數(shù)學(xué)“說理”的內(nèi)涵、問題以及教學(xué)之道

錢程

［摘 ?要］ 引導(dǎo)學(xué)生開展數(shù)學(xué)“說理”，是數(shù)學(xué)教學(xué)的應(yīng)有之義、應(yīng)然之舉。在小學(xué)數(shù)學(xué)學(xué)科教學(xué)中，教師要轉(zhuǎn)變教學(xué)觀念，強(qiáng)化學(xué)生的說理意識，提升學(xué)生的說理質(zhì)量，優(yōu)化學(xué)生的“說理”品質(zhì)；要擴(kuò)大學(xué)生的說理視野，讓學(xué)生在數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)中敢于說理、善于說理、樂于說理。通過說理，讓學(xué)生的數(shù)學(xué)核心素養(yǎng)得到有效發(fā)展，讓學(xué)生的學(xué)習(xí)力得到有效提升。

［關(guān)鍵詞］ 小學(xué)數(shù)學(xué)；“說理”教學(xué)；教學(xué)之道

數(shù)學(xué)學(xué)科是一門“講理”的學(xué)科，不但數(shù)學(xué)學(xué)科知識本身蘊(yùn)含著“理”，而且數(shù)學(xué)學(xué)科知識的推導(dǎo)過程蘊(yùn)含著“理”。數(shù)學(xué)學(xué)科的“理”具有嚴(yán)謹(jǐn)性、邏輯性、抽象性等特征。在小學(xué)數(shù)學(xué)學(xué)科教學(xué)中，教師要引導(dǎo)學(xué)生“說理”，讓學(xué)生“講理”。當(dāng)前的數(shù)學(xué)教學(xué)存在著“回避理”“遮蔽理”“漠視理”的現(xiàn)象，比如“學(xué)生直接報(bào)答案”“以結(jié)果形態(tài)的教材知識呈現(xiàn)”“教師的膚淺化教學(xué)”等。“理”是數(shù)學(xué)學(xué)科之大道，也是數(shù)學(xué)教學(xué)之大道，將“說理”作為數(shù)學(xué)教學(xué)的根本要求，是教學(xué)回歸“本道”的應(yīng)然之舉。

一、數(shù)學(xué)教學(xué)：為什么需要“說理”

“說理”不僅是數(shù)學(xué)學(xué)科知識的應(yīng)然要求，還是教師教學(xué)的內(nèi)在訴求。“說理”昭示著一種民主、平等的對話。當(dāng)前，部分教師的教學(xué)還是一種“師道權(quán)威”式的教學(xué)，這是學(xué)生無法認(rèn)同的。“說理”不同于“權(quán)威”，它要求教師以一種“平等中的首席”身份融入學(xué)生的數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)之中，在這個(gè)過程中教師要允許學(xué)生質(zhì)疑、反思、批判、反駁。“說理”不僅能讓數(shù)學(xué)學(xué)科知識敞亮，更能讓學(xué)生的數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)過程敞亮。

1. 什么是“說理”

“說理”包括兩個(gè)部分內(nèi)容，即“說”和“理”。所謂“說”是指“一種表達(dá)”，包括口頭表達(dá)、書面表達(dá)，甚至包括表情、動作的表達(dá)等；所謂“理”是指“數(shù)學(xué)學(xué)科知識本質(zhì)、關(guān)聯(lián)，數(shù)學(xué)知識形成過程的推導(dǎo)、依據(jù)等”。

“說理”要立足于學(xué)生的認(rèn)知基礎(chǔ)。通過說理，不僅能讓學(xué)生掌握數(shù)學(xué)學(xué)科知識本質(zhì)、關(guān)聯(lián)，還能砥礪學(xué)生的數(shù)學(xué)思維，催生學(xué)生的數(shù)學(xué)想象。通過說理，能將“學(xué)術(shù)形態(tài)的數(shù)學(xué)”轉(zhuǎn)變?yōu)椤敖逃螒B(tài)的數(shù)學(xué)”“生命形態(tài)的數(shù)學(xué)”。比如，教學(xué)“兩、三位數(shù)乘一位數(shù)”這一部分內(nèi)容時(shí)，筆者就引導(dǎo)學(xué)生說理，讓學(xué)生根據(jù)“位值原則”將“兩、三位數(shù)”拆解開來，解讀“兩、三位數(shù)乘一位數(shù)”中的每一步計(jì)算的意義。在說理的過程中，有的學(xué)生操作小棒來說明，有的學(xué)生以生活事理來說明，有的學(xué)生畫圖來說明等。通過“說理”，讓學(xué)生明確“算理”，建構(gòu)“算法”。

