核心素養視角下高考函數試題的統計與分析
——以2018-2020 年全國I 卷和2021-2023 年新高考I 卷為例

湖南省株洲市湖南工業大學(412007) 張茜茜 王建云 馮梓涵

1 問題提出

《普通高中數學課程標準(2017 年版2020 年修訂)》指出數學學科核心素養是數學課程目標的集中體現,是具有數學基本特征的思維品質、關鍵能力以及情感、態度與價值觀的綜合體現,是在數學學習和應用的過程中逐步形成和發展的[1].如何處理好數學學科核心素養與知識技能之間的關系,完成高中階段數學課程以學生發展為本、落實立德樹人的根本任務,培育學生的科學精神和創新精神是教育工作者普遍關注的問題.函數板塊作為貫穿高中數學必修課程、選修課程的重要組成部分[2],是高考的重要命題對象,也是大學學習高等數學、線性代數、常微分方程等課程的知識基礎.通過對高考試卷中函數板塊試題的深入探究,采用定性與定量相結合的方式,依據函數對應的知識和技能要求以及其在高考試卷中的出題情況,分析函數板塊對數學核心素養的考察情況、試題難度以及區分度三者之間的關系,可以啟發教材中函數相關內容的設計、為函數板塊的教學與復習提供新方向、為高考命題者命制出更具選拔效果和高考特點的題目提供新思路.

2 研究方法

2.1 研究對象的確定

2021 年教育部考試中心開始使用新高考卷,所以新高考卷對于當前高考命題趨勢的研究極具價值.而新高考I 卷使用地區廣于新高考II 卷[3],所以,選取2021-2023 年的新高考I 卷作為2021-2023 年高考試卷的代表.其次,由于使用全國I 卷的省份大多位于東部地區,教育資源較為豐富,競爭也相對激烈,所以試卷選拔性質相對較強,故選用2018-2020 年全國I 卷的理科卷和文科卷作為2018-2020 年高考試卷的代表,具體如表1 所示.

表1 2018-2020 全國I 卷與2021-2023 新高考I 卷函數板塊試題

2.2 研究方法的確定

為探究六大核心素養考察力度和函數板塊相關知識技能考察強度之間的關系,明確近年來高考在函數板塊的命題趨勢、高考選才對學生不同數學核心素養的要求層次,本文采用定性與定量相結合的方式,對函數板塊試題難度、區分度、數學核心素養考察水平三方面分別建模與分析,并進一步挖掘這三者之間的潛在聯系,模型架構如圖1 所示.

圖1 模型架構

在試題難度方面,國內外眾多學者進行了大量研究,其中鮑建生從探究、背景、運算、推理和知識含量五個維度來衡量試題難度具有很強的借鑒價值.雖然武小鵬等人在此基礎上設計的改進模型包含了探究、背景、運算、推理、有無參數、認知水平、思維方向這七個因素,對試題分析更加具體化,但更加適用于綜合類試題的分析.由于本文主要統計的是函數板塊試題的特征,在這類試題中含參是比較普遍的,用鮑建生的五因素模型反而更具有說服力.且一份試卷中各知識點對應試題的分值也反映了該知識點的考察力度.因此,本文以鮑建生綜合難度模型[4]為基礎,將試題分值因素也考慮進去,來確定試題難度指標.在試題區分度方面,參照試題難度指標模型建立的思路,先計算單個試題難度,再用方差來衡量難度梯度.在核心素養考察水平方面,針對各數學核心素養建模計算其在各年份中的考察水平,以此來比較六大核心素養近年來的考察趨勢,及在函數板塊該核心素養考察水平和題目難度、區分度間的關系.根據喻平提出的六個數學核心素養三級水平理論框架[5],該模型的建立需滿足某組題目分值越高,涉及到的某數學核心素養要求的知識掌握水平越高,該核心素養在對應題組中的考察水平越高這一特點.下面將對計算模型進行具體說明.

(1)試題難度指標計算模型

對一份高考試卷中函數板塊涉及的n道題目進行編號.si(i=1,2,···,n)表示第i道題的分值.按照鮑建生的綜合難度模型中對“探究”、“背景”、“運算”、“推理”和“知識含量”這五個因素的水平劃分(如表2 所示).將每道題的五個難度因素分別按照等級由低到高的自然數進行賦值[4].用dj(j=1,2,···,5)分別依次表示這份試卷函數板塊試題在五個因素上的難度值;dij(i=1,2,···,n;j=1,2,3,···,5)表示第i道題目在第j個因素上的難度水平賦值(例如:d23=3 表示這份試卷函數板塊第2 題的運算要求是簡單符號運算)(i=1,2,···,n;j=1,2,···,5),其中為這份試卷中函數板塊試題總分值.

表2 綜合難度因素的水平劃分

假設一份試卷(下面稱其為樣卷) 經過上述計算后得到d1,d2,d3,d4,d5的值分別為15,25,28,42,19,如圖2 所示,則樣卷函數板塊的綜合難度指標為圖2 中陰影部分的面積,其計算表達式為[6](d1d2+d2d3+d3d4+d4d5+d5d1)≈1583.65.本文中取sin 72° ≈0.95.

