以“認(rèn)知沖突”促成“概念生成”

熊娟霞

摘要：加權(quán)平均數(shù)是描述數(shù)據(jù)集中趨勢(shì)的一種定性表達(dá)形式，“加權(quán)平均數(shù)”的教學(xué)價(jià)值重在創(chuàng)設(shè)真實(shí)的統(tǒng)計(jì)情境，促成加權(quán)平均數(shù)概念的生成，彰顯學(xué)生在統(tǒng)計(jì)內(nèi)容的學(xué)科素養(yǎng)發(fā)展，實(shí)現(xiàn)加權(quán)平均數(shù)的教育價(jià)值.

關(guān)鍵詞：“權(quán)”概念的生成；“權(quán)”的價(jià)值；案例教學(xué)

1 教學(xué)價(jià)值分析

1.1 課標(biāo)價(jià)值

統(tǒng)計(jì)學(xué)是一門關(guān)于收集、整理和分析數(shù)據(jù)的方法論科學(xué)，其目的是探索數(shù)據(jù)內(nèi)在的數(shù)量規(guī)律為制定決策提供依據(jù).統(tǒng)計(jì)與其他數(shù)學(xué)內(nèi)容相比有其獨(dú)有的兩個(gè)特點(diǎn)，一是數(shù)據(jù)的變異性，二是統(tǒng)計(jì)強(qiáng)調(diào)背景的重要性.《義務(wù)教育數(shù)學(xué)課程標(biāo)準(zhǔn)（2022年版）》強(qiáng)調(diào)數(shù)據(jù)觀念是指對(duì)數(shù)據(jù)的意義有比較清晰的認(rèn)識(shí)，理解數(shù)據(jù)整理、分析和推斷的作用，知道在現(xiàn)實(shí)生活中，有許多問題應(yīng)當(dāng)先做調(diào)查、收集收據(jù)，再通過數(shù)據(jù)分析作出判斷和決策，知道數(shù)據(jù)中蘊(yùn)含著信息，對(duì)同樣的數(shù)據(jù)有不同的表達(dá)方式和分析方法.

1.2 大數(shù)據(jù)時(shí)代價(jià)值

在大數(shù)據(jù)時(shí)代下，教學(xué)中應(yīng)注重培養(yǎng)學(xué)生感知數(shù)據(jù)分析能力的重要性.加權(quán)平均數(shù)的計(jì)算公式，在形式上是表示加權(quán)平均，而在程序上是分別計(jì)算，而分別計(jì)算這種方法是分布式計(jì)算的最簡(jiǎn)單形式，是當(dāng)下大數(shù)據(jù)計(jì)算的熱門算法.因此在加權(quán)平均數(shù)公式的推導(dǎo)過程中，教師應(yīng)在大數(shù)據(jù)時(shí)代的宏觀背景下強(qiáng)調(diào)對(duì)加權(quán)平均數(shù)公式的解讀.

1.3 概念價(jià)值

學(xué)生對(duì)數(shù)學(xué)概念的正確理解是掌握基本知識(shí)的關(guān)鍵.概念是學(xué)生學(xué)習(xí)數(shù)學(xué)的起點(diǎn)，也是學(xué)生開展數(shù)學(xué)推理活動(dòng)的重要依據(jù)［1］.因此，在“加權(quán)平均數(shù)”的課堂教學(xué)中要不斷滲透“權(quán)”的概念，發(fā)展學(xué)生理性思維.

2 教材分析

不同版本的教材對(duì)“權(quán)”概念的解釋各不同.人教版教材將加權(quán)平均數(shù)總結(jié)為兩個(gè)公式：第一個(gè)公式x-=x1w1+x2w2+……+xnwnw1+w2+……+wn，強(qiáng)調(diào)每個(gè)數(shù)據(jù)的“重要程度”及每個(gè)數(shù)據(jù)的貢獻(xiàn)率；第二個(gè)公式x-=x1f1+x2f2+……+xnfnn，強(qiáng)調(diào)“和”與“個(gè)數(shù)”的辨析.青島版教材對(duì)加權(quán)平均數(shù)用一個(gè)公式來(lái)解釋“權(quán)”的概念：一般地，在k個(gè)數(shù)據(jù)x1，x2，……，xk中，如果各個(gè)數(shù)據(jù)出現(xiàn)的次數(shù)分別為w1，w2，……，wn，記w1+w2+……+wn=n，那么比值w1n，w2n，……，wkk分別叫做這k個(gè)數(shù)據(jù)的權(quán)，把x1＼5w1n+x2＼5w2n+……+xn＼5wnn叫做k個(gè)數(shù)據(jù)的加權(quán)平均數(shù).青島版教材中加權(quán)平均數(shù)的公式結(jié)構(gòu)特點(diǎn)與當(dāng)今大數(shù)據(jù)下分布算法相一致.

