從“量”開始，理解分數含義

韓亮 劉賢虎

［摘 ?要］ “認識幾分之一”教學的核心目標是理解“幾分之一”的含義，具體表現為：能對整體“1”進行平均分，會表達其中1份與整體關系，能初步感受幾分之一的大小。教師應緊緊圍繞教學目標進行教學設計和實施，抓住分數“量”的屬性進行教學，讓學生從自然數遷移到分數，真正實現對“幾分之一”的理解。

［關鍵詞］ 平均分；思維可視化；理解；聯系

一、課前慎思

分數源于“分”，立于分數單位?，F行各個版本的教材認識分數“幾分之一”都是從分物情境導入，讓學生先感受分數產生的必要性，然后學習幾分之一的寫法、讀法，最后感受部分與整體的關系這一分數意義的本質。“數的認識”既包括數數、讀寫、順序、大小、組成等，還包括數的產生與發展過程、數在不同情境中的多種含義等。對于以具體形象思維為主的三年級學生來說，既要利用具體實物，開展動手操作、合作交流等學習方式來認識分數，還要從分的數量中抽象出分數。

從數的認識的一致性來看，教師要構建以“計數單位”為核心的知識結構教學，并進行適當的遷移變形讓學生吸納新的知識，減輕理解難度，不用“死記硬背”。借助“計數單位”可以讓學生將多個知識點、多個數域的“數的認識”串聯在一起，形成知識體系?！皫追种弧笔恰胺謹涤颉钡摹坝嫈祮挝弧保瑢W生在初步認識分數時，需要將量、率分開認識，以量為基礎，充分借助認識自然數的學習經驗來促進遷移，從而理解分數概念。

二、課中實踐

1. 情境引入，思維激發

教師先創設分物情境，通過分4個蘋果、2顆糖果、1塊餅干，讓學生感受平均分較為公平；然后，讓學生思考：怎么把1個圓平均分成2份，每份剛好是一半？能用學過的自然數表示嗎？分的結果從能用自然數表示到不能用自然數表示，制造認知沖突，激發學生學習的興趣。

2. 問題探究，思維可視

（1）活動一：怎么表示出半個？用什么數表示這一半？折一折，寫一寫，并說明理由。

學生獨立動手實踐，完成后呈現以下作品，如圖1。

5個學生先匯報各自作品，然后教師根據匯報在圖1中作品折痕的地方畫線。

師：上面5位同學的想法大家能看明白嗎，你認為哪一種折法不一樣？請與同桌討論，時間1分鐘。

生1：我認為第①種折法不一樣，這種方法不是對折。因為折出來的2份不一樣，不是平均分。

師：怎么折才是平均分呢？

生2：應該對折，就是兩端對齊，對折后左右兩邊剛好一樣大。所以對折就是平均分，平均分后會得到2份大小一樣的半圓，每個半圓剛好就是這個圓的一半。

師：請你演示一下什么是對折。（學生演示）

師：那②③④⑤這幾種想法，哪一種表示最合適？小組再次討論。

生3：我認為第④⑤種最合適。它們不僅畫了折痕的橫線，還把其中的1個半圓畫了斜線。但是它們的“二分之一”寫得不一樣，不知道哪一種正確。

生4：我覺得④⑤畫得很好，不僅用線表示了平均分，還用斜線畫了其中的1個半圓，表示這部分是要拿出來分的。

師：對折后畫一畫或者標注一下，看得更清楚，這樣其他同學能更清楚你的想法。剛才說的“二分之一”的寫法，你們認為哪一種正確？

生5：我認為第④種正確。2表示要平均分給2個人，拿出其中的1份，就在線下面寫1個1。

生6：我認為第⑤種正確。我爸爸講過，分給幾個人的數字要寫在線下面，拿出的1份要寫在線上面。

師：大家的想法都是表示平均分給2個人，拿出其中的1份，只是寫法各不相同。打開課本，看一看數學上是怎么規定的。

學生閱讀課本后匯報。

師：你在這個圓里找到了幾個個？

生7：我找到2個，畫斜線的部分是個，沒有畫斜線的部分也是個。

師：每1份就是個圓，1個圓里有2個個圓，這里的與我們以前所學的自然數一樣，也可以表示物體的數量。

設計意圖：概念的學習是學生在自身經驗及獨立思考的基礎上向科學的概念轉化的。圓的“二分之一”怎么折出來、用數怎么表示，學生的認識各不相同。教師要讓學生在呈現了不同水平層次的思考后，進行分類、比較，在對話中逐步形成正確的認識。

