）‖C2-γ;φ［a，b］，i=1，2，又因為Mσθ<1，所以Q（x1，x2）為壓縮算子得證。

綜上，根據引理3可知，系統（1）在J上至少有1個解。

3 應用舉例

例1 考慮下列分數階微分方程系統：

HD54，12;4t3+ta+x1（t）+（t3+1）f1（t，x1（t），x2（t））=0，? t∈［0，1］，HD85，13;4t3+ta+x2（t）+（t5+2）f2（t，x1（t），x2（t））=0，? t∈［0，1］，x1（0）=0， x1（1）=12∫10x2（s）ds， x2（0）=0， x2（1）=13∫10x1（s）ds（10）

解的存在性，其中

f1（t，u1，u2）=（4t3+t）38arctan u124×（t2+9）2+（4t3+t）415sin u22t3+1 945+3486×（t+2）2，

f2（t，u1，u2）=（4t3+t）38u1（t+4）5+916+（4t3+t）415|u2|78×（5+|u2|）+4（2t+35）2+715。

解：α1=54，β1=12，α2=85，β2=13，γ1=138，γ2=2615，a=0，b=1，η1=12，η2=13，φ（t）=4t3+t，λ1（t）=t3+1，λ2（t）=t5+2。顯然，λ1（t），λ2（t）在［0，1］上黎曼可積，f1，f2是［0，1］×R2上的連續函數，并且滿足下列條件：

1）存在常數M=2>0，對t∈J=［0，1］，有|λi（t）|≤max{1，2}=2=M；

2）存在K1>0，K2>0，L1>0，L2>0，使得對?（u1，u2），（v1，v2）∈C2-γ;φ［0，1］，有|fi（t，u1，u2）-fi（t，v1，v2）|≤Ki（φ（t）-φ（0））2-γ1|u1-v1|+Li（φ（t）-φ（0））2-γ2|u2-v2|，i=1，2；

3）由于η*=12，θ≈0.001 0，A*≈1.223 9，ρ1≈3.255 2，ρ2≈0.365 7，ω≈45.930 4，|A|≈8.667 7，因此，Mωθ|A|{（ρ1+η*A*）［η*（b-a）+1］+|A|ρ2}≈0.095 1<1。由定理1可得系統（10）存在唯一解。

例2 考慮下述分數階微分方程系統：

HD32，13;5t65+2ta+x1（t）+2t2f1（t，x1（t），x2（t））=0，? t∈［0，1］，HD53，12;5t65+2ta+x2（t）+3t2f2（t，x1（t），x2（t））=0，? t∈［0，1］，x1（0）=0，? x1（1）=14∫10x2（s）ds，? x2（0）=0，? x2（1）=15∫10x1（s）ds（11）

解的存在性，其中

f1（t，u1，u2）=（5t65+2t）13|u1|3（t+8）3（1+|u1|）+（5t65+2t）16arctan u21 537+196t2+256，

f2（t，u1，u2）=（5t65+2t）13sin u11 735+（5t65+2t）16|u2|6×（t+17）2（1+|u2|）+15×（et+6）3+19。

解：α1=32，β1=13，α2=53，β2=12，γ1=53，γ2=116，a=0，b=1，η1=14，η2=15，λ1（t）=2t2，λ2（t）=3t2，φ（t）=5t65+2t。λ1（t），λ2（t）在［0，1］上黎曼可積，f1，f2在［0，1］×R2上連續且滿足：

1）存在常數M=3>0，對t∈J=［0，1］，有|λi（t）|≤max{2，3}=3=M；

2）存在K1>0，K2>0，L1>0，L2>0，使得對?（u1，u2），（v1，v2）∈C2-γ;φ［0，1］，有|fi（t，u1，u2）-fi（t，v1，v2）|≤Ki（φ（t）-φ（0））2-γ1|u1-v1|+Li（φ（t）-φ（0））2-γ2|u2-v2|，i=1，2；

3）存在r=2，N=1512，使得對t∈J，（u1，u2）∈C2-γ;φ［a，b］且‖（u1，u2）‖C2-γ;φ［a，b］≤2，有|fi（t，u1，u2）|≤N，并且由于ω≈119.173 8，ρ1≈5.061 1，η*=14，A*≈2.597 1，|A|≈18.250 1，因此，可得2=r≥4MN·maxω（ρ1+η*A*）［η*（b-a）+1］|A|，σ[JB）}]≈1.092 5；

4）因為M=3，θ≈0.001 2，σ≈23.546 8，所以Mσθ<1。由定理2可以得到系統（11）至少有1個解。

4 結 語

1）本文使用壓縮映像原理和Krasnoselskii不動點定理，研究了一類具有積分邊界條件的耦合φ-Hilfer分數階微分系統，得到了這類微分系統解的存在性結果，并且列舉了2個具體實例說明結論的正確性。研究結果表明，壓縮映像原理和Krasnoselskii不動點定理能夠有效解決具有積分邊界條件的耦合φ-Hilfer分數階微分系統解的存在性問題。

2）由于φ-Hilfer分數階導數的定義更具有一般性，因而本研究包含并推廣了之前學者研究的具有Riemann-Liouville分數階導數、Caputo分數階導數以及Hilfer分數階導數的耦合分數階微分系統的結果，豐富了分數階微分系統理論，可為許多數學模型的建立開拓思路，解決更多現實生活中的實際問題。

但是，本文是在非線性項連續的條件下考慮的耦合系統，限制條件較強，因此在以后的研究中，將通過削弱非線性項滿足的條件，進一步探究此類系統存在解的更一般化的結果。

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責任編輯：張士瑩

基金項目：國家自然科學基金（11775169）；河北省自然科學基金（A2018208171）

第一作者簡介：張蓓（1975—），女，河北石家莊人，副教授，碩士，主要從事微分方程邊值問題方面的研究。

通信作者：江衛華，教授。E-mail：jianghua64@163.com張蓓，司換敏，江衛華，等.具有積分邊界條件的耦合φ-Hilfer分數階微分系統解的存在性［J］.河北科技大學學報，2024，45（2）：159-167.ZHANG Bei， SI Huanmin， JIANG Weihua，et al.Existence of solutions of coupled? φ-Hilfer fractional differential systems with integral boundary conditions［J］.Journal of Hebei University of Science and Technology，2024，45（2）：159-167.