一類雙曲守恒律方程組退化Goursat問題整體光滑解的存在性

趙佳敏　肖偉

摘要： 針對一類雙曲守恒律方程組退化Goursat問題， 研究其整體光滑解的存在性. 首先， 引入特征角α，β， 建立α，β和壓力P的特征分解; 其次， 利用α，β的特征分解得到不變區域， 進而得到特征角的最大模估計； 最后， 通過壓力P的特征分解以及連續性方法建立解的梯度估計， 從而證明退化Goursat問題解的存在性.

關鍵詞： 雙曲守恒律方程組； 特征分解； 退化Goursat問題； 平面稀疏波

中圖分類號： O175.2文獻標志碼： A文章編號： 1671-5489（2024）02-0197-08

Existence of? Global Smooth Solutions for Degenerate Goursat Problem of a Class of Hyperbolic Conservation Law Systems

ZHAO Jiamin， XIAO Wei

（School of Sciences， Changan University， Xian 710064， China）

Abstract： We studied the existence of the global smooth solutions for degenerate Gourset problem of a class of hyperbolic conversation law systems. Firstly， we introduced? characteristic angles α，β， and established characteristic decompositions for α，β and pressure P. Secondly， the characteristic decompositions of? α，β were used to obtain the invariant region， and then the maximum norm estimate of the characteristic angles were obtained. Finally， the gradient estimates of the solution were established by the characteristic decomposition of pressure P and continuity method， which proved the existence of the solutions to the degenerate Gourset problem.

Keywords：? hyperbolic conservation law system; characteristic decomposition; degenerate Goursat problem; planar rarefaction wave

1 引言與預備知識

非線性雙曲守恒律方程組來源于物理和力學等中的許多自然現象. 其中二維Riemann問題的研究在理論和實際中均具有重要意義. 對于Euler方程的二維Riemann問題， 文獻［1］基于廣義特征分析法和數值實驗提出了一系列猜想. 但跨音速結構的存在以及小尺度結構［2-3］使得該類問題的解更復雜. 文獻［4-5］根據對稱性避免了這些結構， 得到了一些有意義的結果. 對于Goursat問題， Barthwal等［6］為得到對應二維Riemann問題直到真空邊界的全局解的存在性， 考慮Euler方程組Goursat型邊值問題， 并在文獻［7］中通過特征分解和自舉法的思想得到了簡單波和平面稀疏波相互作用相應的二維Riemann問題在真空邊界處解的整體存在性； Dai等［8］考慮氣體動力學壓差方程的Goursat問題， 證明了退化真空Goursat問題整體光滑解的存在性； Hu等［9］利用文獻［8］的方法將非線性波動方程局部解延拓為整體解.

Song等［10］為得到f（P）=P條件下退化到聲速線上解的存在性， 在二維壓力梯度系統的研究中構造了一種新型波， 這種新型波稱為解的半雙曲片. 半雙曲片作為上述結構中的一種， 經常出現在Euler方程及相關模型的二維Riemann問題中. Li等［11］通過引入特征角研究了二維可壓縮Euler方程半雙曲片結構; Hu等［12］對等溫Euler系統的半雙曲片解進行了研究. 該類型解在翼型的跨音速流和Guderley反射中應用廣泛. Feng等［13］證明了一類壓強定律的二維可壓縮Euler方程半雙曲片解的存在性； Chen等［14］研究了二維可壓縮Euler系統中非理想氣體在相應大小尖角處的膨脹問題， 用推廣局部解并結合估計和雙曲性得到了非理想氣體與真空交界處全局解的存在性. 本文與文獻［10］不同， 主要利用特征角建立C1估計得到整體光滑解.

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（責任編輯： 趙立芹）

收稿日期： 2023-06-27.

第一作者簡介： 趙佳敏（1998—）， 女， 漢族， 碩士研究生， 從事偏微分方程的研究， E-mail： 1362531542@qq.com.

通信作者簡介： 肖 偉（1983—）， 男， 漢族， 博士， 副教授， 從事偏微分方程的研究， E-mail： xiaowei1802002@chd.edu.cn.

基金項目： 陜西省自然科學基礎研究計劃項目（批準號： 2018JQ1084）、 陜西省重點研發計劃項目（批準號： 2019GY202）和長安大學中央高校基本科研業務費專項基金（批準號： 300102121101）.