2. 什么需要“說理”

在數(shù)學(xué)學(xué)科教學(xué)中強(qiáng)調(diào)“說理”，有兩個(gè)方面的考量：一是說理能夠敞亮數(shù)學(xué)學(xué)科本質(zhì)的意義，二是學(xué)生的數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)順應(yīng)說理的訴求。“說理”一方面要讓彼此理解，另一方面要讓學(xué)生接受，并能激發(fā)學(xué)生積極、能動的自主建構(gòu)、創(chuàng)造。“說理”能幫助學(xué)生創(chuàng)造一個(gè)充分的自由的思考、探究時(shí)空。“理”越辯越“明”，在數(shù)學(xué)教學(xué)中教師要引導(dǎo)學(xué)生辨析、辯論。正是在“公說公有理、婆說婆有理”的過程中，數(shù)學(xué)學(xué)科知識中的思想、方法得以澄明、敞亮。比如，在“平行四邊形的面積”這一部分內(nèi)容教學(xué)中，有的學(xué)生認(rèn)為“平行四邊形的面積等于底乘斜邊”，有的學(xué)生認(rèn)為“平行四邊形的面積等于底乘高”。基于此，筆者組織學(xué)生辯論，讓學(xué)生“說理”。通過說理，讓學(xué)生深刻地認(rèn)識到在平行四邊形的面積轉(zhuǎn)化過程中，面積本身不能發(fā)生變化。正是通過“說理”，讓學(xué)生深刻理解了“平行四邊形通過剪拼法轉(zhuǎn)化成長方形”的緣由。

二、數(shù)學(xué)教學(xué)：“說理”的問題在哪里

說理要“以理服人”，還要“以情感人”。當(dāng)前的小學(xué)數(shù)學(xué)學(xué)科教學(xué)，在“說理”教學(xué)中存在著諸多的問題：學(xué)生缺乏“說理”意識，對“理”“毫不在乎”，甚至開展“無理”學(xué)習(xí)。俗話說：“有理走遍天下，無理寸步難行。”在數(shù)學(xué)教學(xué)中，教師要警惕學(xué)生無“理”取鬧，應(yīng)當(dāng)引導(dǎo)學(xué)生“說理”，包括“說”數(shù)學(xué)知識的“發(fā)生之理”“本質(zhì)之理”“關(guān)系之理”“規(guī)定之理”等。

1. 沉默是金

在數(shù)學(xué)課堂上，部分學(xué)生在教師提出相關(guān)的數(shù)學(xué)問題時(shí)成為“沉默的大多數(shù)”，他們低著頭，害怕老師讓其說理。因?yàn)椋谡f理的過程中，學(xué)生難免會出錯。一旦學(xué)生發(fā)生了錯誤，教師往往會批評學(xué)生，長此以往，造成了學(xué)生在課堂上秉持“沉默是金”的原則，他們不愿意說理、不敢說理、不善于說理。在數(shù)學(xué)課堂上，學(xué)生常常存在著三種心理：一是“不知道”，因而“不會說”；二是“知道”，但“不想說”；三是“學(xué)生想說”，但沒有說的氛圍，甚至?xí)獾剿说某靶Γ蚨鴮W(xué)生“不能說”。

