一維隨機游走模型的兩類問題

湖北省鄂南高級中學(437000) 阮效輝

湖北省赤壁市第一中學(437300) 柏世豪

每一位數學教師都應該對“概率與統計”有屬于自己的完整理解,并且在教學實踐中逐步提升,不斷修正,從而促使教學水平持續發展.在研究概率與數列遞推問題時,筆者借助高等數學的概率研究將之與一維隨機游走模型結合,從兩類隨機游走模型出發,結合例題進行分析求解,探究數學模型下的解題方法.

1 無限制隨機游走

數軸上一質點,它的位置只能位于整數點處,在時刻t=0 時,位于點x=i(i ∈N+),下一個時刻,它將以概率α或β(α ＞0,β ＞0,α+β=1)向左或向右平移一個單位,用Xk=n代表經過k個時刻后該點位置到達n,質點到達位置n有兩種方式: ①從n+1 左移1 個單位;②從n-1 右移1 個單位,那么由全概率公式可得

記質點到達位置n的概率為Pn,P(Xk=n|Xk-1=n-1)=β,P(Xk=n|Xk-1=n+1)=α,則Pn=αPn+1+βPn-1.

例1有n個編號分別為1,2,···,n的盒子,第1 個盒子中有2 個白球1 個黑球,其余盒子中均為1 個白球1 個黑球,現從第1 個盒子中任取一球放入第2 個盒子,再從第2 個盒子中任取一球放入第3 個盒子,以此類推,從第n個盒子中取到白球的概率是____.

分析第n個盒子取到白球的概率受第n-1 個盒子取球結果的影響.

解記事件An表示從第n個盒子里取出白球,則

變形若該質點向左移動一個單位的概率為α,向右移動一個單位的概率為β,原地不動的概率為γ(α ＞0,β ＞0,γ ＞0,α+β+γ=1),該質點到達位置n有三種方式: ①從n+1 左移1 個單位;②從n-1 右移1 個單位;③在n原地不動,那么由全概率公式可得:

記該點到達位置n的概率為Pn,P(Xk=n|Xk-1=n-1)=β,P(Xk=n|Xk-1=n+1)=α,P(Xk=n|Xk-1=n)=γ,則Pn=αPn+1+βPn-1+γPn.

例2馬爾可夫鏈是因俄國數學家安德烈·馬爾可夫得名,其過程具備“無記憶”的性質,即第n+1 次狀態的概率分布只跟第n次的狀態有關,與第n-1,n-2,n-3,···次狀態是“沒有任何關系的”.現有甲、乙兩個盒子,盒子中都有大小、形狀、質地相同的2 個紅球和1 個黑球.從兩個盒子中各任取一個球交換,重復進行n(n ∈N*)次操作后,記甲盒子中黑球個數為Xn,甲盒中恰有1 個黑球的概率為an,恰有2 個黑球的概率為bn.

(1)求數列{an}的通項公式;(2)求Xn的期望.

解析(1)由全概率公式可知:

(2)由全概率公式可得:

2 兩端帶吸收壁的隨機游走

假定質點在時刻t=0 時位于x=n,下一個時刻,它將以概率α或β(α ＞0,β ＞0,α+β=1)向左或向右平移一個單位,而在x=0 及x=a+b處各有一個吸收壁,我們來求質點在x=0 處被吸收或在x=a+b處被吸收的概率.

若以Pn記質點的初始位置為n而最終在x=a+b處被吸收的概率,顯然P0=0,Pa+b=1,這里研究的是最終被吸收的概率,考慮的時候向后考慮.

如果某時刻質點位于x=n(1 ≤n≤a+b-1),則它最終在x=a+b處被吸收,有兩種方式實現: ①接下去一次移動是向右的而最終在x=a+b處被吸收;②接下去一次移動是向左的而最終在x=a+b處被吸收,按全概率公式有:Pn=αPn-1+βPn+1,n=1,2,···,a+b-1[1].

變形若該質點向左移動一個單位的概率為α,向右移動一個單位的概率為β,原地不動的概率γ(α ＞0,β ＞0,γ ＞0,α+β+γ=1),如果某時刻質點位于x=n(1 ≤n≤a+b-1),則它最終在x=a+b處被吸收,有三種方式實現: ①接下去一次移動是向右的而最終在x=a+b處被吸收;②接下去一次移動是向左的而最終在x=a+b處被吸收;③接下去一次移動是原地不動的而最終在x=a+b處被吸收.按全概率公式有:Pn=αPn-1+βPn+1+γPn,n=1,2,···,a+b-1.

2019 年全國一卷高考壓軸題是一個兩端帶吸收壁的隨機游走模型.在這個題中pi表示: 甲藥的累計得分為i分時,最終認為甲藥比乙藥更有效的概率.題干中直接給出了pi=api-1+bpi+cpi+1,但實際上這個遞推關系可以直接推出,因為當前得分為i分時,下一輪得分有3 種情況: ①扣一分得分變為i-1 分;②不扣分仍為i分;③加一分得分變為i+1 分,即pi=api-1+bpi+cpi+1.

下面我們再看一個例題:

例3甲、乙兩人進行象棋比賽,賽前每人發3 枚籌碼.一局后負的一方,需將自己的一枚籌碼給對方;若平局,雙方的籌碼不動,當一方無籌碼時,比賽結束,另一方最終獲勝.由以往兩人的比賽結果可知,在一局中甲勝的概率為0.3,乙勝的概率為0.2.若Pi(i=0,1,···,6)表示“在甲所得籌碼為i枚時,最終甲獲勝的概率”,則P0=0,P6=1.證明:{Pi+1-Pi}(i=0,1,2,···,5)為等比數列.

分析Pi(i=0,1,···,6)表示“在甲所得籌碼為i枚時,最終甲獲勝的概率”,在i=0 或6 時,游戲就會停止,這仍是兩端帶吸收壁的隨機游走,故向后考慮.

3 結束語

對于隨機游走的問題,要分清是屬于哪一類問題,若是無限制的隨機游走,設問一般是求質點運動到位置n的概率,這種就向前考慮;若是兩端帶吸收壁的隨機游走,設問一般是求質點初始位置為n但最終被吸收的概率,這種就向后考慮.