指導學生錄制數學講題微課的思考與實踐

廣東省廣州市真光中學(510380) 蘇國東

1 問題提出

“學習金字塔”理論指出,學生不同的學習方式所達到的學習效果不同,以“能夠將所學內容教授他人”的效果為最佳(學習內容平均留存率達到90%).對數學學科學習而言,學生講題是一種有效的教授他人的學習方式,學生對他人講授問題,不僅要對講授內容作出獨立思考,同時還要將內容轉化為讓他人理解的表達方式,在這過程中也提升了學生潛在智能的發展.

與教師講題不同,學生講題重在將問題的解法講述清楚.在實際教學中,部分教師采取了在課堂上讓學生直接上臺講題的方式,但礙于學生準備不充分、臨場發揮不一、時間限制等原因,學生往往只能平鋪直敘或輕描淡寫,未能突出解題的重難點,缺乏小結的點睛之筆,講題效果大打折扣.此外,臺下學生雖然看似專注聆聽,但未必能跟上講題的節奏,課后也無法再次重溫所學.

為解決上述問題,筆者嘗試將學生現場講題改為學生錄制講題微課的形式,原因有四點.一是能給予學生充分的思考和準備時間,發揮學習主體性,鍛煉講題能力;二是微課制作方便,大多數學生具有手機電腦等設備條件,在合適的時間和地點就可以錄制;三是支持學生個性化學習,當學生遇到同類問題時, 可以隨時播放相應的微課, 通過暫停、回放,學習和記錄重難點;四是通過相互觀看微課,能夠有效促進師生、生生之間的學習交流.

2 微課錄制的實施與成效

以最近一輪的微課錄制實踐為例,筆者指導了兩個九年級教學班共70 余名學生在寒假期間開展了講題微課錄制活動.

在錄制微課之前,筆者先給學生做好思想動員: 通過講題既能加深對所學知識的理解和應用,又能提高邏輯思維能力和數學語言表達能力,每人錄制一個微課,就可以獲得70多個學習他人微課的機會,于己于彼都是一種交流提升;其次,告知學生對微課內容的要求: 自行選題,一個微課講清一個問題,教會一類方法即可,無需面面俱到,微課時長一般控制在3-10 分鐘,時間過短無法突出重點、講透思路方法,時間過長則顯得啰嗦拖沓,觀眾難以保持注意力;第三,教會學生簡單的微課錄制方法: 先熟悉所講內容,列出講題框架,借助ppt 制作講題課件,再使用手機或電腦錄屏軟件進行錄制,還可利用剪輯軟件進行簡單剪輯.讓學生體會到錄制微課的操作并不復雜,但要制作出優秀的微課作品,則要在選題、講解和錄制上下足功夫,從思想和行動上引起高度重視.

學生初期制作的微課難免存在一些問題,例如多數微課是順著課件直接讀出解題過程,語言平淡,缺少引導和小結;有的微課因為選題過于簡單,時長只有1 分鐘左右,缺乏講題的必要.在教師的及時指導下,后續的微課質量逐步提升,不少微課能選擇典型問題,講解中增加啟發式的設問和引導,結尾對解題方法或知識要點作出小結;也有個別微課采用紙筆手寫、手機錄像的方式來講解壓軸問題,代替了制作課件的繁瑣,手寫過程也更能引起觀眾共鳴;更有部分微課采用模擬對話的形式,在所講問題的前后增設引例或變式題,形成一個個的微專題教學,學生的創意和動手能力實在讓人驚嘆.

這一輪活動下來,每個學生基本都參與了微課錄制,有的學生還一連錄制了三個,最終形成了115 個微課作品,筆者將這些微課上傳到共享平臺, 供兩個班的同學觀看學習.后續經師生投票又評選出36 個優秀作品,筆者選取了個別微課在開學后的復習課上進行播放,部分微課留給學生課后觀看,鞏固復習效果.錄制講題微課極大地激發了全體學生學習的積極性,增強了學生學習數學的自信心,不少學生還會利用課間時間在班級電腦上觀看微課,相互研討提高,數學學習氛圍日趨濃厚.

3 講題微課的流程與類型

綜合分析學生的優秀微課作品,可以發現其講題流程一般包括三個基本環節.如圖1,一是提出問題環節,呈現微課的主旨問題或思考;二是解決問題環節,將大問題分解為若干小問題,或多個同類問題采用同種解法,或對一個問題給出多種解法等;三是小結方法環節,對解題用到的知識、方法或策略進行小結提煉,或引申出更多的思考.也有根據講解內容的特點,在解題過程中以題點知,適時歸納方法,或采用先介紹知識方法,再進入具體情境解決問題的方式.

