數(shù)學(xué)核心素養(yǎng)視角下情境的理解維度與設(shè)計路徑

盧城波 王羅那 周雙

新頒布的義務(wù)教育數(shù)學(xué)課程標(biāo)準(zhǔn)主張通過情境設(shè)計與問題提出培育學(xué)生的數(shù)學(xué)核心素養(yǎng)。數(shù)學(xué)核心素養(yǎng)視角下，情境的類型、真實性與數(shù)學(xué)關(guān)聯(lián)性可以作為理解情境三個重要維度。情境設(shè)計路徑應(yīng)從整合教學(xué)資源、開發(fā)多樣情境，融入自然需要、挖掘真實情境，關(guān)聯(lián)學(xué)科本質(zhì)、搭建必要情境三個方向展開，以此實現(xiàn)數(shù)學(xué)核心素養(yǎng)的生成、發(fā)展與評價。

數(shù)學(xué)核心素養(yǎng)；教學(xué)情境；情境設(shè)計；情境構(gòu)建

盧城波，王羅那，周雙.數(shù)學(xué)核心素養(yǎng)視角下情境的理解維度與設(shè)計路徑[J].教學(xué)與管理，2024（13）：42-45.

2022年4月，以“核心素養(yǎng)”為特色的義務(wù)教育課程方案和各科課程標(biāo)準(zhǔn)頒布。其中，《義務(wù)教育數(shù)學(xué)課程標(biāo)準(zhǔn)（2022年版）》（以下簡稱數(shù)學(xué)課程標(biāo)準(zhǔn)）從課程目標(biāo)的設(shè)立（總目標(biāo)、學(xué)段目標(biāo)），課程內(nèi)容的編排（數(shù)與代數(shù)、圖形與幾何、統(tǒng)計與概率、綜合與實踐），課程實施的組織（教學(xué)、評價、教材編寫）方面對情境提出了具體的指導(dǎo)意見。此外，數(shù)學(xué)課程標(biāo)準(zhǔn)還明確指出“注重發(fā)揮情境設(shè)計與問題提出對學(xué)生主動參與教學(xué)活動的促進作用，使學(xué)生在活動中逐步發(fā)展核心素養(yǎng)”[1]，并從多方面描繪如何創(chuàng)設(shè)真實情境，情境的重要性可見一斑。隨之而來的問題是，在數(shù)學(xué)核心素養(yǎng)的視角下，教育者應(yīng)該如何理解情境以及如何設(shè)計情境。

一、數(shù)學(xué)核心素養(yǎng)視角下情境的理解維度

新課程改革以來，大量生活化、情境化的素材涌入課堂，為孤立、抽象的數(shù)學(xué)知識賦予了現(xiàn)實意義，但也暴露了一些問題，譬如“教材問題情境的成人化、城市化傾向，忽視了地區(qū)之間的差異”[2]等。因此，需要對情境進行系統(tǒng)梳理以完善人們的有關(guān)理解。

1.情境的類型

根據(jù)情境距離學(xué)生由近及遠(yuǎn)的原則，國際學(xué)生評估項目（Programme International Student Assessment，簡稱PISA）將情境劃分為個人的（Personal）、職業(yè)的（Occupational）、公共的（Public）和科學(xué)的（Scientific）[3]，PISA認(rèn)為情境距離學(xué)生越遠(yuǎn)則難度越大。在PISA看來，真實、多樣的情境下學(xué)生所表現(xiàn)的能力與態(tài)度才是數(shù)學(xué)核心素養(yǎng)的真正體現(xiàn)。

