基于代理模型的輸電塔半剛性節(jié)點彎矩-轉(zhuǎn)角曲線預(yù)測方法

劉泉 李正良 彭思思 王濤

doi：10.11835/j.issn.1000.582X.2024.04.007

收稿日期：2023-06-18

基金項目：國家自然科學(xué)基金國際（地區(qū)）合作與交流項目（51611140123）；國家重點研發(fā)計劃項目（2017YFC0703901， 2018YFC0809406）；重慶市博士后研究項目特別資助（2022CQBSHBT3009）。

Supported by International （Regional） Cooperation and Exchange Program of the National Natural Science Foundation of China （51611140123）， National Key R&D Plan Project （2017YFC0703901， 2018YFC0809406） and Special Support of Chongqing Postdoctoral Research Project （2022CQBSHBT3009）.

作者簡介：劉泉（1984—），男，高級工程師，碩士，主要從事特高壓工程設(shè)計工作，（E-mail）41853374@qq.com。

通信作者：王濤（1992—），男，博士（后），（E-mail）taowang@alu.cqu.edu.cn。

摘要：為了準(zhǔn)確、高效地評估輸電塔半剛性節(jié)點的力學(xué)特性，提出了一種基于代理模型的輸電塔半剛性節(jié)點彎矩-轉(zhuǎn)角曲線預(yù)測方法，通過引入代理模型方法近似半剛性節(jié)點幾何尺寸與極限抗彎承載力、初始轉(zhuǎn)動剛度之間的函數(shù)關(guān)系，建立具有較高精度的預(yù)測模型，進而結(jié)合Kish-Chen冪函數(shù)模型擬合輸電塔半剛性節(jié)點的彎矩-轉(zhuǎn)角曲線。結(jié)果表明，提出的基于代理模型的輸電塔半剛性節(jié)點彎矩-轉(zhuǎn)角曲線預(yù)測方法能減少實驗和數(shù)值模擬的成本，較好地模擬輸電塔半剛性節(jié)點實際受力-變形情況，為輸電塔半剛性節(jié)點的工程設(shè)計和理論研究提供了參考。

關(guān)鍵詞：代理模型；輸電塔；半剛性節(jié)點；彎矩-轉(zhuǎn)角曲線

中圖分類號：TM754????????? 文獻標(biāo)志碼：A????? ? 文章編號：1000-582X（2024）04-086-08

A surrogate model-based prediction method of moment-rotation curve of semi-rigid joints in transmission towers

LIU Quan1， LI Zhengliang2， PENG Sisi2， WANG Tao2，3

（1. State Grid Economic and Technological Research Institute Co.， Ltd.， Beijing 102209， P. R. China; 2. School of Civil Engineering， Chongqing University， Chongqing 400045， P. R. China; 3. School of Transportation Science and Engineering， Harbin Institute of Technology， Harbin 150090， P. R. China）

Abstract： In order to accurately and efficiently evaluate the mechanical properties of semi-rigid joints in transmission towers， a method based on surrogate model is proposed to predict the moment-rotation relationship of the semi-rigid joints. By introducing the surrogate model method to approximate the functional relationship between the geometric dimensions， ultimate flexural capacity， and initial rotational stiffness of semi-rigid joints，?? a prediction model with high accuracy is established. Furthermore， the moment-rotation curves of semi-rigid joints in transmission towers are fitted using the Kish-Chen power function model. The results show that the proposed surrogate model-based prediction method for moment-rotation curves of semi-rigid joints can reduce the cost of experiments and numerical simulations， while accruately approximating the actual force-deformation relationship of semi-rigid joints in transmission towers. This method also provides valuable insights for the engineering design and theoretical research of semi-rigid joints in transmission towers.

