借助數學史養分，培養推理意識
——以“三角形的內角和”為例

安徽固鎮縣實驗小學（233700） 李玉穎

一、課前思考

將數學史融入小學數學課堂，并與學生的數學學習相結合，有助于教師根據學生已有的知識經驗和思維水平展開教學。《義務教育數學課程標準（2022 年版）》指出，“推理意識主要是指對邏輯推理過程及其意義的初步感悟。知道可以從一些事實和命題出發，依據規則推出其他命題或結論。”為此，筆者借鑒數學史上幾位數學家對三角形內角和的認識和論證過程，將其與學生思維的提升過程相結合，引導學生經歷從特殊到一般的過程，鼓勵學生進行猜想、探索和驗證。同時，重視學生在幾何問題推理過程中的表達和論證，深入培養學生的推理能力和空間觀念。

二、教學過程

（一）課前預習

學生課前完成預習單（如圖1）。

圖1

【設計意圖：有針對性的預習能為學生學習新知做好知識準備，同時將學生的思維過程和知識薄弱點可視化。】

（二）課堂實踐

1.理解內角，確定學習目標

師：三角形的3 個角都是由三角形相鄰的兩條邊組成的，且都在三角形的內部，這樣的角就叫作三角形的內角。

師：看看你們的兩個三角尺，它們的內角和分別是多少度？你是怎么知道的？

生1：它們的內角和都是180°，因為一個三角尺中的3 個內角相加是30°+90°+60°=180°，另一個三角尺中的3個內角相加是45°+90°+45°=180°。

師：任意直角三角形的內角和都是180°嗎？今天我們就一起來探究三角形的內角和。

【設計意圖：借助學具三角尺讓學生認識內角的概念，學生能夠感受到數學就在身邊，從而對新知產生興趣，在清晰理解了三角形內角和的概念后展開猜想，提升空間想象力。】

2.運用泰勒斯拼圖法，操作驗證

師：今天的研究將圍繞歷史上幾位著名的數學家探究三角形內角和的方法展開。首先來看泰勒斯是如何思考三角形的內角和的。

出示視頻：古希臘數學家泰勒斯在觀察工人裝修的過程中，受到房間里的地磚鑲嵌的啟發，先以6 個相同的等邊三角形圍著一點進行拼擺，再以等腰三角形進行同樣的操作，發現這些三角形的內角和均為180°。

師：請大家小組合作，想一想，利用任意直角三角形能否發現三角形內角和定理。

師：有6 個相同的直角三角形，你能將它們的不同頂點置于同一點拼擺，且該點周圍沒有縫隙嗎？

學生拼擺結果（如圖2）。

圖2

師：你發現了什么？

生1：我發現每6個角圍著1個點形成了1周。

師：圍成1周說明這6個角合成了多少度？

生2：360°。

師：這個直角三角形的3個內角和是多少度？

生3：180°。因為每個角均出現了2 次，所以360°÷2=180°。

師：還有什么發現？

生4：圖形②中有3 條“長線”，∠1、∠2、∠3 都對應分別分布在任意一條“長線”的左右。

師：這3 條“長線”說明它們組成了什么角？這個直角三角形的內角和是多少？

生5：“長線”說明3個內角構成了平角，因此這個直角三角形的內角和是180°。

師（出示教材中的撕拼法）：還有什么問題嗎？

生6：我拼的6個三角形之間總是有縫隙，因此我不太相信這個結論。

生7：是的，我拼的也有縫隙。我用量角器量了一下，發現∠1=34°，∠2=55°，∠3=90°，這個三角形的內角和是34°+55°+90°=179°。

師：敢于根據自己的發現去質疑，為這兩位同學的求真態度點贊！是的，有的操作會存在誤差，那有沒有更好的方法去驗證呢？

【設計意圖：展現數學家泰勒斯探索三角形內角和的故事，帶領學生浸潤數學史和數學文化。泰勒斯采用的從操作層面驗證三角形內角和的方法，可以看作是人類認識三角形內角和的最初嘗試。這與學生初次接觸這一知識時的思維狀態相似。通過改編泰勒斯的驗證方法，讓學生在操作中進行猜想并驗證，感悟歸納推理過程。同時，正視學生在操作過程中出現的誤差和質疑，這為進一步尋求嚴謹的驗證方法做了充分的鋪墊。】