我國教育部頒布的《普通高中數(shù)學(xué)課程標(biāo)準(zhǔn)（2017年版2020年修訂）》（以下簡稱“高中數(shù)學(xué)課程標(biāo)準(zhǔn)”）則將情境劃分為現(xiàn)實情境、數(shù)學(xué)情境、科學(xué)情境三類[4]。對比PISA，高中數(shù)學(xué)課程標(biāo)準(zhǔn)對情境的劃分較為籠統(tǒng)，但強調(diào)現(xiàn)實情境與科學(xué)情境仍有目的指向。現(xiàn)實情境與科學(xué)情境關(guān)注數(shù)學(xué)在現(xiàn)實生活和自然科學(xué)中的重要價值，此類情境凸顯數(shù)學(xué)的廣泛應(yīng)用性，發(fā)展學(xué)生的應(yīng)用意識。此外，我國課程標(biāo)準(zhǔn)更關(guān)注純粹的數(shù)學(xué)情境。“數(shù)學(xué)一經(jīng)構(gòu)造出來就具有‘形式客觀性和‘相對獨立性，從而又可以成為后繼的進一步抽象的‘具體原型。”[5]數(shù)學(xué)情境就是由“具體原型”整合而成，強調(diào)對抽象后的數(shù)學(xué)產(chǎn)物進行推理的過程，突出數(shù)學(xué)對嚴(yán)密邏輯思維訓(xùn)練的價值。近年來，數(shù)學(xué)文化作為一個熱門話題逐漸興起，有研究者專門劃分文化情境作為情境的主要類型之一[6]。文化情境是指一些滲透數(shù)學(xué)史、數(shù)學(xué)文化相關(guān)的情境，也包括中國傳統(tǒng)文化、文學(xué)及歷史學(xué)等相關(guān)的情境。此類情境往往還原了數(shù)學(xué)發(fā)展歷程的真實情境，能夠幫助學(xué)生了解數(shù)學(xué)知識形成的來龍去脈，從中感悟理性的精神與文明，有助于形成積極的學(xué)習(xí)情感。

綜合來看，PISA強調(diào)在真實情境下的問題解決中反映學(xué)生的數(shù)學(xué)核心素養(yǎng)水平；我國課程標(biāo)準(zhǔn)則要求創(chuàng)設(shè)真實情境以激發(fā)學(xué)習(xí)興趣與鍛煉數(shù)學(xué)思維，從而培育數(shù)學(xué)核心素養(yǎng)。二者均關(guān)注情境的真實性。那么，什么是情境的真實性？為什么要關(guān)注情境的真實性？

2.情境的真實性

情境的真實性是指：情境應(yīng)當(dāng)來源于人的活動和行為賴以存在的真實世界，而不是想象世界中的情境或頭腦中虛構(gòu)的情境（即便虛構(gòu)的情境也應(yīng)包含真實性），或只存在于個體主觀世界中的某種情境[7]。這一界定意味著真實性情境是一個源于復(fù)雜現(xiàn)實的動態(tài)性、開放性環(huán)境。

“整合教學(xué)法”的倡導(dǎo)者羅日葉從兩個角度來考慮情境的真實性（見表1）。一方面，教師所呈現(xiàn)的是自然的（真實的）情境還是建構(gòu)的情境；另一方面，學(xué)生所提供的是真正的解決還是模擬的解決[8]。不同程度的情境構(gòu)建需求與問題解決模式制約著情境的真實性水平。

表1? ?情境的真實性水平劃分

可見，情境的真實性依托于情境的創(chuàng)設(shè)意圖，如果只是對學(xué)生進行數(shù)學(xué)建模訓(xùn)練，可以建構(gòu)情境進行模擬解決；而如果要解決實際問題，則需要提供真實的情境。當(dāng)下，學(xué)校教育面臨的困境是與現(xiàn)實世界的隔離，學(xué)生一方面無法對生活的既有經(jīng)驗展開充分運用，另一方面無法在現(xiàn)實問題中將學(xué)校所學(xué)進行內(nèi)化、遷移。因而制定了數(shù)學(xué)核心素養(yǎng)的培養(yǎng)目標(biāo)，要求學(xué)生具備在真實情境下解決數(shù)學(xué)問題的必備品格與關(guān)鍵能力。在培育數(shù)學(xué)核心素養(yǎng)的視角下，情境的真實性水平越高，其中所蘊含的問題更具復(fù)雜性，對學(xué)生而言更具吸引力和參與性，可以幫助學(xué)生經(jīng)歷完整的現(xiàn)實問題解決過程，積累數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)經(jīng)驗[9]。

