草履蚧綜合治理模型動力學性態分析

王靜雨 田源 勞永瀚 林佳雯 周呂佳

摘要：草履蚧在我國大部分地區都有分布， 通過吸食樹液致使樹勢衰弱， 甚至枝條枯死， 影響產量。本文在對草履蚧及其天敵大紅瓢蟲之間相互關系分析的基礎上， 首先建立了一個具有避難所效應及額外食物來源的捕食-被捕食模型， 分析了系統平衡態及極限環的存在性和穩定性。其次， 從控制草履蚧蔓延角度出發， 建立了一個具有狀態反饋的草履蚧綜合治理模型，利用后繼函數的方法證明了系統階-1周期解的存在性，并借助類似龐加萊準則給出了階-1周期解軌道漸近穩定性條件。最后，利用MATLAB對文中所取得的主要結論進行了仿真驗證。本文研究為草履蚧綜合治理提供了新的思路和方法。

關鍵詞：草履蚧；避難所效應；額外食物；Leslie-Gower模型；綜合治理

中圖分類號：O175文獻標志碼：A文獻標識碼

Dynamic analysis of a Drosicha corpulenta integrated management model

WANG? Jingyu，TIAN? Yuan*，LAO? Yonghan，LIN? Jiawen，ZHOU? Lüjia

（School of Science， Dalian Maritime University，Dalian，Liaoning 116026， China）

Abstract： Drosicha corpulenta is distributed in most areas of our country. It causes tree weakness， even branches dying， and affects yield by sucking tree SAP. In this paper， a predator-prey model with shelter effect and additional food source is established based on the relationship analysis between the Drosicha corpulenta and the Rodolia rufopilosaMuls. The existence and stability of equilibria and the limit cycle are analyzed. Secondly， from the point of view of controlling the spread of the Drosicha corpulenta， an integrated management model based on state-feedback is established. The existence of the order-1 periodic solution of the system is proved by the method of successor function， and the asymptotic stability condition of the order-1 periodic solution is given by means of Analogue Poincar criterion. Finally， the main results are verified by MATLAB simulations. The research in this paper provides a new idea and method for integrated management of Drosicha corpulenta.

Key words： Drosicha corpulenta;shelter effect;additional food;Leslie-Gower model;integrated management

在自然界中，不同生物種群以及同一種群中不同個體間相互依賴， 彼此之間形成了捕食、競爭、共生、寄生等相互作用關系。而捕食-被捕食關系作為自然界中普遍存在的生物關系，在促進生物種間能量循環和維護生態系統穩定性中發揮著十分重要的作用。因此，合理的利用生物種群之間的捕食與被捕食關系，可以達到有效控制害蟲種群數量增長的效果。

草履蚧是一種分布廣泛、危害嚴重的害蟲，其對植株生長以及人類生產生活均造成了嚴重的干擾［1］。大紅瓢蟲是草履蚧的自然天敵，對草履蚧的蔓延起到了一定的抑制作用［2］。因此，借助于捕食-被捕食關系對其進行研究，可以指導草履蚧防治過程，具有重要應用價值。針對生物種群中捕食者與食餌之間的關系，Leslie等［3］首次引入Leslie-Gower模型，自此開啟了對Leslie-Gower模型及其改進的廣泛研究［4-13］，其中Chen等［4］在Holling-I型Leslie-Gower模型基礎上引入了避難所效應，Guan等［5］在改進Holling-II型Leslie-Gower模型基礎上引入了避難所效應，Wang等［6］在Leslie-Gower模型中引入了恐懼效應，Claudio等［9］和Fang等［10］在Leslie-Gower模型中引入了Allee效應，Li等［11］和Liu等［13］ 在Leslie-Gower模型中引入了Allee和恐懼雙重效應。此外，針對害蟲綜合治理問題，Song等［14］在改進Holling-II型Leslie-Gower模型基礎上引入了周期脈沖控制，Nie等［15］在改進Holling-II型Leslie-Gower模型基礎上引入了狀態依賴反饋控制，Xu等［16］在改進比例依賴型Leslie-Gower模型基礎上引入了狀態依賴反饋控制，等等。