（2）活動二：你還想用圖形表示幾分之一個？（折一折、畫一畫、寫一寫，并說明理由）

①你想把圓平均分成幾份，表示幾分之一個？

學生完成后展示作品，匯報自己的想法，如圖2。

生1：我把1個圓對折2次，平均分成了4份，涂色的1份就是這個圓的個。

師：你還能找出幾個個？

生2：還能找出3個個。1個圓里一共有4個個。

生3：我是把1個圓平均分成了8份，每份就是這個圓的個。

師：你還能找出幾個個？

生4：還能找出其他7個個。我發現1個圓里一共有8個個。

師：像、、……這樣的數，都是分數。中間的這條橫線叫作分數線；平均分成2份，這里的2叫作分母；每份也就是1叫作分子。今天我們就來認識分子是1的分數——“幾分之一”。（板書課題：認識幾分之一）

②你還想表示哪些圖形的幾分之一個？（用不同的紙片表示出來，并說明理由）

學生完成后進行展示、匯報各自的作品，如圖3。

師：請同學們看這里，同樣都是正方形，他們涂色的部分形狀不同，為什么都用來表示呢？

生5：它們的折法不同。

師：折法不同會是什么結果？

生6：折法不同，平均分后每1份的形狀就不同。

生7：折法雖然不同，但是都表示把1個正方形平均分成4份，涂色的占其中的1份。

師：只要是把正方形平均分成4份，其中每1份都表示這個正方形的，也就是個，和每1份的形狀無關。

師：如圖4，這里有正方形、長方形、圓形，平均分的圖形不同，為什么涂色部分都可以用個來表示呢？

生8：因為都是平均分成4份。

師：是的，以前我們學習過2頭牛、2支鉛筆、2張紙都可以用2這個數表示。分數和自然數一樣，雖然這幾個圖形都不一樣，但只要是平均分成4份，其中的1份都可以用這個數來表示。你知道生活中哪里也可以用表示？

生9：媽媽把1個比薩平均分成4份，我們家每人分得1份，這1份就是……

設計意圖：數的認識要脫離具體對象的物理屬性，要對其數量進行抽象。學生通過獨立思考、動手實踐、自主探索、合作交流，逐步剝離折法、形狀等研究對象的物理屬性，能感悟“幾分之一”表示部分與整體的關系，理解其本質屬性。

3. 問題解決，思維產出

（1）判斷：如圖5，下面的分數能表示各圖中的涂色部分嗎？能表示的畫“√”，不能表示的畫“×”，并說說理由。

（2）填空：如圖6，用分數表示圖形涂色部分。

（ ? ） ? （ ? ） ? ?（ ? ） （ ? ）

（3）比較：教師先出示圖形（如圖7），讓學生猜一猜右邊3個圖形各是多少，課件演示驗證；然后出示問題：米、米、米和1米比，誰大？誰小？

生1：米、米、米都比1米小。

師：說說你的理由是什么？

生2：米是1米長方形紙條的，需要兩個這么多才能拼成一整張，所以我覺得米比1米小。

生3：1米的長方形紙條需要4個米才能拼成，所以我覺得米比1米小。

生4：我發現米＞米＞米。長方形紙條平均分成的份數越多，每1份就越少。

……

師：幾分之一米只是1米中的一部分，這一部分肯定沒有1米長，所以幾分之一米肯定比1米小。如圖7，、、分別在數線圖上的哪個位置呢？（課件演示紙條變成數線圖）

學生嘗試指出各個分數的位置，課件進行驗證。

設計意圖：第（1）題通過正例、反例的判斷說理，加深學生對平均分的理解；第（2）題看圖寫分數，讓學生關注整體與等分的關系，尤其是小題呈現動態過程，其中1份被剪下來，讓學生感受分數的本質；第（3）題先猜一猜，讓學生感受幾分之一米每一個量的大小，然后通過比一比發現平均分的份數越多則每1份就越少，最后將數量抽象為數，進一步發展學生數感。