3.情境的數(shù)學(xué)關(guān)聯(lián)性

為避免“貼標(biāo)簽式”的情境設(shè)計誤區(qū)，數(shù)學(xué)關(guān)聯(lián)性也應(yīng)成為解讀情境的重要維度。在這一方面，PISA數(shù)學(xué)測評構(gòu)建了三級水平[10]，結(jié)合我國情境教學(xué)的實踐與理論，可從“表達、應(yīng)用、闡釋與評估”三方面進行本土化解讀。

“表達”是數(shù)學(xué)關(guān)聯(lián)性的一級水平，指將現(xiàn)實情境表達（轉(zhuǎn)化）為數(shù)學(xué)問題，也就是“在情境中審題”的過程。具體包括：閱讀、理解情境中的問題或任務(wù)；簡化或分解問題情境，使其便于數(shù)學(xué)地分析；識別問題情境中的關(guān)鍵變量；將問題情境中的各環(huán)節(jié)與數(shù)學(xué)問題的程序相對應(yīng)。因而，“表達”是對問題情境的解構(gòu)與重構(gòu)，要求學(xué)生從真實情境中提取關(guān)鍵元素加以整合形成數(shù)學(xué)問題。這一過程考查在情境中發(fā)現(xiàn)問題、提出問題的能力，強調(diào)對現(xiàn)實世界的簡化和抽象。

“應(yīng)用”是數(shù)學(xué)關(guān)聯(lián)性的二級水平，指通過一系列的數(shù)學(xué)推理獲取答案，即“在情境中解題”的過程，可以將其分解為：觀察數(shù)字、代數(shù)式、圖形或統(tǒng)計數(shù)據(jù)，從中提取關(guān)鍵的數(shù)學(xué)信息；使用數(shù)學(xué)算法和算理進行運算，對數(shù)學(xué)求解的結(jié)論進行概括說明；呈現(xiàn)其中的數(shù)學(xué)結(jié)果并闡明解決方案。不難發(fā)現(xiàn)，“應(yīng)用”環(huán)節(jié)主要包含兩部分內(nèi)容，一部分關(guān)注通過數(shù)學(xué)運算和邏輯推理獲取數(shù)學(xué)結(jié)論，另一部分則要求由數(shù)學(xué)結(jié)論提出解決方案，考查在情境中分析問題與解決問題的能力。

“闡釋與評估”是數(shù)學(xué)關(guān)聯(lián)性的三級水平，強調(diào)將數(shù)學(xué)結(jié)果還原到現(xiàn)實情境中，即“在情境中答題”的過程。它主要包含：用數(shù)學(xué)結(jié)果解釋現(xiàn)實情境；確定數(shù)學(xué)結(jié)果對問題情境是否有意義；根據(jù)問題情境，評估解決方案的合理性與局限性；基于問題情境，交流和解釋數(shù)學(xué)結(jié)論。“闡釋”實則是一種數(shù)學(xué)交流能力，指通過書面化或口語化的形式，表達思維過程與數(shù)學(xué)結(jié)論，并對數(shù)學(xué)結(jié)論所反映的現(xiàn)實意義加以說明；而“評估”則是從現(xiàn)實角度出發(fā)，檢驗數(shù)學(xué)問題解答的有效性，這一環(huán)節(jié)體現(xiàn)的是學(xué)生在情境中“解釋結(jié)論”和“檢驗結(jié)論”的能力。