Keywords： surrogate model; transmission towers; semi-rigid joints; moment-rotation curves

近年來，特高壓輸電線路在我國得到了迅速發(fā)展[1]。作為電網(wǎng)工程中的重要基礎(chǔ)設(shè)施，輸電塔結(jié)構(gòu)中各構(gòu)件通過節(jié)點相互連接，由連接節(jié)點實現(xiàn)桿件之間的傳力。輸電塔節(jié)點既可以傳遞部分彎矩，也會產(chǎn)生一定的相對轉(zhuǎn)角，是介于鉸接與剛接之間的半剛性連接，受其構(gòu)造影響，輸電塔半剛性節(jié)點的力學(xué)性能表現(xiàn)出明顯的非線性特征。輸電塔節(jié)點的破壞往往會導(dǎo)致相連桿件的失效甚至整個結(jié)構(gòu)的破壞，因此，節(jié)點的安全可靠對于整個輸電塔結(jié)構(gòu)至關(guān)重要。近年來，許多學(xué)者通過理論分析[2]、實驗研究[3]和數(shù)值模擬[4?5]等方法對不同類型的輸電塔連接節(jié)點展開了研究，其主要內(nèi)容為：對節(jié)點極限承載力的研究以及對節(jié)點彎矩-轉(zhuǎn)角（M-θ）曲線關(guān)系的研究。在輸電塔節(jié)點的極限承載力方面，學(xué)者們對不同類型節(jié)點的實際極限承載力值進行測量[4?5]，并推導(dǎo)承載力理論計算公式[2，6] ，研究了影響節(jié)點極限承載力大小的因素[3]。相較于前者，關(guān)于輸電塔節(jié)點彎矩-轉(zhuǎn)角曲線關(guān)系的研究尚在起步階段，李正良等[6]對特高壓角鋼輸電塔K形半剛性連接節(jié)點進行了足尺試驗，考察節(jié)點的彎矩-轉(zhuǎn)角曲線關(guān)系；在試驗的基礎(chǔ)上，焦安亮等[7]推導(dǎo)了輸電塔半剛性節(jié)點彎矩-轉(zhuǎn)角曲線的理論計算公式；王開源[8]通過建立精細化的角鋼塔節(jié)點有限元模型，獲取了節(jié)點對角鋼的彎矩-轉(zhuǎn)角曲線。總體而言，現(xiàn)有的輸電塔半剛性節(jié)點彎矩-轉(zhuǎn)角曲線的相關(guān)研究往往通過昂貴的實驗或耗時的數(shù)值模擬等方法獲取[2，6]，存在實驗成本高、模擬耗時久、計算效率低等不足。

鑒于此，文中提出了一種基于代理模型的輸電塔半剛性節(jié)點彎矩-轉(zhuǎn)角曲線預(yù)測方法，即采用代理模型方法擬合節(jié)點幾何尺寸與極限抗彎承載力、初始轉(zhuǎn)動剛度之間的函數(shù)關(guān)系，并結(jié)合Kish-Chen冪函數(shù)模型擬合輸電塔半剛性節(jié)點的彎矩-轉(zhuǎn)角曲線。

1 代理模型方法及模型精度評價指標(biāo)

1.1 代理模型方法

代理模型方法通過獲取少量樣本點及其響應(yīng)，構(gòu)建輸入輸出系統(tǒng)的近似映射關(guān)系，可用于替代復(fù)雜工程結(jié)構(gòu)的響應(yīng)分析計算過程，能夠大幅降低計算消耗。目前，常見的代理模型方法有多項式響應(yīng)面 （Polynomial response surface， PRS）模型、徑向基函數(shù) （Radial basis function， RBF）模型、克里金 （Kriging）模型、支持向量回歸 （Support vector regression， SVR）模型、響應(yīng)面（Response surface method， RSM）模型等。

1.1.1 PRS模型

PRS模型[9]應(yīng)用了數(shù)學(xué)和統(tǒng)計學(xué)相關(guān)的理論知識，在已有的輸入輸出數(shù)據(jù)基礎(chǔ)上，通過回歸方法求出基函數(shù)中的各個多項式的權(quán)重系數(shù)，得到輸入輸出之間的近似數(shù)學(xué)表達。PRS模型的基本形式為

，? （1）

式中：d為變量的維度；m表示多項式的次數(shù)；β0， βi， βij， …， β…im表示回歸系數(shù)，一般可通過最小二乘法獲取；xi， x， x， …， xim表示輸入變量；表示輸出響應(yīng)變量；i， i1， i2， …， im表示變量具體對應(yīng)的維數(shù)。

PRS模型的優(yōu)勢在于構(gòu)造簡單，建模所需樣本少，能夠達到較好的全局近似效果，還能對系統(tǒng)各個變量進行靈敏度分析，具有較好的透明性。實際工程中應(yīng)用較為廣泛的是線性響應(yīng)面和二次響應(yīng)面模型：