從統(tǒng)計(jì)意義上來(lái)講，權(quán)即為頻數(shù)或次數(shù)，這樣更加貼合學(xué)科特點(diǎn).人教版教材基于“權(quán)”站位于“頻數(shù)”和“重要程度”進(jìn)行解釋，本文中以人教版《義務(wù)教育教科書數(shù)學(xué)》八年級(jí)下冊(cè)第二十章第1節(jié)中的“加權(quán)平均數(shù)”教學(xué)為案例進(jìn)行分析.

3 以教育價(jià)值為導(dǎo)向的教學(xué)過程設(shè)計(jì)

情境主線：以第32屆夏季東京奧運(yùn)會(huì)為活動(dòng)背景，分三個(gè)小組分別調(diào)查、收集本班同學(xué)日觀看奧運(yùn)會(huì)的平均時(shí)間（取整數(shù)），并對(duì)調(diào)查數(shù)據(jù)進(jìn)行整理，選擇合理的數(shù)學(xué)統(tǒng)計(jì)圖表進(jìn)行描述，計(jì)算全班同學(xué)的日平均觀看時(shí)間.

創(chuàng)設(shè)意圖：以學(xué)生熟悉的生活情境為載體，讓學(xué)生親歷收集數(shù)據(jù)、整理數(shù)據(jù)、描述數(shù)據(jù)、分析數(shù)據(jù)等統(tǒng)計(jì)調(diào)查的過程，依據(jù)調(diào)查結(jié)果讓學(xué)生快速回憶統(tǒng)計(jì)量“平均數(shù)”的計(jì)算方法.

3.1 過程一：與“權(quán)”沖突

問題1? 根據(jù)表1，計(jì)算八年級(jí)三個(gè)班所有同學(xué)日人均觀看奧運(yùn)會(huì)時(shí)間.

生成預(yù)設(shè)：有部分學(xué)生得到的結(jié)果是x-=13×（4+2+3），師生討論交流，并讓學(xué)生判斷該結(jié)果是否正確.如果不正確，該如何計(jì)算？

教學(xué)說明：教師要抓住學(xué)生認(rèn)知沖突的拐點(diǎn)，讓學(xué)生在認(rèn)知上產(chǎn)生沖突.學(xué)生發(fā)現(xiàn)之前計(jì)算平均值的方法不能解決此問題，認(rèn)識(shí)到三個(gè)班的日人均觀看時(shí)間不僅與“每個(gè)班的日均觀看時(shí)間有關(guān)”還與“每個(gè)班的人數(shù)有關(guān)”，“每個(gè)班的人數(shù)”即為概念“權(quán)”.

問題2? 增加每個(gè)班級(jí)的總?cè)藬?shù)（見表2），計(jì)算八年級(jí)三個(gè)班所有同學(xué)日人均觀看奧運(yùn)會(huì)時(shí)間.

教學(xué)說明：教師通過創(chuàng)設(shè)合適的教學(xué)情境，為學(xué)生搭建“腳手架”，讓學(xué)生初步感知“權(quán)”的計(jì)算過程，體會(huì)“權(quán)”的公式結(jié)構(gòu).

問題3? 改變每個(gè)班級(jí)的總?cè)藬?shù)（見表3），計(jì)算八年級(jí)三個(gè)班所有同學(xué)的日人均觀看奧運(yùn)會(huì)時(shí)間.

生成預(yù)設(shè)：依據(jù)對(duì)問題2的理解，學(xué)生可以輕松求解問題3，即x-=4×43+2×42+3×4143+42+41≈3.008.師生對(duì)運(yùn)算結(jié)果進(jìn)行探討.

教學(xué)說明：對(duì)于問題1、問題2，從學(xué)生計(jì)算結(jié)果著手進(jìn)行分析，辨別x-=4×42+2×42+3×4242+42+42=3，x-=13（4+2+3）=3兩個(gè)算式，讓學(xué)生解釋不同的算式為何計(jì)算結(jié)果一樣？目的是再一次引發(fā)學(xué)生的認(rèn)知沖突，進(jìn)一步結(jié)合問題3，讓學(xué)生感受“班級(jí)總?cè)藬?shù)”對(duì)算式結(jié)果的影響程度，初步感知“權(quán)”的重要性.