圖1

根據學生講題內容指向的不同,可將講題微課大致分為問題講解、知識梳理、綜合壓軸、拓展應用等四種類型.

3.1 問題講解類

問題講解類微課,是以一道或幾道典型問題為載體,分析解題思路,講解解題過程,歸納總結解題方法的微課.近期課堂教學或作業中的例題或習題, 是學生講題的首選素材,這也是學生對剛習得的知識最直接的應用與轉化.

例如,人教版數學九年級上冊教材第87 頁的例4 是圓與角平分線結合的典型問題,運用到圓的有關性質、勾股定理、構造輔助線等方法解題,不少學生在學習之后對此題的解法頗有體會,紛紛錄制出講題微課.以其中的微課“圓與角的平分線”為例,視頻時長4 分10 秒,學生呈現了兩種不同的解法,并小結得出解決此類問題的常用策略.

(1)呈現例題

如圖2,⊙O的直徑AB長為10,弦AC長為6,∠ACB的平分線交⊙O于點D,求CD的長.

圖2

(2)解決問題

解法1 如圖3,連接AD,DB.因為AB是⊙O的直徑AB,所以∠ADB= ∠ACB= 90°,CB= 8.把?ADC繞點D順時針旋轉90°得到?BDC′,則∠CDC′=∠ADB=90°,∠CAD= ∠DBC′,BC′=AC= 6,DC=DC′.因為∠CAD+∠CBD= 180°,所以∠DBC′+∠CBD= 180°,C,B,C′三點共線.所以CC′=CB+BC′=14.在等腰直角?CDC′中,

圖3

解法2 如圖4, 作AN⊥CD于點N, 作BM⊥CD于點M, 連接AD,DB.因為AB是⊙O的直徑AB, 所以∠ADB= ∠ACB= 90°,CB= 8.因為CD是∠ACB的平分線, 所以AD=BD, ∠ACD= ∠BCD= 45°,?ACN和?CMB是等腰直角三角形.由勾股定理得易證?AND?DMB, 所以

圖4

(3)方法小結

①旋轉(構造等腰三角形)?等線段共頂點; ②構造三垂直全等?轉換線段.

(4)解題策略

①關注弧、弦、圓心角、圓周角的轉換; ②善于利用特殊模型,構造輔助線,利用旋轉轉移角度和線段; ③靈活運用直徑所對的圓周角等于90°、圓內接四邊形、旋轉等性質.

3.2 知識梳理類

知識梳理類微課,是在一定的學習階段結束時,通過問題或情境回顧,對零散的知識進行歸納梳理,增強知識間聯系的微課.能幫助學習者完善知識和方法系統,提升綜合運用相關知識解決問題的能力.

以學生錄制的微課“二次函數之abc 問題”為例,視頻時長3 分47 秒,在學習完二次函數的圖象與性質后,學生通過以題點知的方式, 在解題過程中回顧梳理了二次函數的系數、圖象與性質之間的關系,最后小結解題的步驟與方法.

(1)呈現例題

已知二次函數y=ax2+bx+c的圖象如圖5 所示,對稱軸是直線x=1,則下列結論中正確的有____(填寫正確的序號).

圖5

①abc> 0; ②方程ax2+bx+c= 0 的兩個根是x1=-1,x2=3; ③2a+b=0; ④當x>0 時,y隨x的增大而減小.

(2)以題點知

二次函數開口方向反映a的符號, 本題函數開口向下,所以a<0;對稱軸的位置反映a與b符號的異同,本題對稱軸在y軸右側,所以a與b符號相反,b>0;二次函數與y軸的交點位置反映c的符號,本題函數與y軸的交點在y軸的正半軸,所以c>0,故abc<0, ①錯誤.

方程ax2+bx+c=0 的根即是二次函數y=ax2+bx+c與x軸交點橫坐標的值.因為二次函數的對稱軸是直線x= 1,與x軸的一個交點為(3,0),根據對稱性可得其與x軸的另一個交點為(-1,0),所以方程ax2+bx+c=0 的兩根是x1=-1,x2=3,故②正確.

因為二次函數開口向下,所以在對稱軸右側,即當x>1時才有y隨x的增大而減小,而當0

(3)方法小結

①認真審題; ②有圖象的看圖象, 沒圖象的要畫出草圖; ③從題目和圖象中提取出已知條件; ④根據拋物線系數與圖象性質的關系, 逐個選項計算和判斷.