，? （2）

。? （3）

式中，各物理量的含義同式（1），不再贅述。如式（2）所示，線性響應(yīng)面雖然待定系數(shù)和所需樣本較少，但不能反映函數(shù)的非線性特征；如式（3）所示，二次響應(yīng)面能夠體現(xiàn)函數(shù)的非線性特征，計算時通常采用加權(quán)最小二乘法確定系數(shù)，但對于高維非線性問題，PRS模型的局部擬合效果較差[10]。

1.1.2 RBF模型

RBF模型[11]作為一種應(yīng)用廣泛的非線性代理模型方法，具有結(jié)構(gòu)簡單、精確插值、魯棒性好等特點。RBF模型假設(shè)輸出為基函數(shù)的線性組合，采用插值方法進行逼近，通過一元函數(shù)對多變量問題進行描述[12]。對于一個樣本容量為n的訓(xùn)練樣本集合X={x1， x2， …， xn}及其響應(yīng)Y={y1， y2， …， yn}，RBF模型的一般表達式為

，? （4）

式中：λi表示權(quán)重系數(shù)，可通過求解線性插值方程組獲得； ||?||表示用于計算向量的歐氏距離的二范數(shù)；?（·）為基函數(shù)，其常用的形式包括線性函數(shù)、高斯函數(shù)、二次函數(shù)、逆二次函數(shù)、薄板樣條函數(shù)等，文中選用的二次函數(shù)為基函數(shù)為

，? （5）

式中：r表示樣本點的歐氏距離；c為實常數(shù)，文中取c=1。

式（4）中第二項表示m階的多項式回歸，其中，βj表示回歸系數(shù)，Pj（x）表示多項式且滿足如下正交條件：

。? （6）

因此，系數(shù)λ和β可通過求解下列線性方程組得到：

，? （7）

式中：為n階方陣，Φ（i， j）= ?（||xi-xj||）; P為 n×m階矩陣，P（i， j）=pj（xi）。

1.1.3 Kriging模型

Kriging模型[13]是一種基于貝葉斯數(shù)學(xué)模型的線性無偏估計模型，顯著特點在于其數(shù)學(xué)表達式中包括了線性回歸參數(shù)部分和非參數(shù)部分，即：

，? （8）

式中：G（β， x）被稱為全局近似函數(shù)，為Kriging模型的數(shù)學(xué)期望；β為回歸系數(shù)；Z（x）為一個均值為零、方差為σ2的靜態(tài)隨機過程，其協(xié)方差不等于零，可表示為

，? （9）

式中，R（xi， xj）為空間相關(guān)函數(shù)，其相關(guān)性隨著距離增大而減小，當(dāng)距離為0時，等于1；當(dāng)距離無窮大時，等于0。目前，常用的空間相關(guān)函數(shù)包括高斯函數(shù)、線性函數(shù)、指數(shù)函數(shù)等，文中采用的高斯相關(guān)函數(shù)為

，? （10）

式中：d表示設(shè)計變量的維數(shù)；xik、xjk分別為任意2個樣本xi、xj在第k個維度上的分量；θk為相關(guān)性參數(shù)；δk為光滑程度參數(shù)。

1.2 模型精度評價指標(biāo)

為評估代理模型的全局及局部近似程度，采用4種通用的精度評價指標(biāo)來衡量代理模型的精度，包括確定性系數(shù)R2、標(biāo)準(zhǔn)均方根誤差NRMSE、相對平均絕對誤差RAAE、相對最大絕對誤差RMAE，計算公式分別為

，? （11）

，? （12）

，? （13）

，? （14）

式中：N為測試樣本點數(shù)量；y（xi）是測試樣本點所對應(yīng)的函數(shù)輸出結(jié)果；ymax和ymin分別為函數(shù)最大值、最小值；是函數(shù)輸出響應(yīng)的平均值；y?（xi）為模型近似值；STD表示實際函數(shù)值的標(biāo)準(zhǔn)差。

上述模型精度指標(biāo)中，R2整體反映了代理模型的精度，當(dāng)值越接近1，模型越精確；NRMSE和RAAE為全局精度指標(biāo)，其值越小，模型精度越高；RMAE則是1個局部指標(biāo)，描述的是設(shè)計空間內(nèi)某個局部區(qū)域的誤差，故其值越小越好。

