以核心素養為導向的高中數學試題命制的實踐與思考
——以一道以“隱圓”為背景的解三角形多選題的命制為例

廣東省佛山市第一中學(528000) 王彩鳳

數學學科核心素養包括數學抽象、邏輯推理、數學建模、直觀想象、數學運算和數據分析,是思維品質、關鍵能力以及情感、態度與價值觀的綜合體現,是在數學的學習和應用過程中逐步形成和發展的[1].為發展學生的核心素養,教師需要引導學生去理解數學知識的本質,提高應用意識,而不是讓學生機械地背誦知識和解題方法.高質量的試題會具有較強的導向性,所以,數學試題的命制應以核心素養為導向,關注數學的本質,考查學生的能力和核心素養.筆者在參加“命題·評題·品題”比賽中,命制了一道以“隱圓”為背景的解三角形多選題,命題過程印象深刻,獲益匪淺.本文以此題的命制為例,談談以核心素養為導向的高中數學試題命制的步驟與策略.

1 命題構思

1.1 明確要求

解三角形與“隱圓”知識之間存在密切聯系,命制的解三角形多選題以“隱圓”為背景,圍繞三角形的邊、角、面積等元素設計問題,題干力求簡潔,考查正弦定理、余弦定理、基本不等式、平面向量、圓等相關知識.試題的求解突出強調學生對三角形和圓的基礎知識、基本方法的深入理解和靈活應用,難度為中檔偏難.

1.2 命題立意

依據新課程標準的要求,數學試題的考查內容不僅要聚焦學生對重要數學概念、定理、方法、思想的理解和應用,還應適度增加試題的思維量,發揮人才選拔功能[1].以“隱圓”為背景的解三角形多選題的命制,注重考查學生綜合應用知識的能力,要求學生能突破原有思維的禁錮,挖掘題目中變與不變的量,創新性地解決問題.試題考查了轉化與化歸、函數與方程等數學思想方法,考查了學生的直觀想象能力、邏輯推理能力、運算求解能力、創新能力等關鍵能力,考查了直觀想象、邏輯推理、數學運算等核心素養,體現基礎性、綜合性和創新性的考查要求.

2 試題的命制過程

2.1 設計思路

以“隱圓”為背景的解三角形試題的命制,擬以多三角形組合的模型作為研究的載體,圍繞三角形的邊、角、面積等元素設計題目條件和問題.解答者既可以利用正弦定理解三角形,也可以借助題目中定長、定角條件構造輔助圓,創新性地解決問題.

2.2 選材研究

根據設計思路,筆者重點研究了2020 年新高考數學全國II 卷第17 題,并以此題為基礎進行創作.

原題(2020 年新高考數學全國II 卷第17 題)ΔABC中,sin2A-sin2B-sin2C=sinBsinC,(1)求A;(2)若BC=3,求ΔABC周長的最大值.

圖1

解法1、2 是常規的解題思路,解法3 在解答題中應用雖然不夠嚴謹,但其關注到邊角之間存在的聯系,根據定角構造輔助圓這一做法,若能應用于選擇題或者填空題,則可極大降低運算量,提高思維量,又可考查學生的空間想象能力、創新解決問題的能力.受此題啟發,筆者以“隱圓”為背景,命制了一道解三角形多選題.

2.3 聯系與搭架

2.3.1 確定三角形模型

命題初步設想,基于“爪型”三角形模型,通過設定合適的邊角條件,構造輔助圓,探求三角形中角度、邊長與面積的最值問題.如圖2,“爪型”三角形之“中線模型”,可以構造以D為圓心,以AB為直徑的圓;如圖3,“爪型”三角形之“角平分線模型”,可以分別構造ΔACD和ΔBCD的外接圓;如圖4,“爪型”三角形之“高模型”,可以構造ΔACD的外接圓.

圖2

圖3

圖4

在以上“爪型”三角形模型中,均可以“隱圓”為背景設計問題.但這些設想已經有很多現成的題目,筆者想在此基礎上進一步創新命題,選擇了圖5 的多三角形模型作為命題的基礎模型.

圖5

2.3.2 問題的確定

題干設計為: 如圖5,ΔABC中,AB=,點D,E為AB的兩個三等分點.