3.3 綜合壓軸類

數學壓軸題具有綜合性強、解法靈活等特征,考查學生對知識定理和方法技巧的掌握程度,以及分析和解決問題的綜合能力.優等生對錄制綜合壓軸題微課頗感興趣,而且對講法的設計做到精益求精,學生通過錄制微課,既增強了解決難題的自信心,又激發了不懈的探索鉆研精神.

以學生錄制的微課“韋達定理在定值問題中的應用”為例,視頻時長8 分鐘,學生從引例到例題,由淺入深地講述了定值壓軸題的解答過程,最后小結利用韋達定理解題的方法.

(1)呈現引例

如圖6,若函數y=x2-6x+9 與y=x-1 交于A,B兩點,過點A作AC⊥x軸,過點B作BD⊥x軸,求OC+OD與OC·OD的值.

圖6

分析 設A(x1,y1),B(x2,y2).由得x2-7x+10=0,所以x1=2,y1=1,x2=5,y2=4,即A(2,1),B(5,4).

因為OC+OD=x1+x2,所以OC+OD= 7,同理OC·OD=x1x2= 10.由此發現,本題不必具體求出兩根,只需利用韋達定理得出兩根之和與兩根之積,即可代入求解.

(2)呈現例題

如圖7,拋物線y= (x-2)2.直線y=kx+3k交拋物線于點A,B,交x軸于點P,AC⊥x軸于點C,BD⊥x軸于點D,求PC·PD的值.

圖7

分析 設C(x1,y1),D(x2,y2), 則OC=x1,OD=x2.因為直線y=kx+ 3k過點P(-3,0), 所以PC=3 +x1,PD= 3 +x2,PC·PD= (3+x1)(3+x2) =x1x2+3(x1+x2)+9.由得x2-(k+4)x+(4-3k)=0,所以x1+x2=k+4,x1x2=4-3k,所以PM·PN=4-3k+3(k+4)+9=25.

本題通過化簡得知PC·PD可以用含有兩根和與積的式子表示,故利用韋達定理即可代入解題.

(3)方法小結

韋達定理反映的是兩根之和與兩根之積的形式.在解決有關問題時,有時可以不直接求出兩根,而是找到式子中對應的幾何意義或實際意義,借助韋達定理間接解決相關數量或長度之間的運算求值問題.

3.4 拓展應用類

拓展應用類問題,要求學生基于已有的知識和能力儲備,在新情境或新問法下,調用新方法或新工具創造性地解決問題.通過錄制拓展應用類微課,能開拓學生的知識視野,培養思維的靈活性和敏捷性,更能鍛煉學生的自學自研能力,以點帶面促進全體學生的數學學習.

以學生錄制的微課“同底等周長的三角形中等腰三角形面積最大”為例,視頻時長3 分52 秒,學生根據命題條件畫出圖形,轉化為用數學語言表示并給出證明思路,小結環節更采用了設問的形式,激發學習者對問題進一步思考探究.

(1)呈現命題

在同底邊并且周長相等的三角形中,等腰三角形的面積最大.

(2)數學表示

根據命題條件,以AB為公共底邊,在同側畫出一個等腰?ABC和任意一個非等腰?ABD.則可以將命題表示為: 如圖8,已知?ABC中,AC=BC,?ABD與?ABC的周長相等,求證S?ABC>S?ABD.

圖8

(3)證明命題

如圖9, 過點C作l//AB, 延長AC到點B1, 使得CB1=CB, 則有∠1 = ∠CAB= ∠CBA= ∠2.連接BB1,B1D, 則l是線段B1B的垂直平分線.因為?ABD與?ABC的周長相等, 即AC+BC=AD+DB, 所以B1D+AD>AB1=AC+CB1=AC+CB=AD+BD,因此B1D>BD.因為點D和點B在l的同一側,點D到AB的距離小于點C到AB的距離,所以S?ABD

圖9

(4)小結思考

解決這個問題的過程中用到了哪些數學知識和數學思想方法? 你還能提出相關的變式問題嗎?

4 結束語

學生錄制數學講題微課的教學實踐,不僅克服了傳統講題方式的局限性, 有效提升了學生的數學素養和創新能力,更為學生搭建了一個自我展示與學習交流的重要平臺.展望未來,我們將持續深入探索和完善學生錄制講題微課的教學方式,引導學生更注重解題思路和方法的規范表達,以使講題的形式和內容更加豐富多彩.同時,我們將引入更為先進的教育技術手段,使學生能夠更便捷地進行微課創作和分享,催生出更多高質量的作品資源.進而有力推動師生數學學習共同體的形成與發展,為數學教育的改革與創新注入新的活力.