2 Kish-Chen模型

國內(nèi)外關(guān)于半剛性連接節(jié)點彎矩-轉(zhuǎn)角曲線的研究主要集中于框架結(jié)構(gòu)領(lǐng)域，學(xué)者們提出了線性模型、多項式模型、B樣條模型、冪函數(shù)模型、指數(shù)模型等擬合半剛性節(jié)點的彎矩-轉(zhuǎn)角（M-θ）曲線。其中，Kishi等[14?15]在大量實驗數(shù)據(jù)基礎(chǔ)上，對Lui等[16]、Ang等[17]建議的多參數(shù)模型進行了改進，提出了Kish-Chen三參數(shù)冪函數(shù)模型，模型因形式直觀、易于實現(xiàn)且具有明確的物理含義而頗受研究者青睞[18]，是應(yīng)用最為廣泛的半剛性節(jié)點M-θ曲線預(yù)測模型之一。

Kish-Chen冪函數(shù)模型使用初始剛度、極限彎矩承載力、形狀系數(shù)3個參數(shù)描述梁柱節(jié)點的半剛性，其數(shù)學(xué)表達式為

，? （15）

式中：Ki為初始轉(zhuǎn)動剛度；ω是曲線擬合得到的形狀系數(shù)；θ0為相對塑性轉(zhuǎn)角，可通過極限抗彎承載力Mu和初始轉(zhuǎn)動剛度Ki計算得到：

。? （16）

文中采用Kish-Chen模型擬合輸電塔半剛性節(jié)點的M-θ曲線，由式（16）可知，輸電塔半剛性節(jié)點的極限抗彎承載力Mu和初始轉(zhuǎn)動剛度Ki是建立M-θ曲線預(yù)測模型的關(guān)鍵。

3 輸電塔半剛性節(jié)點彎矩-轉(zhuǎn)角曲線預(yù)測方法

輸電塔半剛性節(jié)點的極限抗彎承載力Mu和初始轉(zhuǎn)動剛度Ki與節(jié)點的幾何尺寸密切相關(guān)，一般通過實驗測試或有限元分析計算得到。由于實驗研究成本高且資源相對有限，精細化數(shù)值模型計算較為耗時，連接節(jié)點的構(gòu)造又較為復(fù)雜，完全依賴實驗或者數(shù)值模擬對半剛性節(jié)點進行參數(shù)分析難以實現(xiàn)。因此，提出一種更加簡單易行、精度高的方法對于深入研究輸電塔半剛性節(jié)點幾何尺寸與其力學(xué)性能之間的關(guān)系具有重要現(xiàn)實意義。代理模型方法[19]是解決這類問題的有效途徑之一。為進一步降低成本、提高計算效率，文中采用代理模型方法擬合輸電塔半剛性節(jié)點幾何尺寸與極限抗彎承載力Mu、初始轉(zhuǎn)動剛度Ki之間的近似函數(shù)關(guān)系，并將預(yù)測的M?u和K?i帶入Kish-Chen模型中擬合輸電塔半剛性節(jié)點的M-θ曲線，發(fā)展了基于代理模型的輸電塔半剛性節(jié)點彎矩-轉(zhuǎn)角曲線預(yù)測方法。其步驟如下：

1） 選取輸電塔半剛性節(jié)點幾何尺寸作為設(shè)計變量，抽取n個訓(xùn)練樣本點，通過實驗或數(shù)值分析模型計算相應(yīng)的極限抗彎承載力Mu、初始轉(zhuǎn)動剛度Ki響應(yīng)值；

2） 基于已知訓(xùn)練樣本點及其響應(yīng)，分別建立輸電塔半剛性節(jié)點Mu和Ki的PRS、Kriging、RBF預(yù)測模型；

3） 選取N個測試樣本點及其響應(yīng)值，并根據(jù)式（11）～式（14）計算PRS、Kriging、RBF模型的精度；

4） 選擇當(dāng)前精度最高的預(yù)測模型，輸入某一輸電塔半剛性節(jié)點的幾何尺寸，得到相應(yīng)的輸電塔半剛性節(jié)點的極限抗彎承載力M?u和初始轉(zhuǎn)動剛度K?i；

5） 將代理模型預(yù)測結(jié)果M?u和K?i帶入式（15）～式（16）所示Kish-Chen冪函數(shù)模型，擬合輸電塔半剛性節(jié)點M-θ關(guān)系曲線。