4. 全課回顧，思維建構

教師引導學生回顧這節課研究的主要問題：①二分之一怎么表示？怎么讀？怎么寫？②還可以表示幾分之一？幾分之一和什么有關？③幾分之一有多大？關于幾分之一，你們還想研究哪些知識？學生的回答較為開放，比如想研究幾分之一的加法、減法、有沒有幾分之幾、它們誰大一些……

設計意圖：回顧本節課研究的主要問題，進一步加深學生印象，使學生在整體上對分數有較為系統的認識，讓學生帶著問題在課后繼續去思考、學習和發現。

三、課后反思

分數的初步認識是學生第一次建立分數的概念，指向的核心素養是培養學生的數感，其教學核心目標是理解幾分之一的含義，具體表現為：能對整體“1”進行平均分，會表達其中1份與整體關系，能感受幾分之一的大小。小學階段分數主要有“量”和“率”兩方面的含義。史寧中教授指出，分數的基本意義是表示整體和等分的關系，所以分數作為數是一個整體，分數本身是數而不是運算［１］。

1. 思維可視，澄清迷思概念

學生對幾分之一的含義、讀法、寫法，有較為粗淺的認知：有的學生憑借已有的認知經驗進行遷移，有的學生通過閱讀教材獲得等。學生的日常概念不同于數學所認可的科學概念，僅憑教師的告訴無法讓學生獲得真正的理解。面對學生對一個物體的平均分及二分之一寫法的“迷思”，教師要創設認知沖突，暴露學生思維，讓學生獨立思考、對話辨析，才能澄清學生的迷思概念，初步感受平均分以及如何表示1份與整體的關系，為后面進一步理解幾分之一打好基礎。

2. 凸顯本質，理解分數含義

學生對分數的認識和整數一樣，需要經歷由數量到數的形成過程，學會用抽象的符號和計數單位表達分數［２］，進而理解和掌握分數的概念。“幾分之一”是分數，也是分數的計數單位，它是度量分數大小、描述分數組成、計算分數加減乘除的重要基礎。學生在表示餅干的一半時，不僅感受到部分與整體的關系，即把整體平均分成2份，其中1份就是整體的；而且自然地將平均分的結果與“1個”聯系在一起，“半個”是1個的，也就是“個”。學生通過進一步感受相同圖形不同折法及不同圖形的，能不斷體驗分數“量”的屬性。同時，學生會發現不同物體的個都可以用表示，初步體會分數是對數量的抽象，感悟分數與自然數在概念本質上的一致性，形成初步的數感和符號意識［３］。

3. 聯系比較，構建數系網絡

自然數（0除外）是以“1”為標準，不斷累加的結果，通過“1”的累加學生初步感受自然數的離散性；分數也是以“1”為標準，不同等分的結果，通過對“1”的等分初步感受分數連續量的特性。學生需要將新學習的幾分之一與已學的自然數建立聯系，在原有的舊知識結構基礎上建立新的結構，實現數概念的第一次擴充。學生在練習中借助直觀的長方形紙條圖和形象的數線圖進行幾分之一與“1”大小的比較，同時把“1”不斷均分，得到不同的幾分之一，分的份數越多就越接近0，感悟0和1之間有無數個分數，初步感受不同的幾分之一的大小關系。學生借助數線圖直觀將幾分之一和自然數進行關聯比較，初步建立起整體化、系統化、邏輯化的知識結構。

史寧中教授指出：“教概念的同時，應當教它們的性質、關系和規律，或者其中的一樣，因此概念需要螺旋式上升。例如從數量中抽象出自然數，那么一并從數量的多少關系中抽象出數的大小關系。給出了分數的定義，就要比較分數的大小?！庇纱丝梢?，在教學幾分之一的意義時，教師要讓學生初步感受幾分之一的大小關系以及與整數之間的大小關系，這對于分數概念的理解十分必要。

參考文獻：

［１］ 史寧中. 基本概念與運算法則：小學數學教學中的核心問題［Ｍ］. 北京：高等教育出版社，２０１３.

［２］ 馬云鵬. 聚焦核心概念 落實核心素養——《義務教育數學課程標準（２０２２年版）》內容結構化分析［Ｊ］.課程·教材·教法，２０２２，４２（０６）：３５－４４.

［３］ 中華人民共和國教育部. 義務教育數學課程標準（２０２２年版）［M］. 北京：北京師范大學出版社，２０２２.