比如，一名教師教學(xué)“求一個(gè)數(shù)的幾分之幾”這一部分內(nèi)容時(shí)，在追問學(xué)生“單位‘1的量是哪一個(gè)數(shù)量”“單位‘1的量是已知還是未知”等相關(guān)問題時(shí)，遭遇到學(xué)生的“冷場”，整個(gè)課堂“鴉雀無聲”，如同“死水一潭”。在這樣的課堂中，學(xué)生無法積極主動地“說理”。長期的沉默導(dǎo)致學(xué)生缺少一種學(xué)習(xí)主體意識和主人翁精神。在任何情況下，沉默都不能給學(xué)生的數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)帶來任何進(jìn)步。在數(shù)學(xué)課堂上，沉默不是一種美德。

2. 我說你聽

長期以來，在數(shù)學(xué)課堂上教師往往秉持“傳道授業(yè)解惑”的理念，對學(xué)生“耳提面命”，導(dǎo)致學(xué)生養(yǎng)成“你說我聽”的數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)習(xí)慣。教師習(xí)慣于做學(xué)生的“代言人”，學(xué)生習(xí)慣于“信人”而不是“信理”，導(dǎo)致學(xué)生缺乏“說理”的意識，缺乏“說理”的能力，更談不上“說理”的品質(zhì)。其實(shí)，在數(shù)學(xué)教學(xué)中，教師應(yīng)引導(dǎo)學(xué)生秉持亞里士多德的“吾愛吾師，吾更愛真理”的理念，讓學(xué)生崇尚知識、崇尚真理。如此，學(xué)生就會“不唯書”“不唯師”“不唯上”，而“唯實(shí)”“唯理”；如此，學(xué)生就會積極“說理”，對話、研討、辯論等就會成為學(xué)生數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)的常態(tài)。比如，教學(xué)“三角形的面積”時(shí)，有的教師在教學(xué)過程中“滔滔不絕”地講述，致使學(xué)生失去了表達(dá)的欲望、說理的興趣和積極性。筆者在教學(xué)中，充分放手讓學(xué)生自主探究，讓學(xué)生在自主思考、探究的過程中積累相關(guān)的說理經(jīng)驗(yàn)，形成一種表達(dá)的愿望，積極主動地將三角形和推理后的圖形面積（如長方形面積、平行四邊形的面積等）進(jìn)行比較，從而自主建構(gòu)三角形的面積公式。在這個(gè)過程中，“理”成為學(xué)生數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)的重要支撐。

3. 想說不說

部分學(xué)生“說理”意識的淡薄，導(dǎo)致其“說理”能力差：部分學(xué)生在數(shù)學(xué)課堂上“想說卻不會說”，或者表達(dá)結(jié)結(jié)巴巴，或者表達(dá)吞吞吐吐，或者表達(dá)不著邊際等。凡此種種，都是學(xué)生不會說理、不善于說理的表現(xiàn)。比如，在教學(xué)“圓錐的體積”這一部分內(nèi)容時(shí)，部分學(xué)生在表達(dá)的過程中往往會遺漏“除以3”，或者會遺漏“圓柱和圓錐等底等高”這樣的前提，從而導(dǎo)致學(xué)生的思維不嚴(yán)謹(jǐn)。提升學(xué)生的說理能力，培育學(xué)生的說理素養(yǎng)，教師要引導(dǎo)學(xué)生把握數(shù)學(xué)學(xué)科知識的本源、本質(zhì)、關(guān)系等。比如在“圓錐的體積”等相關(guān)內(nèi)容的說理過程中，教師要引導(dǎo)學(xué)生的說理表達(dá)走向嚴(yán)謹(jǐn)、嚴(yán)密、嚴(yán)格。通過說理，能讓學(xué)生感受、體驗(yàn)到數(shù)學(xué)學(xué)科知識的特質(zhì)，領(lǐng)悟到數(shù)學(xué)學(xué)科知識的魅力，善于說理、樂于說理等。

教師引導(dǎo)學(xué)生“說理”，要讓學(xué)生克服“偶像崇拜”的思想、認(rèn)識和習(xí)慣，要讓學(xué)生破除對相關(guān)社會權(quán)威意見的盲從，要培育學(xué)生獨(dú)立思考、獨(dú)立表達(dá)的素養(yǎng)。在數(shù)學(xué)課堂上，學(xué)生是獨(dú)立、自由的主體，要讓學(xué)生享有表達(dá)意見、建議的權(quán)利。對于學(xué)生的數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)來說，需要有“英雄莫問出處”和“真理莫問出處”的理念。