圖2 樣卷綜合難度雷達圖

(2)試題區分度指標計算模型

(3)數學核心素養考察水平計算模型

用f1,f2,f3,f4,f5,f6分別表示函數板塊試題的數學抽象、邏輯推理、數學運算、直觀想象、數學建模、數據分析這六大數學核心素養的考察水平.通過對調查對象中涉及的試題進行分析,為試題涉及的每個素養對應的知識理解、知識遷移、知識創新這三個水平分別賦值為1、3、7.則數學核心素養考察水平計算公式為(i=1,2,···,n;j=1,2,···,6),fij表示函數板塊第i道題對應的第j個數學核心素養的知識考察水平,其值為該素養對應水平的賦值,即為0,1,3,7 中的一個.

3 研究結果

3.1 近六年高考函數試題難度與區分度分析

對2018-2020 年全國I 卷與2021-2023 年新高考I 卷共九套試卷對應的函數試題分別利用難度指標模型和區分度指標模型計算其難度和區分度,然后對數據計算結果進行歸一化處理,結果如表3 所示,為便于觀察數據特點,采用堆積柱狀圖呈現(如圖3).

圖3 近六年高考函數試題難度與區分度

表3 近六年高考函數試題難度與區分度歸一化結果

在難度因素方面,首先,2023 年之前的高考函數試題的難度主要體現在探究程度,運算量,推理難度,知識含量四個部分,2023 年新高考I 卷中開始出現了有一定實際背景的函數試題.這可能是未來函數試題命題方向的一個重要信號,即更加注重數學和其他科學以及現實價值的融合.其次,函數試題對探究性要求最高的是2019 年全國I 卷文科卷,最低的是2018 年全國I 卷文科卷.其他年份對于探究能力的要求相差不大,因為2019 年相較其它年份而言,函數試題具有一定的非結構化特征.例如,2019 年全國I 卷文科卷第20 題第(2)問求參數范圍,相比于其他年份證明某個確定結論,就更具有開放性和思想性.再次,函數試題對運算和推理的要求在多數年份都較高,在2022 年和2023 年新高考I 卷上表現得尤為明顯,這說明函數試題在學生運算和推理能力方面具有很強的測試效果.而在知識含量上,每年考察情況各有差異,說明高考不是僅僅注重知識量的積累,而是更加注重綜合考察和對學生的綜合素養的培養.最后,對比試題綜合難度和區分度,可以發現并非試題綜合難度越大,區分度就越高.

3.2 近六年高考函數試題核心素養考察水平分析

利用2.5 節中的模型對2018-2020 全國I 卷與2021-2023新高考I 卷在六大核心素養方面的考察水平進行計算,并采用堆積條形圖呈現(如圖4).

圖4 近六年高考函數試題六大核心素養考察水平

從六大數學核心素養整體考察水平來看,自2020 年開始,高考函數試題對數學核心素養的整體考察水平有明顯的逐年上升趨勢.從單個數學核心素養考察水平來看,高考函數試題對數學核心素養的考察集中體現在對學生邏輯推理、數學運算和直觀想象三種素養的考察上,并且均有考察力度加大的趨勢.在對學生數學抽象和數學建模素養的考察方面要求相對較低,但這并不意味著函數試題無法考察學生這兩方面的素養,因為2023 年的第22 題第(2)問考察的知識點比較多,其中也不乏對函數相關知識的考察,這道試題的綜合性比較強,對學生數學抽象和數學建模素養的要求也能夠很好地體現出來,當然,這也需要考生將試題前半部分要求的邏輯推理內容完成后,實現抽象數學問題的具體化,才能進行最后函數模型的構建和求最值的過程.而在數據分析素養的考察方面,函數試題體現的較少,主要體現在選擇題中函數值大小的比較上.這類試題需要考生首先直觀分析數據特征,再結合相應函數圖像特點,甚至構造函數來比較大小,需要和其他素養結合考察.此外,高中知識的四大主線分別是函數、幾何與代數、統計與概率、數學建?；顒优c數學探究活動,數據分析主要在統計與概率這一知識板塊進行考察,這和知識本身的特點密切相關.

3.3 近六年高考函數試題核心素養考察水平、難度與區分度的比較

在對高考函數試題區分度、難度、六大核心素養考查水平分別分析后,利用SPSS 對這三者進行相關性分析,得到的相關系數矩陣如表4 所示.

表4 綜合難度、區分度與數學核心素養考察水平相關系數矩陣

由表4 可知,函數試題難度與邏輯推理、數學建模素養考察水平呈現顯著正相關,相關系數分別為0.648,0.667.函數試題區分度和直觀想象、數據分析考察水平呈現顯著負相關,相關系數分別為-0.611,-0.767.邏輯推理考察水平和數學建模、數據分析考察水平呈現顯著正相關,相關系數分別為0.618,0.71.數學運算考察水平和數學建模考察水平呈現顯著正相關,相關系數為0.697.其中,邏輯推理、數學運算、直觀現象、數學建模常常在函數試題中組合考察,所以他們之間存在兩兩間的顯著相關和對題目進行定性分析時的預期是非常相符的.但是,數據分析考察水平在定性數據定量化階段實際賦值水平并不高,在函數板塊考察力度也不大,所以邏輯推理和數據分析的相關性是由少數題目引起的,在統計學上這類樣本數據常被稱為異常值,不具備足夠說服力.