圖6

圖7

圖8

圖9

從A 到D 選項,試題設計簡潔新穎,呈現出入口寬、起點低、坡度緩、尾巴翹的特點,方法多且具有明顯的層次性,體現“多思少算”的命題理念,既考查了學生的基礎知識、基本思想方法,又考查了學生的空間想象能力、邏輯推理能力和創新解決問題的能力.

2.3.3 確定成題

多選題如圖10,ΔABC中,AB=,點D,E為AB的兩個三等分點.以下說法中正確的是( ).

圖10

參考答案A,B,D.

2.4 解答分析

2.4.1 思路分析

對于A 選項,可用代數法,利用余弦定理和方程思想求出AC,BC之間的關系式,再代入

由此判斷ΔABC為鈍角三角形.也可用幾何法,觀察圖形發現CD=DE=DB,則點C在以D為圓心,以BE為直徑的圓上運動(不與B,E重合),從圖中可以直觀地看出∠ACB為鈍角.

對于C 選項,利用正弦定理將邊化為角,將BC長度的最值轉化為三角函數的最值問題;也可以像B 選項的解法3一樣,根據定角∠ACD構造ΔACD的外接圓,則點C為優弧上的動點,當C在BO的延長線上時,此時BC的長度最大.

對于D 選項,第一種解法是分別在ΔCED和ΔACD中應用正弦定理,通過共同邊CD建立方程求解;第二種解法是根據面積等量關系=2 建立方程求解;第三種解法是根據ΔABC的對稱性建立平面直角坐標系,求出ΔACD和ΔBCE的外接圓方程,聯立兩圓方程求出點C的坐標,再應用數量積公式求解cos ∠DCE.

2.4.2 解法呈現

對于A 選項,設∠A,∠B,∠ACB所對的邊分別為a,b,c,有以下兩種解法.

圖11

圖12

圖13

對于D 選項,有以下三種解法.

圖14

圖15

故D 正確.

3 試題的評價分析

解三角形多選題的命制,立足于高考試題,以“隱圓”為背景,以數學學科核心素養為導向,考查了正弦定理、余弦定理、基本不等式、平面向量、圓等基礎知識,難度中檔偏難,對學生的綜合能力要求較高.本題在解題方法上具有多樣性,鼓勵思維創新,引導學生在解三角形時,要關注的首先是幾何的關系,然后才是函數與代數的關系[2],要求學生能以整體的視角審視問題,抓住問題本質,遷移思想方法,創造性地解決問題.本題考查了轉化與化歸、數形結合、函數與方程等數學思想方法,有助于提升學生的直觀想象、邏輯推理、數學運算和數學建模素養(見表1).

表1 數學學科核心素養的表現及其級別

4 命題反思

4.1 立足基礎,素養導向

試題的命制需要立足基礎,依據《普通高中數學課程標準(2017 年版)》所規定的內容和要求,以核心素養為導向,創建合理的問題情境,設計的問題不僅要考慮知識點的覆蓋面、題目的難度,也要考慮切合教學實際、符合學生的學習和生活實際.同時,問題的解決應具備入口寬、起點低、坡度緩、尾巴翹的特點,允許多角度解決問題,鼓勵思維創新[3],考查學生的基礎知識、基本技能、基本思想方法和基本活動經驗,培養學生良好的數學思維品質,提升學生的數學核心素養.

4.2 深度研究,創新命題

試題的命制還需要在反套路、反機械刷題上下功夫,所以命題時還需要深入研究相關的知識,盡量選用新背景、新材料,或者融合知識點,創設新的問題情境,巧妙設問.對于一些經典題型,可以對其進行改造、升華或者使用新的設問方式等,變成一道新穎的題型.命題要注重引導學生去理解數學知識的本質,提高學生的知識遷移能力、邏輯推理能力和創新能力.

4.3 反思自身,提升能力

研究命題是教師的一項重要工作,不僅能加深教師自己對所教知識的理解,同時也可以為課堂教學提供服務.要命制好一道題,并不容易,教師必須要認真研讀《普通高中數學課程標準(2017 版)》的要求,研究教材、研究教法、了解學情,明確知識和能力的考核點.同時,教師在教學或者解題的過程中,要收集積累對自己有用的素材,不斷充實完善自己的理論知識庫,提升研究能力,才能更好地命制出科學的、有創造性的、有針對性的試題,進而以題來引領教學,切實提高課堂教學質量.