借題發揮,促進深度教學
——教材例習題拓展的思考

廣東省佛山市高明區第一中學(528500) 王順耿

福建省閩南師范大學數學與統計學院(363000) 賴俊聰

教材中的例習題是教育專家精挑細選,又經過反復錘煉的典型問題,有著重要的教學價值.“源于教材、高于教材”是高考命題中遵循的一個重要原則,高考試題中總有教材例習題的影子.深度教學是基于知識的內在結構,幫助學生在學習中深入理解和掌握所學內容,培養學生提出問題、分析問題和解決問題的能力,提升數學核心素養,克服學生對知識的表層學習,對知識的簡單占有.因此,日常教學中,教師應該直擊教材本源,借題發揮,加強對教材例習題的研究和反思、拓展和升華,去促進深度教學.

如何去挖掘教材例習題的價值呢? 本文從問題本身的內容和結構出發,探究教材例習題拓展的路徑,促進學生深度學習.

1 教材例習題拓展路徑

一個數學問題由問題條件和問題結論兩部分構成,問題條件中,存在很多基本構件、以及連接構件顯性或隱形的關系和關聯.元件,是在同類裝置中可以互換使用的零件,為小型機器、儀器的組成部分,它的重要特性是能在同類裝置中互換使用.基于元件這一特性,本文借用“元件”概念來闡述數學問題的構成和拓展,將數學問題隱喻為機器,條件和結論中的基本構件看作機器的元件.

解題教學中,將數學問題條件和結論中的基本構件作為數學問題的“元件”,通過對數學原題的元件以及元件間相互關系的拆與組,分與合、轉與換,用已知或潛在的數學關系、基本原理作為“支架”,構造出一種相關的新的數學對象、數學形式,推陳出新形成元件重組的數學新題進行數學解題教學,可以使學生認清題目的骨架和構件、遷移和轉化,鍛煉學生分析和解剖數學試題,提升解題能力,培養學生思維能力,尤其是對創造性思維能力開發有其獨特作用.

數學問題的深度挖掘,可以從問題條件和問題結論兩個方面思考.首先,改變問題條件,可從元件域、元件型、元件聯和元件語四個方向著手: 其中,①元件域是指問題條件中“元件”的變化區域,可以是反映數量關系的“元件”的變化范圍,如線段、字母、角度等大小的量化限定,也可以是反映空間形式的“元件”,如點、線、面在空間中的位置變化限定和位置關系;②元件型是指問題條件中“元件”的類型,如線段、三角形、方程、函數等;③元件聯是指問題條件中各“元件”之間或顯或隱的結構關聯和邏輯關聯、以及空間形式的位置關聯,如兩角互補、兩數之積為常數、直線與圓相切等;④元件語是指數學語義轉換,如知識情景轉換或數學語言表達的轉換(文字語言、符號語言和幾何語言間的轉換),將問題中的“元件”信息合理地轉換成另一種等價的“元件”信息,使題意更易理解,讓問題的已知條件“元件”和結論“元件”走得更近一些,或使結論“元件”更適合已知條件“元件”,以利于問題解決.其次,改變問題結論,可從目標象、目標層和目標呈三個方向著手: 其中,⑤目標象是指問題結論的目標對象,如求解對象為三角形面積、函數的最值、數列通項等;⑥目標層是指問題結論的設問層次,增加設問層次可以增加檢測點,使設問多向化或為了降低難度使設問梯度化,減少設問層次作用相反;⑦目標呈是指問題結論的呈現方式,可以根據需要對問題結論改頭換面,以新的設問形式來呈現問題,設問方式包括證明、計算、判斷、論述、設計等形式.

數學例習題的拓展路徑,可以通過改變數學問題條件和結論中的七個形式中任何一個形式、兩個或兩個以上形式組合的綜合方式,得到不同的數學新題.

2 教材例習題拓展例示

下面選取教材中的一道例題,根據上述的拓展路徑來體會具體操作,限于篇幅部分簡單的新題略去求解或證明過程.

普通高中教科書《數學》(2019 年人教A 版) 必修第一冊5.5.2 節,P227 例題10:如圖1,在扇形OPQ中,半徑OP=1,圓心角,C是扇形弧上的動點,矩形ABCD內接于扇形.記∠POC=α,求當角α取何值時,矩形ABCD的面積最大? 并求出這個最大面積.

圖1

分析例題,仔細梳理題中元件及元件間的關聯:

條件元件(1)半徑為1 的扇形,(2)圓心角(3)矩形ABCD內接于扇形,(4)∠POC=α;

元件關聯(1)矩形ABCD內接于扇形,且一邊AB在半徑OP上,(2)隱性關聯: 矩形的面積=長×寬;

求解結論矩形ABCD的面積的最大值.

本例題求解難點是矩形ABCD的面積函數模型的構建和模型化簡求解,下面依前文提出的拓展路徑對例題進行挖掘:

2.1 變元件域

創編意圖講解例題前,為輔助例題解答,先做鋪墊,設置具體角度,這樣更易過渡到例題的一般性.具體解答過程略去.

新題1[1]如圖1,在扇形OPQ中,半徑OP=1,圓心角C是扇形弧上的動點,矩形ABCD內接于扇形.記∠POC=α,求當角α取何值時(用θ表示),矩形ABCD的面積最大? 并求出這個最大面積.

解在RtΔOBC中,OB=cosα,BC=sinα;在RtΔOAD中,

設矩形ABCD的面積為S,則

創編意圖: 將問題變成開放性、探究性問題,與例題比較,得出問題一般性規律: 當角α為∠POQ=θ一半時,即C為中點時,矩形ABCD的面積取得最大值.引導學生看透問題本質,提升了對例題的認識,促進學生深度學習.