二、數(shù)學(xué)核心素養(yǎng)視角下情境的設(shè)計路徑

1.整合學(xué)習(xí)資源，開發(fā)多樣情境

（1）面向生活經(jīng)驗，溝通現(xiàn)實情境。數(shù)學(xué)源于生活，也應(yīng)用于生活。引入與教學(xué)內(nèi)容相適應(yīng)的生活情境，其作用是打通直接經(jīng)驗與間接經(jīng)驗的隔閡，引發(fā)共鳴，使學(xué)生更易將復(fù)雜、抽象的數(shù)學(xué)知識內(nèi)化吸收。因此，應(yīng)關(guān)注生活中的每一個細(xì)節(jié)，從學(xué)生的生活實際和現(xiàn)實素材出發(fā)。例如，在闡釋初中數(shù)學(xué)不等式組“大大小小無解答”抽象思想時，教師可以提出這樣的問題：有一個人，他的身高比姚明高，又比老師本人矮，現(xiàn)實生活中存在這樣的人嗎？

答案顯然是否定的。諸如此類的現(xiàn)實情境起到了潤滑劑的作用，“化解”原有數(shù)學(xué)概念的抽象性，幫助學(xué)生體驗現(xiàn)實生活的數(shù)學(xué)思想，增進學(xué)習(xí)樂趣。

（2）體驗學(xué)科融合，創(chuàng)設(shè)科學(xué)情境。數(shù)學(xué)課程標(biāo)準(zhǔn)重視跨學(xué)科內(nèi)容，要求整合數(shù)學(xué)與其它學(xué)科的知識和思想方法，讓學(xué)生感受從數(shù)學(xué)角度觀察、思考和解決其他學(xué)科的問題的過程，體驗學(xué)科融合的真實情境。要設(shè)計好跨學(xué)科情境，首先要求教師理清學(xué)科間的知識交叉點，整合相關(guān)的學(xué)習(xí)資源來創(chuàng)設(shè)情境。例如，學(xué)習(xí)導(dǎo)數(shù)概念的過程中，可以讓學(xué)生感受經(jīng)濟學(xué)中“數(shù)據(jù)的增長率”，物理學(xué)中“車輛的加速度”“體積的膨脹率”等科學(xué)情境，并為數(shù)學(xué)的應(yīng)用提供大量科學(xué)背景。

（3）回溯數(shù)學(xué)史實，營造文化情境。數(shù)學(xué)史主要研究數(shù)學(xué)概念、定理、思想方法的歷史源流，展現(xiàn)數(shù)學(xué)家刻苦鉆研的精神，彰顯數(shù)學(xué)的文化內(nèi)涵。遵循數(shù)學(xué)歷史、營造文化情境旨在引導(dǎo)學(xué)生回溯知識應(yīng)用背景與知識產(chǎn)生的必然規(guī)律，體驗數(shù)學(xué)知識發(fā)展的歷史順序與演變脈絡(luò)。要設(shè)計好文化情境，教師需要做好史料的篩選和準(zhǔn)備，針對具體的教學(xué)內(nèi)容提前明確數(shù)學(xué)史在課堂中的引入之處和研究重點，分析數(shù)學(xué)文化對學(xué)習(xí)的促進作用。

2.融入自然需要，挖掘真實情境

（1）呈現(xiàn)自然需要。自然需要是指學(xué)生在現(xiàn)實生活中所遭遇的真實存在的解決數(shù)學(xué)問題的需要。與傳統(tǒng)的基于知識獲取與成績提升所產(chǎn)生的數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)需要相比，自然需要更具有現(xiàn)實性與必要性。出于自然需要，學(xué)生能夠保持解決問題的動機并理解數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)的意義——這對于義務(wù)教育階段的學(xué)生是尤為關(guān)鍵的。因此，在數(shù)學(xué)實踐活動的初期，應(yīng)設(shè)計真實的驅(qū)動型問題，以確保實踐的必要性，體現(xiàn)學(xué)習(xí)價值與自我價值。例如，上海某高中的項目學(xué)習(xí)活動“共享單車中的數(shù)學(xué)”設(shè)計了如下的驅(qū)動性問題。