三、數(shù)學(xué)教學(xué)：如何開展說理教育

“說理”是學(xué)生基本的數(shù)學(xué)素養(yǎng)。在小學(xué)數(shù)學(xué)學(xué)科教學(xué)中，教師要有意識地培育學(xué)生的說理意識，提升學(xué)生的說理能力，優(yōu)化學(xué)生的說理品質(zhì)，提升學(xué)生的說理質(zhì)量。因此，教師要有意識地開展說理教育。在數(shù)學(xué)學(xué)科中，“理”往往潛藏其中，隱而不彰，說理就是要將蘊(yùn)藏在數(shù)學(xué)學(xué)科知識中的“理”彰顯出來。教學(xué)中，教師要引導(dǎo)學(xué)生積極地尋找說理的依據(jù)、證據(jù)，引導(dǎo)學(xué)生學(xué)會說理，強(qiáng)化學(xué)生說理論證過程的教學(xué)，引導(dǎo)學(xué)生既可以“由因?qū)Ч保部梢浴皥?zhí)果索因”。

1. 轉(zhuǎn)變觀念：我們都一樣

數(shù)學(xué)教學(xué)不應(yīng)當(dāng)是教師“喋喋不休”的過程，也不是一個(gè)教師“用威懾力強(qiáng)制、壓服的過程”。“說理”的前提是民主、平等。教師要讓學(xué)生的數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)過程成為教師、學(xué)生相互傾聽、相互成就的過程。教師的教學(xué)不是單向度的“灌輸”，而是雙向度的對話與交流。教師要轉(zhuǎn)變觀念，將學(xué)生看成平等中的“你”，進(jìn)行“我與你”的互動、交流。

比如教學(xué)“角的認(rèn)識”這一部分內(nèi)容時(shí)，筆者從學(xué)生的生活經(jīng)驗(yàn)出發(fā)，引導(dǎo)學(xué)生從“生活角”的認(rèn)知提升到“數(shù)學(xué)角”的認(rèn)知。

筆者用多媒體呈現(xiàn)生活中的物體表面的角，引導(dǎo)學(xué)生先從實(shí)物圖上找角、比畫角、抽象出角，然后引導(dǎo)說理（哪些是角），讓學(xué)生自主建構(gòu)、概括出“角的特征”。

筆者借助于多媒體呈現(xiàn)桌角、墻角，并指出這些“生活角”不是“數(shù)學(xué)角”。有個(gè)學(xué)生說，物體有一個(gè)尖尖的頂點(diǎn)，還有兩條射線，就是直直的邊，所以是角。正是在師生對話、交往、互動中，學(xué)生逐步建構(gòu)起了“角”的概念。

在數(shù)學(xué)教學(xué)中，學(xué)生的數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)不是“自說自話”，也不是教師的耐心勸導(dǎo)，而應(yīng)當(dāng)是一種對話、爭鳴的過程。民主、平等是引導(dǎo)學(xué)生說理的前提條件。在引導(dǎo)學(xué)生說理的過程中，教師要讓學(xué)生樹立這樣的觀點(diǎn)：我們都一樣。這樣，能讓學(xué)生在說理的過程中不盲從，敢于挑戰(zhàn)權(quán)威，不再成為一個(gè)的中規(guī)中矩、溫馴畏縮、易于操縱的“機(jī)器人”。

2. 培養(yǎng)能力：我們不一樣

教師引導(dǎo)學(xué)生“說理”，不僅要培養(yǎng)學(xué)生的“說理意識”，更要提升學(xué)生的“說理能力”；要讓學(xué)生直面“理”、考量“理”、審視“理”，讓“理”成為驅(qū)動學(xué)生數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)的動力引擎；要讓“說理”伴隨學(xué)生數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)的始終，讓“說理”能綻放學(xué)生的數(shù)學(xué)思維之美、認(rèn)知之美、學(xué)習(xí)之美等。