2.2 變元件型

將例題條件元件(1)改為等邊三角形,或將元件(3)改為正方形,可得新題.

新題2如圖2,在等邊ΔOPQ中,OP=1,C是PQ上的動點,矩形ABCD內接于等邊ΔOPQ.記∠POC=α,求當角α取何值時,矩形ABCD的面積最大.

圖2

解法1如圖2,在ΔOPC中,由正弦定理得

創編意圖線段OC由定到變,深度增加;解法一依照教材方法建立了矩形的面積模型,模型復雜難解,而解法二間接設參,解答簡易快捷;讓學生體會元件型的改變會引起解決方法的改變,要因變而變;同時得到與新題1[1]同樣的規律: 當角α為∠POQ一半時,即C為中點時,矩形ABCD的面積取得最大值.

新題2[1]如圖1,在扇形OPQ中,半徑OP=1,圓心角C是扇形弧上的動點,矩形ABCD內接于扇形.記∠POC=α,求當tanα取何值時,矩形ABCD為正方形,并求出這個正方形的面積.

創編意圖使學生體會正方形時面積不一定為最大,消除定勢思維.

2.3 變元件聯

將元件關聯(1)矩形ABCD位置改變,或將長方形改為圓,面積關聯改為圓的面積公式,可得新題.

新題3如圖3,在扇形OPQ中,半徑OP=1,圓心角C是扇形弧上的動點,矩形ABCD內接于扇形.記∠POC=α,求當角α取何值時,矩形ABCD的面積最大? 并求出這個最大面積.

圖3

創編意圖由于對稱性,讓學生體會矩形ABCD一邊在OP邊上和在OQ邊上不會影響結果;同時體會條件結構變了,解法也應改變,不要簡單照抄教材思路,因變而變則不難.

2.4 變目標象

改變原題中的求解目標,將矩形ABCD的面積問題改為矩形ABCD的周長問題,可得一新題.

創編意圖改變求解目標,從不同視角加深對原題的進一步認識,開闊了學生對問題研究的思路.

2.5 變目標層

添加設問層次,使求解問題梯度化,降低了問題的難度,同時也增添了檢測點.

新題5如圖1,在扇形OPQ中,半徑OP=1,圓心角,C是扇形弧上的動點,矩形ABCD內接于扇形.記∠POC=α,求

(1)AB、BC的長;

(2)求矩形ABCD的面積S(α)關于α的解析式;

(3)當角α取何值時,矩形ABCD的面積最大? 并求出這個最大面積.

創編意圖為了降低題目求解難度,搭建腳手架,問題設置層層相扣,使問題梯度化.具體解答過程略去.

2.6 變目標呈

將求解目標改頭換面,以新的設問形式來呈現問題.

圖4

創編意圖將例題創編為開放性問題,加大問題解決的難度,增添了探究的樂趣.

以上展示的是單一改編,實際課堂教學中,更多情況下需要的是復合改編,即通過改變兩種或兩種以上形式而得到創編題.譬如通過改變例題元件(1)和元件(3)以及求解結論,可以得到另一情景下的新題7.

新題7如圖5,等邊ΔOPQ中,OP=1,在ΔOPQ內作第1 個正方形A1B1C1D1,再在等邊ΔD1C1Q內作第2個正方形A2B2C2D2,…如此下去,判斷這些正方形邊長有什么規律,求第n個正方形AnBnCnDn的邊長,并求所有所作正方形的面積和Sn,并證明.

圖5

3 教材例習題拓展要求

改編例習題容易,但創編例習題要適合學情、促進學生深度學習、提升學生數學核心素養就不易,需要考慮多方面要求.

首先,選題要突破重難點.教材例習題的拓展,不是題題都深掘、課課都開展;要依據教學目標,突出教學的中心任務,圍繞教學重難點展開,通過對例習題的探研,讓學生能夠突破重難點,提升解決此類問題的能力,不應“為改編而改編”.其次,選題要典型有價值.圍著知識重難點,選取的例習題要典型,要有創編的價值,不能隨意拿來一道例習題就按照前文提供的路徑進行創編;要挑選一些在知識網絡上承上啟下的、能體現知識網點的“題根”類例習題進行深度挖掘,達到“研一題、得一法、會一類”的學習效果.第三,創編難易要切合學情.創編一串問題,要以學生的學習情況和水平層次來衡量,要貼近學生最近發展區,以學生為中心,新題在內容、方法、難度、情境等方面適合學生實際需求.第四,新題內容要科學嚴謹.創編后的新題不能偏離課標和課本而產生偏題、怪題;不會出現常識性、科學性錯誤;同時表述要簡潔易懂,情境要接軌現實情況、合符情理;新題要有利于學生知識生長.

同時,教師要積極轉變解題教學思路,重視和用好手邊的教學資源,克服“題海戰術”,根據學情選擇例習題進行適當的創編,激發學生對數學的探究熱情,促進學生深度思考.

另外,不同課型、不同階段習題創編挖掘應該求變存異.常規課堂教學要根據教學內容和需要,選擇有價值的典型例習題,借題發揮做好教學設計對例習題進行拓展開發;高一、高二的單元綜合復習課或高三的二輪復習階段,可以選擇一個主題,圍繞主題選擇一道例習題,或者是一道典型有價值的高考題和模擬題,對其精心設計深度挖掘,開展“一題一課”解題教學,這樣教學效果更佳、對學生解題能力培養成效更顯著.