２０２４年普通高等學校招生全國統一考試模擬試卷數學(全國乙卷)

胡云兵

（本試卷滿分１５０分，考試用時１２０分鐘）

１８．已知某科技公司的某型號芯片的各項指標經過全面檢測后分為Ⅰ級和Ⅱ級，兩種品級芯片的某項指標的頻率分布直方圖如圖所示．

若只利用該指標制定一個標準，需要確定臨界值K ，按規定將該指標大于K 的產品應用于A 型手機，小于或等于K 的產品應用于B 型手機．若將Ⅰ級品中該指標小于或等于臨界值K 的芯片錯誤應用于A 型手機會導致芯片生產商每部手機損失８００元;若將Ⅱ級品中該指標大于臨界值K 的芯片錯誤應用于B 型手機會導致芯片生產商每部手機損失４００元．假設數據在組內均勻分布，以事件發生的頻率作為相應事件發生的概率．

（１）當臨界值K ＝７０時，將２個沒有進行該指標檢測的Ⅰ級品芯片直接應用于A 型手機，求芯片生產商的損失ξ（單位：元）的分布列及期望．

（２）設K ＝x 且x∈[５０，５５]，現有足夠多的Ⅰ級品芯片和Ⅱ級品芯片，分別應用于A 型手機、B 型手機各１萬部的生產．

方案１：將芯片不進行該指標檢測，Ⅰ級品芯片直接應用于A 型手機，Ⅱ級品芯片直接應用于B 型手機;

方案２：重新檢測Ⅰ級品芯片和Ⅱ級品芯片的該項指標，并按規定正確應用于手機型號，會避免方案１的損失費用，但檢測費用共需要１３０萬元．

請從芯片生產商的成本考慮，選擇合理的方案，并說明理由．

１９．如圖所示，已知正方體ABCDＧA１B１C１D１ 的棱長為２．

（１）求證：A１C⊥平面AB１D１;

（２）若平面α∥平面AB１D１，且平面α 與正方體的棱相交，當截面面積最大時，在所給圖形上畫出截面圖形（不必說出畫法和理由），并求出截面面積的最大值;

（３）在（２）的條件下，設平面α 與正方體的棱AB，BB１，B１C１ 分別交于點E，F，G，當截面的面積最大時，求二面角D１ＧEFＧG 的余弦值．