3.2 過程二：探“權(quán)”感知

情境主線：奧運(yùn)會(huì)受到全世界人們的關(guān)注，現(xiàn)有A，B，C三個(gè)網(wǎng)站分別對(duì)網(wǎng)友上網(wǎng)看奧運(yùn)會(huì)的時(shí)間進(jìn)行統(tǒng)計(jì).

問題4? 根據(jù)表4，求出三家網(wǎng)站所有客戶的日人均上網(wǎng)時(shí)間.

生成預(yù)設(shè)：經(jīng)過對(duì)問題2的探究，多數(shù)學(xué)生得到結(jié)果是x-=3×70+4×20+5×1070+20+10=3.4.同時(shí)讓學(xué)生思考計(jì)算生成的結(jié)果與已知數(shù)據(jù)之間的關(guān)系，進(jìn)一步感知“權(quán)”.

活動(dòng)探究：（1）擬定三組w1，w2和w3的值，根據(jù)表5進(jìn)行思考、計(jì)算；（2）改變w1，w2和w3的值，對(duì)計(jì)算結(jié)果產(chǎn)生了怎樣的影響？

生成預(yù)設(shè)：本次活動(dòng)探究的生成空間較大，教學(xué)過程可以從兩方面進(jìn)行預(yù)設(shè).一是比值關(guān)系：當(dāng)w1∶w2∶w3為同一固定比值時(shí)，對(duì)w1，w2，w3賦予同一比值的數(shù)據(jù)，得到的結(jié)果均相同.二是大小關(guān)系：當(dāng)w1=w2=w3時(shí)，結(jié)果為4；當(dāng)w1遠(yuǎn)大于w2，w3時(shí)，結(jié)果更接近3；當(dāng)w3遠(yuǎn)大于w1，w2時(shí)，結(jié)果更接近于5.

教學(xué)說明：由問題4到活動(dòng)探究的過程，是學(xué)生思考“日人均上網(wǎng)人數(shù)”由“特殊”到“一般”的過程，活動(dòng)探究要給予學(xué)生充分思考“權(quán)”的生成過程、體會(huì)“權(quán)”對(duì)結(jié)果的影響，即數(shù)據(jù)的權(quán)越大對(duì)平均值的影響越大.在知識(shí)形成過程中，為了突出“權(quán)”的特征，可以對(duì)問題4進(jìn)行變形x-=3×70+4×20+5×1070+20+10=3×7070+20+10+4×2070+20+10+5×1070+20+10=3×70%+4×20%+5×10%=3.4，由此可以突出數(shù)據(jù)“3，4，5”的相對(duì)重要程度，進(jìn)一步凸顯“權(quán)”的影響，同時(shí)引出“權(quán)”的另一種表現(xiàn)形式即百分?jǐn)?shù)的形式.

問題5? 根據(jù)表6，求出n家網(wǎng)站所有客戶的日人均上網(wǎng)時(shí)間.

生成預(yù)設(shè)：通過類比，學(xué)生可以得到x-=x1w1+x2w2+……+xnwnw1+w2+……+wn，即得到加權(quán)平均數(shù)的另一算計(jì)算公式，進(jìn)一步理解“權(quán)”的概念.“權(quán)”古義為“秤砣”，《孟子·梁慧王上》書中記載有“權(quán)，然后知輕重”.

教學(xué)說明：學(xué)生再次經(jīng)歷從“特殊”到“一般”的歸納過程，得到加權(quán)平均數(shù)的計(jì)算公式，同時(shí)要注重?cái)?shù)學(xué)文化對(duì)“權(quán)”概念的解讀，達(dá)到突出重點(diǎn)、突破難點(diǎn)的教學(xué)目的.

3.3 過程三：辨“權(quán)”答疑

問題6? 嘗試解釋問題1與問題3的結(jié)果為何相同？

教學(xué)說明：利用新知幫助學(xué)生解惑，并且厘清加權(quán)平均數(shù)與算術(shù)平均數(shù)之間的關(guān)系，充分體會(huì)加權(quán)平均數(shù)的內(nèi)涵與本質(zhì)，同時(shí)讓學(xué)生在探究過程中體會(huì)成功的喜悅.