4 結論與啟示

4.1 教材編寫應知情合一

根據對試題難度和區分度的統計與分析,可以發現高考對數學文化和數學背景的考察越來越重視.在2023 年新高考I 卷中,對函數板塊試題的考察就出現了科學情境.由此引發了情境對數學教學作用的思考: 在不同的教學階段,情境起到的作用、設置情境的主要目的是不同的;在初學階段,情境一方面是為吸引學生閱讀興趣,另一方面促進學生對函數概念的理解和建構;在練習階段,情境主要檢驗學生對知識的理解,鍛煉學生閱讀能力,以及初步的數學模型感知力;在復習深化階段,情境的主要意義在于讓學生感知數學知識的實際應用并學習用數學知識解決實際問題,培養學生創造能力和創新意識.因此,情境需要具備一定的探究性,而教材作為教師教學的重要參考,教材函數相關章節的編寫中增加一些函數應用性和探究性情境是非常有必要的,讓數學知識、數學文化和科學背景形成深度結合,真正實現知情合一,培養學生在情境中挖掘信息的能力,這也是目前數學抽象和數學建模素養考察的重點.

4.2 函數教學需靈活多變

通過3.1 和3.2 節的統計分析,發現采用非結構化試題可以增加函數試題的探究性;而且,高考作為高中數學教學的重要指導,不僅僅是對知識量的考察,也越來越注重綜合素養的考察,這對函數教學提出了更高的要求.由此引發以下關于函數教學的思考: 首先,函數概念具有一定抽象性,在函數教學中需要重視學生對函數概念的建構,促進學生數學抽象素養的培養.那么,在引導學生理解對應法則這一抽象概念時,教師的教學切入點則可以盡可能多維化,從集合對應角度,從函數圖像角度,從初高中函數概念對比角度,不斷深化學生對這個抽象感念的感知.其次,在高考函數試題的考察中,試題呈現方式和需要的解題思路越來越具有探究性和綜合性,尤其是在多選題和解答題的考查上.所以,教學過程需要教師重視選擇具有足夠探究性、應用性的問題,培養學生思維的靈活性.善于采用探究性教學和問題式教學,結合更具有開放性的問題,帶動學生挖掘函數的代數性質和幾何性質,重視知識的生成過程,幫助學生認識函數知識及其應用的靈活多變性.

4.3 函數復習要融合貫通

通過對高考函數試題的統計分析,還發現高考函數試題對學生邏輯推理、數學運算和直觀想象三種素養具有很強的考察作用,對數學抽象和數學建模素養的考查常常會在綜合性試題中進行.這就要求教師在引導學生進行函數復習時,既要注重函數知識基礎,也要融合貫通.例如,在函數復習過程中,教師可以采用具有層次遞進性的系列題目,促進學生對函數相關概念、性質和圖形本質的理解,多歸納思想方法,注重學生對函數問題本質和共性的總結.此外,為培養學生的數學運算、邏輯推理、直觀想象素養,在復習過程中,教師需要關注學生對于技巧的積累和推理方向靈活性的掌握.最后,當學生對于函數知識體系本身已經有比較好的掌握后,則需要教師多借助綜合性問題,幫助學生在多個知識模塊之間搭建起知識網絡,促進學生在已有圖式上建構新圖式,因為高考命題逐漸開始進行多模塊知識的結合,讓學生學會將函數作為工具來解決問題,而不僅僅停留在解決函數問題的層面,比較明顯的例如2021 年新高考I 卷第10 題,2023 年新高考I 卷第23 題.

4.4 高考命題當常變常新

高考指引教學方向,教學也為高考命題提供新思路.結合函數知識本身特點,以及前文對近六年高考函數試題難度、區分度和綜合素養考察情況的統計和分析,對高考函數試題的命題有以下幾點建議: (1)繼續增強函數試題情境性和現實性,融入數學文化和數學背景;(2)堅持打破知識壁壘這一命題指導思想,尤其壓軸題的考察,可以將幾何、函數、代數知識點有機結合,重視對學生數學抽象和數學建模能力的考察,如此來增強教學過程教師對這方面素養的重視;(3)進一步增強試題探究性,深化學生對于數學應用性的理解,增強高考選才和高校人才培養的聯結;(4)函數考察重點目前雖然仍在數學運算和邏輯推理素養上,但在命題角度上,高考函數的命題不再僅僅是陳述性知識的記憶和程序性知識的機械操作,而是更加注重思想方法和性質的靈活運用上,未來高考命題延續這一思路對高考更好地服務于選才育才都是很有必要的.