3.經歷帕斯卡法，由操作驗證轉為推理論證

師：看到長方形，你想到了什么？

生1：長方形的4個角都是90°，對邊相等。

生2：沿對角線分割長方形，可以分成兩個完全一樣的直角三角形。

生3：任何直角三角形都可以看作是長方形對折而得的。

生4：長方形的內角和是90°×4=360°。

師：能不能利用長方形的內角和來證明直角三角形的內角和呢？

生5：我們組發現直角三角形的內角和為90°×4÷2=180°。

師：這個方法十分巧妙。利用長方形的內角和是360°可以得出直角三角形的內角和是180°。這是法國數學家帕斯卡在12 歲時推導直角三角形內角和的方法，你們和他想到一塊兒去了，真棒！帕斯卡還據此推導出了銳角三角形和鈍角三角形的內角和，你們想直接看他的方法，還是想自己先試一試？

生（齊）：自己試一試！

教師出示小組活動要求（如圖3）。

圖3

生6：我給銳角三角形畫高，發現銳角三角形可以被分割為兩個直角三角形。因此銳角三角形的內角和是180°×2-90°-90°=180°。

師：為什么要減去2個90°？

生7：因為分割出來的兩個直角不屬于銳角三角形的內角。

生8：我發現鈍角三角形的情況也是這樣的。它的內角和也是180°×2-90°-90°=180°。

師：所有銳角三角形、鈍角三角形都可以被分割成兩個直角三角形嗎？任意畫一個銳角三角形或鈍角三角形，然后推導出它的內角和，再和同桌交流你的推導方法。

師：上面就是帕斯卡推導三角形內角和的方法。你們都能想到用推理的方法得出三角形內角和是180°，真了不起！

【設計意圖：發現操作層面出現的誤差后，學生迫切希望有更嚴謹的推理方法，但教師沒有直接給出帕斯卡的方法和說理過程，而是先引導學生思考長方形和三角形在內角和上的聯系，然后讓學生在長方形的內角和是360°的基礎上推出所有的直角三角形的內角和都是180°，在此基礎上，又通過給銳角三角形、鈍角三角形畫高，建立銳角三角形、鈍角三角形和直角三角形的聯系，引導學生進行幾何說理。學生經歷了從特殊到一般的論證過程，體會到直角三角形、銳角三角形和鈍角三角形在內角和論證方法上的一致性，感悟到演繹推理過程的嚴謹性和傳遞性，發展了推理意識。】

4.展示提波特旋轉法游戲，拓展思維水平

師：三角形內角和是180°，其實還可以通過一個小游戲來驗證，你們想試一試嗎？

教師出示活動要求（如圖4）。

圖4

師：鉛筆在整個過程中是怎樣運動的？

生1：有旋轉也有平移。

師：平移能改變鉛筆的方向嗎？改變鉛筆方向的是什么？

生1：不能，改變鉛筆方向的是旋轉。

師：現在鉛筆的方向是怎樣的？

生2：與原來相反。

師：說明了什么？為什么？

生3：鉛筆水平掉頭轉向說明它整體旋轉的角度是180°。因為鉛筆整體旋轉過了三角形3 個內角的角度，所以三角形的內角和是180°。

師：你們真厲害！這其實就是數學家提波特證明三角形內角和是180°所采用的方法。

出示視頻：200 多年前，德國數學家提波特首次利用旋轉法證明了三角形內角和定理。如圖5所示，他先將邊BC所在的直線BC繞點B沿逆時針方向旋轉∠ABC的度數，到邊BA所在直線BA；然后將直線BA繞點A沿逆時針方向旋轉∠BAC的度數，到邊AC所在直線AC；最后將直線AC繞點C沿逆時針方向旋轉∠ACB的度數，到邊CB所在直線CB。從BC到CB，總共轉了180°。

圖5

師：提波特的方法和我們旋轉鉛筆的方法有什么不同和相同之處？

生4：旋轉的事物不同，提波特是旋轉直線，我們是旋轉鉛筆。

生5：旋轉的方向不同。提波特旋轉直線時是逆時針，我們旋轉鉛筆時是順時針。

生6：旋轉的起點位置不同，提波特旋轉直線的起點在三角形左下角，我們旋轉鉛筆的起點在三角形右下角。

生7：旋轉的角都是三角形所有內角的角度。

生8：最終直線和鉛筆都水平掉頭轉向。

師：是的，雖然我們旋轉鉛筆與提波特旋轉直線的起點位置不同、方向不同，但都是旋轉了三角形所有內角的角度，最終鉛筆和直線都水平掉頭轉向，都論證了三角形的內角和是180°。

【設計意圖：對提波特用旋轉法證明三角形內角和方法進行提煉，將其與游戲相結合，遵循學生的心理發展特點，尊重學生的主體地位，使學生感受到數學知識并不枯燥，激發學生熱愛數學、應用數學的情感。同時，讓學生思考鉛筆經過平移和旋轉后整體掉頭轉向的原因，在展開演繹推理的過程中增強了推理意識，形成講道理、有條理的思維習慣，初步感知和體驗推理的魅力。】