在長期自然進化過程中，為了躲避大紅瓢蟲的捕食，部分草履蚧及幼蟲會選擇躲避在茂密的枝葉中，進而降低被捕食的概率；另一方面，當草履蚧種群數量較少時，大紅瓢蟲也可以通過攝食其它生物來補充自身生物量。基于以上考慮，本文建立了一個具有食餌避難所效應以及捕食者額外食物來源的Leslie-Gower模型，分析額外食物數量和避難所系數對系統動力學的影響。同時在此基礎上，建立草履蚧綜合治理模型，探討反饋控制策略誘導的系統復雜動力學。

4 數值模擬

為了驗證文中所取得的主要結論，對于系統（1），主要參數取：r=1.2，s=0.4，K=100，m=0.8，n=0.4。由此可計算得β-=0.975。下面擬通過調整β，α和p的值來進行驗證。

4.1 連續動力系統數值模擬

（1） 取α=0.3<α-，此時系統（1）存在唯一的正平衡態。

1） 取β=0.2<β-。當p=0.25時，如圖4A所示，E* （67.43， 13.79）穩定（G（67.43）>0）；當p=0.5時，如圖4B所示，E*（37.25， 15.2）穩定（G（37.25）>0）；當p=0.625時，如圖4C所示，E*（24.33， 12.47）不穩定，此時系統（1）存在極限環；當p=2.5時，如圖4D所示，E*（1.1， 2.5）局部穩定，在E*（1.1，2.5）外圍存在穩定的極限環，即系統（1）存在雙穩態。

此外，G（x*）>0等價于0

2） 取β=0.98>β-。當p=0.5時，如圖5A所示，E*（69.87，35.23）局部漸近穩定。此外，由圖5B可知，G（x）>0恒成立，即對于任意的p>0，正平衡態E*均局部漸近穩定。

（2） α>α-。取β=0.5，此時有α-=3。取α=5。當p=0.2時，如圖6A所示，此時E*1（5.99，6.2）為鞍點，E*2（55.68，16.14）為穩定結點（G（55.68）>0）；當p=0.32時，如圖6B所示，E*1（10.8，8.46）為鞍點，E*2（30.87，14.88）為穩定結點（G（30.87）>0）；當p=0.34時，如圖6C所示，E*1（13.33，9.53）為鞍點，E*2（25，13.5）為不穩定結點（G（25）<0）。

4.2 綜合治理模型數值模擬

為了驗證定理4，取模型參數β=0.5，α=0.3，p=0.25。控制參數選取為：k1=0.5，k2=0.2。首先，對于xH=60％K

對于x-H

5 結論

針對草履蚧綜合治理問題，建立了一類具有避難所效應及額外食物來源的捕食-被捕食模型，分析了系統的動力學性態。研究結果表明，避難所效應和額外食物來源對系統正平衡態存在性及穩定性有一定的影響：當額外食物量較小時（即α<α-），系統肯定存在正平衡態，其局部穩定性依賴于捕食者對食餌的依賴程度p；當捕食者額外食物量較大時（即α>α-），如果選擇避難食餌比例超過一定閾值（即β≥β-），則系統不存在正平衡態；如果選擇避難的食餌比例低于某個閾值（即β<β-），則系統存在正平衡態，其數量及其穩定性依賴于p的大小（定理1， 2）。

為了防止草履蚧數量過大對環境造成危害，通過對草履蚧數量進行監測，建立了基于狀態反饋的草履蚧綜合治理模型。利用后繼函數方法討論了系統階-1周期解的存在性（定理4，圖7），并利用類龐加萊準則給出階-1周期解的穩定性（定理5，圖7）。研究結果表明，為防止草履蚧數量過大而危害生態環境，通過人為向系統中投放天敵及噴灑殺蟲劑等方式，可以將草履蚧數量有效控制在可接受水平，進而達到草履蚧綜合治理的目的和效果。

本文研究是對草履蚧綜合防治的理論探討，數值模擬僅限于驗證文中主要結論的正確性，而在實際的草履蚧防治過程中，需要結合實際情況以及統計數據來辨識模型參數以及控制參數，再結合文中主要結論來預測控制效果，進而對草履蚧綜合防治提供理論方法和參考依據。

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（責任編輯：編輯郭蕓婕）