２０２４年普通高等學(xué)校招生全國(guó)統(tǒng)一考試模擬試卷數(shù)學(xué)(全國(guó)甲卷)

巨小鵬

（本試卷滿分１５０分，考試用時(shí)１２０分鐘）

１８．如圖所示，在四棱錐PＧABCD 中，PD ＝２AD ，PD ⊥DA ，PD ⊥DC，底面ABCD 為正方形，M ，N 分別為AD ，PD 的中點(diǎn)．

（１）求證：PA ∥平面MNC;

（２）求直線PB 與平面MNC 所成角的正弦值．

１９．某村從事以紫長(zhǎng)茄為主的蔬菜種植．受種植條件、管理水平、市場(chǎng)等因素影響，每年紫長(zhǎng)茄的平均畝產(chǎn)量和統(tǒng)一收購(gòu)價(jià)格會(huì)有波動(dòng)，畝產(chǎn)量與收購(gòu)價(jià)格互不影響．根據(jù)以往資料預(yù)測(cè)，該村紫長(zhǎng)茄今年的平均畝產(chǎn)量X （單位：噸）的分布列如下表所示．

紫長(zhǎng)茄今年的平均統(tǒng)一收購(gòu)價(jià)格Y（單位：萬(wàn)元/噸）的分布列如下表所示．

（１）某農(nóng)戶種植三個(gè)大棚紫長(zhǎng)茄，每個(gè)大棚１畝，每個(gè)大棚產(chǎn)量相互獨(dú)立，求這三個(gè)大棚今年總產(chǎn)量不低于３４噸的概率;

（２）紫長(zhǎng)茄今年每畝種植成本約１５萬(wàn)元，設(shè)Z 表示該村紫長(zhǎng)茄今年平均每畝的利潤(rùn)（單位：萬(wàn)元），求Z 的分布列和數(shù)學(xué)期望．

２０．已知拋物線C 的頂點(diǎn)在原點(diǎn)，焦點(diǎn)在坐標(biāo)軸上，點(diǎn)A（１，２）為拋物線C 上一點(diǎn)．

（１）求C 的方程;

（２）若點(diǎn)B（１，－２）在C 上，過B 作C 的兩弦BP 與BQ，若kBP kBQ ＝－２，求證：直線PQ 過定點(diǎn)．

２１．已知函數(shù)f（x）＝ex －e－x ，g（x）＝ax，其中a∈R．

（１）試討論函數(shù)F（x）＝f（x）－g（x）的單調(diào)性．

（２）當(dāng)a＝２時(shí)，記函數(shù)f（x），g（x）的圖像分別為曲線C１，C２．在C２ 上取點(diǎn)Pn（xn ，yn）作x 軸的垂線交C１于Qn ，再過點(diǎn)Qn 作y 軸的垂線交C２ 于Pn＋１（xn＋１，yn＋１）（n∈N? ），且x１＝１．

（ⅰ）用xn 表示xn＋１;

（ⅱ）設(shè)數(shù)列{xn}和{lnxn}的前n 項(xiàng)和分別為Sn ，Tn ，求證：Sn －Tn＋１＞nln２．