5.回顧總結，感悟轉化思想

師：你最喜歡哪一種方法？為什么？

生1：我喜歡帕斯卡的方法，把任意三角形分成兩個直角三角形，然后用2×180°-90°-90°=180°推理出這個三角形的內角和，非常有說服力。

生2：我喜歡提波特的方法，在鉛筆轉動的過程中發現鉛筆整體水平掉頭轉向，進而得出三角形的內角和，很有意思。

生3：泰勒斯的方法也不錯，看整個拼圖的一半，三角形的內角和顯而易見。

師：的確，這3 位數學家的方法都蘊含了一種重要的數學思想方法——推理。下面我們一起來看3個問題，看看你能不能解決。

【設計意圖：通過讓學生選出自己喜愛的方法，讓學生回顧本節課所經歷的所有推理過程，這不僅是對知識的重現，也是論證思維的再次回顧，還是對推理思想方法、數學家的智慧和貢獻的再感受。】

6.分層鞏固，拓展延伸

問題1：算一算圖6中未知角的度數。

圖6

問題2：如圖7，將兩個小的三角形拼成一個較大的三角形，大三角形的內角和是多少度？

圖7

問題3：如圖8，你能根據三角形的內角和探索四邊形、五邊形、六邊形的內角和嗎？

圖8

師：我們已經知道三角形的內角和是180°，那么四邊形、五邊形、六邊形的內角和又分別是多少度呢？

生1：我發現四邊形的內角和都是360°。

生2：我猜想多邊形的內角和與組成它的三角形的個數有關。

……

師：同學們提出了很多有價值的猜想。感興趣的同學可以自己去研究和驗證。

師：課后，先給你的爸爸媽媽介紹一下三角形內角和的推導過程，再查一查還有哪些推導三角形內角和的方法（如意大利數學家歐幾里得的方法），最后找一找德國數學家黎曼的故事，思考在球面上的三角形的內角和是否也是180°。

【設計意圖：首先，通過練習鞏固了三角形內角和知識，培養了學生應用三角形內角和知識進行計算和推理的意識與能力，使得學生對三角形內角和的理解更全面；其次，要求學生根據本節課的知識，對四邊形、五邊形、六邊形的內角和展開思考，體現了內角和推導方法的一致性，展現了多邊形內角和知識的結構化；最后，利用查閱其他推導方法和了解數學家黎曼的任務引導學生了解數學史，拓寬學生認知的廣度和深度。】

三、教學反思

（一）整體把握數學史材料，形成結構化教學

為了整體把握數學史中關于三角形內角和推導的發展脈絡，我們需要梳理不同歷史時期探究方法的前后關聯及主次關系，并以此為基礎進行結構化的教學設計。名師蔡宏圣提出，歷史呈現了知識的來龍去脈，敘說了人類認識如何步步深入，在抽象的過程中我們就能體會和把握認識提升的關鍵。因此，本節課筆者先對泰勒斯的拼圖法進行改編，引導學生通過動手拼圖驗證三角形的內角和是180°；再借助帕斯卡的方法，用長方形演繹推理出直角三角形的內角和；然后以直角三角形的內角和切入，通過畫圖論證銳角三角形和鈍角三角形的內角和；最后在游戲中讓學生對提波特的方法進行說理。整個教學過程前后關聯緊密，主次分明、層層遞進。

（二）全面提煉數學史論證過程，凸顯思想方法一致性

在數學的空間和幾何方面，許多知識的探索過程都有相似之處。盡管這些知識可以分門別類，但數學家在解決問題時常常能夠通過巧妙的論證過程發現共同的解決思想和方法。在數學史上，推導三角形內角和基本上都利用了將未知的知識轉化為已知的知識，并通過推理來解決問題的思想方法。因此，教師課堂上重現這些思想方法，讓學生經歷轉化和推理的過程，讓他們感受轉化思想和推理的作用，理解解決一系列問題的思想方法的一致性。同時，讓學生重溫數學家們經歷的探索過程，與古代數學家進行跨越時空的交流，可以使學生感受到數學文化的魅力。

（三）準確選擇數學史內容，確保教學實施針對性

數學史上關于三角形內角和的研究較多，教師在選擇時，要立足學生已有的知識經驗和認知規律，要選擇學生能夠理解的內容、相對熟悉的情境、能夠產生興趣的史料。對于一些不符合學生認知規律的、脫離學生實際生活經驗的，均可舍棄，或者進行創造性的改編，使其更符合學生的認知水平和興趣點。同時在利用數學史進行數學課堂教學時，也要強調基本操作、度量等直接活動經驗的經歷和積累，這樣才能從各個方面發展學生的量感，培養其核心素養。