4 算例分析

為驗證文中提出的基于代理模型的輸電塔半剛性節(jié)點彎矩-轉(zhuǎn)角曲線預(yù)測方法，以參考文獻[20]中輸電塔K形連接節(jié)點為例，構(gòu)造如圖1所示，根據(jù)文中方法計算其彎矩-轉(zhuǎn)角曲線關(guān)系。

文獻[20]中給出了此類節(jié)點參數(shù)數(shù)據(jù)，選取其中鋼材屈服強度fy=420 MPa、螺栓等級強度ng=10.9級、螺栓個數(shù)nl=4、節(jié)點板厚tj=10的41組數(shù)據(jù)，將其分為用于構(gòu)建代理模型的訓(xùn)練樣本以及用于檢驗?zāi)Ｐ途鹊臏y試樣本，分別如表1和表2所示，共涉及3個節(jié)點幾何尺寸設(shè)計變量：肢寬（b）、肢厚（t）、螺栓直徑（d）。

根據(jù)表1所示的訓(xùn)練樣本集合，分別采用PRS、Kriging、RBF 3種代理模型方法建立輸電塔半剛性節(jié)點極限抗彎承載力Mu、初始轉(zhuǎn)動剛度Ki的預(yù)測模型，并依據(jù)表2中測試樣本集合比較當(dāng)前代理模型精度。

根據(jù)式（11）～式（14）計算3種不同代理模型方法的建模精度，結(jié)果如表3所示。由表3可知，采用PRS模型方法建立的輸電塔半剛性節(jié)點極限抗彎承載力Mu預(yù)測模型的整體精度和局部精度優(yōu)于其他方法；然而，對于輸電塔半剛性節(jié)點初始轉(zhuǎn)動剛度Ki，使用RBF模型所得結(jié)果更佳，精度更高。

文中分別采用PRS和RBF模型方法建立輸電塔K形連接節(jié)點的極限抗彎承載力Mu和初始轉(zhuǎn)動剛度Ki的預(yù)測模型，進一步將計算結(jié)果帶入式（15）～式（16）所示的Kish-Chen冪函數(shù)模型，最終得到輸電塔半剛性節(jié)點的近似M-θ關(guān)系曲線，將部分節(jié)點的擬合結(jié)果與文獻[20]中有限元模擬的M-θ關(guān)系實際曲線進行比較，如圖2所示。

圖2分別為2種不同規(guī)格的輸電塔半剛性K形節(jié)點彎矩-轉(zhuǎn)角關(guān)系曲線，節(jié)點的tj =10 mm，d=20 mm，模型中形狀系數(shù)ω的取值為文獻[20]中建議的平均值。由圖2可知，文中基于代理模型以及Kish-Chen模型的預(yù)測方法擬合的輸電塔半剛性K形節(jié)點M-θ關(guān)系曲線與實際曲線整體吻合效果良好，表明文中方法具有一定的可靠性，適用于輸電塔半剛性節(jié)點的彎矩-轉(zhuǎn)角曲線計算。

5 結(jié)? 論

文中提出了一種普適的輸電塔半剛性節(jié)點彎矩-轉(zhuǎn)角關(guān)系預(yù)測方法，該方法基于代理模型建立輸電塔半剛性節(jié)點極限抗彎承載力和初始轉(zhuǎn)動剛度的預(yù)測模型，并結(jié)合Kish-Chen模型擬合輸電塔半剛性節(jié)點的彎矩-轉(zhuǎn)角曲線關(guān)系。結(jié)果表明，使用PRS和RBF代理模型方法所得輸電塔半剛性K形節(jié)點幾何尺寸與極限抗彎承載力、初始轉(zhuǎn)動剛度的預(yù)測模型精度較高，最終擬合的輸電塔半剛性節(jié)點彎矩-轉(zhuǎn)角曲線效果良好。文中方法通過引入代理模型能大幅減少計算消耗，同時能夠有效預(yù)測輸電塔半剛性連接節(jié)點的受力-變形性能，廣泛適用于各類輸電塔半剛性節(jié)點的彎矩-轉(zhuǎn)角關(guān)系計算，為輸電塔節(jié)點受力分析及設(shè)計提供了參考。

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（編輯? 陳移峰）