3.4 過程四：知“權(quán)”應(yīng)用

問題7? 北京冬奧會(huì)在即，奧組委招募語(yǔ)言服務(wù)志愿者（語(yǔ)言翻譯），甲、乙兩位同學(xué)的各項(xiàng)成績(jī)（百分制）如表7所示：

（1）如果要選一名綜合能力較強(qiáng)的翻譯，應(yīng)該選誰(shuí)？

（2）如果要選一名筆譯能力較強(qiáng)的翻譯，能否同等看待聽、說、讀、寫的成績(jī)？若分別按20%，10%，30%，40%來(lái)計(jì)算他們的平均成績(jī)，該選誰(shuí)？

（3）如果要選擇一名口語(yǔ)能力較強(qiáng)的翻譯，應(yīng)該如何選擇？請(qǐng)你制定選拔標(biāo)準(zhǔn)，選出你認(rèn)為合適的人.

教學(xué)說明：從不同層次設(shè)計(jì)問題，并通過設(shè)計(jì)開放性問題，讓學(xué)生經(jīng)歷“知權(quán)”“用權(quán)”“賦權(quán)”等環(huán)節(jié)，加深對(duì)“權(quán)”概念的理解，應(yīng)用“權(quán)”解決問題，培養(yǎng)學(xué)生數(shù)據(jù)分析觀念，提升數(shù)學(xué)素養(yǎng).

3.5 過程五：對(duì)“權(quán)”總結(jié)

問題8? 利用思維導(dǎo)圖的形式對(duì)本節(jié)課進(jìn)行總結(jié).

師生共建知識(shí)框架，如圖1：

4 教學(xué)思考

4.1 基于認(rèn)知沖突的概念自然生成

數(shù)學(xué)概念具有高度抽象性、概括性和嚴(yán)密性，數(shù)學(xué)概念是數(shù)學(xué)思維的起點(diǎn)［2］.初中生正由形象思維向抽象思維過渡，教學(xué)過程中利用學(xué)生原有的認(rèn)知結(jié)構(gòu)與新概念產(chǎn)生認(rèn)知結(jié)構(gòu)的矛盾，即認(rèn)知沖突，將會(huì)有效提高學(xué)生對(duì)新概念的理解水平.教師在教學(xué)設(shè)計(jì)中應(yīng)該有意識(shí)地建構(gòu)以認(rèn)知沖突為生長(zhǎng)點(diǎn)的新概念的生成，促進(jìn)學(xué)生對(duì)新概念的理解和應(yīng)用.

本教學(xué)案例中設(shè)置的“問題1”與“問題2”，“問題1”作為學(xué)生認(rèn)知思維的出發(fā)點(diǎn)，“問題2”作為學(xué)生認(rèn)知沖突的生長(zhǎng)點(diǎn)，極大地激發(fā)了學(xué)生對(duì)新知的探究興趣.

4.2 創(chuàng)設(shè)合適的統(tǒng)計(jì)教學(xué)情境

“統(tǒng)計(jì)”教學(xué)注重將生活化的教育與實(shí)踐貫穿于教學(xué)過程中.因此在教學(xué)過程中，教師要有意識(shí)地讓學(xué)生體會(huì)數(shù)據(jù)分析的實(shí)踐作用，培養(yǎng)學(xué)生應(yīng)用統(tǒng)計(jì)知識(shí)的實(shí)踐能力.在學(xué)生所熟悉的生活情境中，以案例分析的形式讓學(xué)生體會(huì)利用數(shù)據(jù)統(tǒng)計(jì)方法處理、解決實(shí)際問題的作用，著力培養(yǎng)學(xué)生的數(shù)據(jù)統(tǒng)計(jì)素養(yǎng)，提升學(xué)生對(duì)統(tǒng)計(jì)學(xué)知識(shí)的理解和應(yīng)用能力.

本教學(xué)案例，通過設(shè)置學(xué)生熟悉的“奧運(yùn)會(huì)”問題情境，呈現(xiàn)不同的信息表達(dá)形式，提高學(xué)生利用所學(xué)新知分析并解決實(shí)際問題的能力，掌握“加權(quán)平均數(shù)”在實(shí)際問題中的重要價(jià)值，整個(gè)教學(xué)情境設(shè)置中，力求呈現(xiàn)“低起點(diǎn)、高立意、有梯度”的總體設(shè)計(jì)教學(xué)流程.

參考文獻(xiàn)：

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