“說理”要突出“證據(jù)”，強(qiáng)化論證過程，引導(dǎo)學(xué)生樹立“證據(jù)意識”，提升學(xué)生的“論證能力”；要將“因?yàn)椤浴薄耙蟆枰阎钡茸鳛橐环N思維、認(rèn)知、學(xué)習(xí)的常態(tài)；既要引導(dǎo)學(xué)生“由因?qū)Ч保惨龑?dǎo)學(xué)生“執(zhí)果索因”。在這個(gè)過程中，教師要鼓勵學(xué)生體現(xiàn)說理的獨(dú)特性、創(chuàng)造性。

比如在教學(xué)“2、5的倍數(shù)的數(shù)”這一部分內(nèi)容時(shí)，有的教師僅僅通過百數(shù)表，引導(dǎo)學(xué)生觀察“2、5的倍數(shù)特征”。正確的方式是教師應(yīng)引導(dǎo)學(xué)生積極主動地追問：“為什么2、5的倍數(shù)的特征只需要看個(gè)位？”在這個(gè)過程中，教師引導(dǎo)學(xué)生將一個(gè)數(shù)分成兩個(gè)部分：其中整十?dāng)?shù)一定是2、5的倍數(shù)，個(gè)位上的數(shù)不一定是2、5的倍數(shù)。因此，判定一個(gè)數(shù)是否是2、5的倍數(shù)，關(guān)鍵是看個(gè)位上的數(shù)。通過這樣的追問，學(xué)生借助“說理”，不僅“知其然”，更“知其所以然”。

3. 擴(kuò)展視野：我們還一樣

引導(dǎo)學(xué)生說理，教師要讓學(xué)生將“理”放置到一個(gè)自由研討的時(shí)空中，讓學(xué)生彼此的“理”相互碰撞，從而讓學(xué)生的數(shù)學(xué)視域走向融合。教師在引導(dǎo)學(xué)生說理的過程中，要消除部分學(xué)生那種“事不關(guān)己、高高掛起”的態(tài)度，要讓學(xué)生積極主動地互動、交流“理”，賦予學(xué)生說理的時(shí)空和權(quán)利，讓學(xué)生敢于說理、善于說理、樂于說理。說理不僅是學(xué)生的言語表達(dá)，更是學(xué)生的思維表達(dá)。比如教學(xué)“9加幾”這部分內(nèi)容時(shí)，筆者讓學(xué)生用各種方法探究，形成了多樣化的算法。在此基礎(chǔ)上，筆者引導(dǎo)學(xué)生互動交流算法，讓學(xué)生充分地說理、比較。通過“說理”，學(xué)生對多樣化的算法進(jìn)行優(yōu)化，從而建構(gòu)、創(chuàng)造了“湊十法”的計(jì)算模型。在多樣化的算法研討過程中，“湊十法”逐漸成為一種主導(dǎo)性的算法，進(jìn)而讓學(xué)生的數(shù)學(xué)視界走向了融合。在引導(dǎo)學(xué)生“說理”的過程中，教師不僅要引導(dǎo)學(xué)生完整地陳述自己的操作過程、思維過程、推理過程，更要讓學(xué)生的語言表述有條理、有順序、有方向、有根據(jù)。

要讓學(xué)生“有理”地說，教師必須“有理”地教。引導(dǎo)學(xué)生“說理”，首先要讓學(xué)生有“理”可說，其次要讓學(xué)生有“理”要說。教師要豐富學(xué)生的說理資源、素材，優(yōu)化學(xué)生的說理方式，激發(fā)學(xué)生的說理興趣，調(diào)動學(xué)生說理的積極性，讓學(xué)生說得坦誠、說得科學(xué)、說得合理。在說理的過程中，教師要關(guān)注學(xué)生的個(gè)體差異，讓學(xué)生的說理更有方向性、針對性、實(shí)效性。通過說理，引導(dǎo)學(xué)生的數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)生命逐步地生長，從而讓學(xué)生的數(shù)學(xué)素養(yǎng)得到有效提升。