活動一：共享單車中的速度問題。

共享單車的車型多種多樣，不同型號的共享單車，其（前后）鏈輪及車輪是否有區(qū)別？哪些型號的共享單車速度更快？

活動二：共享單車優(yōu)惠券中的門道。

優(yōu)惠券是共享單車公司盈利的方式之一，那么目前市場上有哪些優(yōu)惠券形式呢？公司如何利用優(yōu)惠券來平衡開支與營收，是否有相關(guān)函數(shù)模型？[11]

該案例中諸如“哪些型號的共享單車速度更快”等驅(qū)動性問題是學(xué)生在使用共享單車的過程中自然引發(fā)的現(xiàn)實疑問，即自然需要。此類問題切中好奇心理，彰顯現(xiàn)實意義，為數(shù)學(xué)實踐活動的順利開展提供價值驅(qū)動。

（2）確保真實解決。真實解決與模擬解決的差異體現(xiàn)情境的開放性，具體包括開放性問題、開放性思路與開放性結(jié)論等要素。而模擬解決的過程難以體現(xiàn)真實情境的開放性與復(fù)雜性，無法全面發(fā)展基于真實情境的問題解決能力。

為確保實踐活動的真實解決，一方面教師應(yīng)注重對活動實施展開過程評價，明確各階段的子任務(wù)，并實施全程監(jiān)控。這里的過程評價不僅關(guān)注學(xué)生數(shù)學(xué)知識的掌握情況，還應(yīng)致力于通過思路討論、過程證明、結(jié)論呈現(xiàn)等行為來展示學(xué)生的表達能力、應(yīng)用能力、邏輯推理能力與數(shù)學(xué)思維水平。另一方面，還應(yīng)關(guān)注實踐活動的成果展示，展示的成果可以是論文、報告等形式，尤其需要關(guān)注學(xué)生是否對所涉及的數(shù)學(xué)核心概念達成深度理解。

（3）結(jié)合教育技術(shù)。隨著現(xiàn)代教育技術(shù)的發(fā)展，仿真情境走進課堂已經(jīng)成為現(xiàn)實，借助虛擬環(huán)境實現(xiàn)數(shù)學(xué)實踐活動。諸如VR、AR、元宇宙等技術(shù)，將圖像、音頻和其它感知增強功能從計算機屏幕疊加到實時環(huán)境中，將虛擬世界融入真實世界，能夠讓學(xué)生在虛擬環(huán)境中體驗真實情境[12]。例如，北京師范大學(xué)教育技術(shù)學(xué)院蔡蘇團隊自主研發(fā)了一項AR教學(xué)項目。該項目讓學(xué)生使用AR技術(shù)復(fù)現(xiàn)拋硬幣的實驗過程，為學(xué)生帶來身臨其境的體驗感。實驗結(jié)果表明，實驗組的表現(xiàn)一定程度上優(yōu)于對照組，并顯著提高學(xué)習(xí)積極性[13]。

3.關(guān)聯(lián)學(xué)科本質(zhì)，構(gòu)建必要情境

（1）提供抽象背景。情境作為抽象背景而存在，是情境最為基礎(chǔ)的應(yīng)用。要求情境背景設(shè)置與數(shù)學(xué)元素有機融合，從而為學(xué)生提供理解情境背景與提取數(shù)學(xué)信息的機會。此外，情境背景中往往含有自身的現(xiàn)實邏輯，能夠作為隱含的數(shù)學(xué)條件，是學(xué)生在解讀現(xiàn)實邏輯的基礎(chǔ)上提煉數(shù)學(xué)問題。例如，2021年浙江省中小學(xué)教育質(zhì)量監(jiān)測數(shù)學(xué)學(xué)科卷中設(shè)計了這樣一個情境背景。

