具p-雙調和算子的非局部橢圓方程Navier邊值問題的廣義解

劉健　趙增勤

摘要： 利用變分方法和相應的臨界點定理研究一類具有p-雙調和算子的非局部橢圓方程Navier邊值問題， 在非線性項滿足超線性條件時， 得到了兩個非平凡廣義解的存在性定理.

關鍵詞： 非局部橢圓方程; Navier邊值問題; p-雙調和算子; 變分方法; 廣義解

中圖分類號： O175.2文獻標志碼： A文章編號： 1671-5489（2024）02-0205-06

Generalized Solutions to Nonlocal Elliptic EquationsNavier Boundary Value Problems with p-Biharmonic Operators

LIU Jian1， ZHAO Zengqin2

（1. School of Statistics and Mathematics， Shandong University of Finance and Economics， Jinan 250014， China;

2. School of Mathematical Sciences， Qufu Normal University， Qufu 273165， Shandong Province， China）

Abstract： By using? variational methods and corresponding critical points theorems， we investigated a class of nonlocal elliptic equations Navier boundary value problems with p-biharmonic operators. We obtained two existence theorems for nontrivial generalized solutions? when nonlinear terms satisfied super-linear conditions.

Keywords： nonlocal elliptic equation; Navier boundary value problem; p-biharmonic operator; variational method; generalized solution

0 引 言

四階非線性橢圓方程邊值問題在微機電系統、 多相系統的相場模型、 固體表面擴散及界面動力學等領域應用廣泛. Kirchhoff型橢圓方程是帶有非局部項的非線性方程， 該類方程的很多定性性質可解釋物理學和工程學中許多非線性模型的物理意義［1］. 為研究拉伸弦的振動， Lions［2］建立了該類方程的抽象框架. 近年來， 利用變分方法結合臨界點理論， 對非線性微分方程解的存在性及解存在數量的研究得到廣泛關注［3-18］. 例如： 文獻［4，14］分別在一定的條件下研究了四階脈沖彈性梁方程解的存在數量； 文獻［5］在非線性項滿足一定的增長性條件下， 利用變分方法結合相應的臨界點定理研究了一類Kirchhoff型四階彈性梁方程兩個非平凡廣義解的存在性.

受上述研究啟發， 本文研究下列具有p-雙調和算子的Kirchhoff型橢圓方程Navier邊值問題廣義解的存在性：Δ2pu+K∫Ωup/p+up/pdt（-Δpu+up-2u）=λf（x，u），/在Ω內，

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（責任編輯： 趙立芹）

收稿日期： 2023-06-12.

第一作者簡介： 劉 健（1980—）， 男， 漢族， 博士， 教授， 從事非線性泛函分析及偏微分方程的研究， E-mail： liujianmath@163.com.

基金項目： 國家自然科學基金（批準號： 11571197）和山東省自然科學基金（批準號： ZR2021MA070）.