我們?nèi)粘Ｊ褂玫目谡珠L18cm，尺寸如圖1所示。為方便佩戴時展開，口罩加工時中間要做三條折疊，每條折疊折進的寬度為1cm（圖1中B點到C點的長度）。根據(jù)這些信息，請你回答：將這個口罩的全部折疊都展開平整后，它的面積是多少？

在該問題情境中，“口罩具有折疊部分”符合客觀事實且隱含數(shù)學(xué)條件。要明確口罩真正的寬度，學(xué)生需要考慮點B到點N之間經(jīng)歷了幾次折疊，總長為多少。這一環(huán)節(jié)設(shè)計不僅考查學(xué)生對面積公式的基本運用，更體現(xiàn)了學(xué)生抽象能力的發(fā)展水平。

（2）關(guān)注推理過程。這一環(huán)節(jié)的情境設(shè)計要求顯現(xiàn)清晰的數(shù)學(xué)邏輯以鏈接完整問題的各個要素，學(xué)生在剖析數(shù)學(xué)邏輯的基礎(chǔ)上分析、解決數(shù)學(xué)問題，發(fā)展數(shù)學(xué)思維。然而解決現(xiàn)實情境問題的數(shù)學(xué)邏輯的并非單一的方法路線，基于不同思路能夠得到多樣化的開放性答案。因此，教師應(yīng)著重設(shè)計能夠?qū)崿F(xiàn)“一題多解”的問題情境，以鍛煉數(shù)學(xué)思維水平，強化分析問題、解決問題的能力[14]。此外，對推理過程的考察應(yīng)當(dāng)采用滿意原則，為創(chuàng)造性的思維加分。例如，國家基礎(chǔ)教育質(zhì)量檢測中心曾設(shè)計題目。有一條道路連接了兩個居民小區(qū)，現(xiàn)在要在路邊為小區(qū)居民修建一個超市，你認(rèn)為應(yīng)當(dāng)修建在哪里，并說明理由[15]。

在該題的評分思路中，提出應(yīng)建在中間位置以確保公平，可得滿分；提出應(yīng)視兩個居民區(qū)的居住人數(shù)而定，可額外加兩分；提出應(yīng)視兩地區(qū)居民去超市的需求而定，可以再加兩分。可見，不拘泥于固定回答模板和思路，鼓勵開放性的回答、高水平的數(shù)學(xué)思維是推理過程考查的必要宗旨。

（3）設(shè)計反饋任務(wù)。情境任務(wù)的設(shè)計不僅要得出數(shù)學(xué)結(jié)論，還應(yīng)當(dāng)布置具有現(xiàn)實意義的反饋任務(wù)，從而將由數(shù)學(xué)結(jié)果在現(xiàn)實邏輯中得以驗證。反饋任務(wù)可以是對現(xiàn)實情境的合理推斷、決策建議或緣由解答等。學(xué)生在解釋數(shù)學(xué)結(jié)論的過程中強化數(shù)學(xué)語言的表達，將數(shù)學(xué)作用于現(xiàn)實生活。例如，2020年嘉興市、舟山市中考數(shù)學(xué)卷設(shè)計了試題。

小吳家準(zhǔn)備購買一臺電視機，小吳將收集到的某地區(qū)A、B、C三種品牌電視機銷售情況的有關(guān)數(shù)據(jù)統(tǒng)計如下（如圖2）。你建議小吳家購買哪種品牌的電視機？說說你的理由。

該情境設(shè)計了有關(guān)購買建議的反饋型任務(wù)，脫離傳統(tǒng)以得到數(shù)學(xué)答案為最終結(jié)果的問題設(shè)計，考查學(xué)生從數(shù)學(xué)的角度對問題進行分析并做出判斷以及將數(shù)學(xué)結(jié)論翻譯到現(xiàn)實世界的能力。

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[14] 丁淑琳，王羅那，黃韜. 基于“一題多解”的初中數(shù)學(xué)核心素養(yǎng)培養(yǎng)[J]. 湖州師范學(xué)院學(xué)報，2021，43（08）：112-116.

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