基于損傷力學(xué)的疲勞全壽命數(shù)值預(yù)估方法

石欣桐, 楊宇, 肖迎春, 黃博, 馮威

(1.中國(guó)飛機(jī)強(qiáng)度研究所,強(qiáng)度與結(jié)構(gòu)完整性全國(guó)重點(diǎn)實(shí)驗(yàn)室, 西安 710065; 2.西北工業(yè)大學(xué)航空學(xué)院, 西安 710072)

疲勞在航空工程領(lǐng)域中是十分普遍的物理現(xiàn)象。例如,大型噴氣客機(jī)“彗星”號(hào)(Comet)由于飛機(jī)窗戶角的高應(yīng)力集中區(qū)發(fā)生疲勞裂紋而造成解體事故;飛機(jī)渦輪葉片的疲勞斷裂,引起波音747型客機(jī)在高空中發(fā)生引擎故障;以及飛機(jī)在起飛著陸時(shí)起落架因受到重復(fù)沖擊,而導(dǎo)致輪轂等關(guān)鍵結(jié)構(gòu)疲勞斷裂[1-2]。由此可見,疲勞失效問題嚴(yán)重影響航空結(jié)構(gòu)的使用安全性。以上結(jié)構(gòu)破壞的基本特征都是在循環(huán)載荷作用下,材料或結(jié)構(gòu)某點(diǎn)產(chǎn)生局部、永久性的損傷遞增,經(jīng)足夠的應(yīng)力或應(yīng)變循環(huán)后,損傷累積使得微裂紋、微孔洞或剪切帶等萌生,并逐步擴(kuò)展至結(jié)構(gòu)發(fā)生疲勞破壞[3-4]。因此,為確保結(jié)構(gòu)的安全使用,對(duì)其疲勞壽命進(jìn)行準(zhǔn)確預(yù)測(cè)具有重要的工程意義。

疲勞失效的過程一般可以分為裂紋萌生與裂紋擴(kuò)展兩個(gè)階段。目前對(duì)裂紋萌生及擴(kuò)展普遍采用不同的分析方法。對(duì)于裂紋擴(kuò)展階段,主要采用斷裂力學(xué)方法,借助多種裂紋擴(kuò)展速率理論公式來預(yù)估擴(kuò)展壽命[5];而對(duì)于裂紋萌生壽命預(yù)估,傳統(tǒng)的是依靠疲勞試驗(yàn)或采用試驗(yàn)與理論相結(jié)合的方法,這些方法需要建立在大量試驗(yàn)的基礎(chǔ)上,研究成本較高,且不能反映結(jié)構(gòu)在疲勞過程中的劣化行為。為了解決傳統(tǒng)疲勞分析方法存在的問題,越來越多的學(xué)者采用損傷力學(xué)方法來對(duì)結(jié)構(gòu)件疲勞破壞過程開展研究。損傷力學(xué)通過引入損傷變量,反映疲勞載荷作用下材料損傷的非線性累積過程,通過構(gòu)建應(yīng)力場(chǎng)與損傷場(chǎng)耦合的損傷演化方程,將載荷循環(huán)數(shù)與損傷累積聯(lián)系起來,從而可實(shí)現(xiàn)結(jié)構(gòu)疲勞壽命預(yù)估。目前,損傷力學(xué)已較為廣泛地應(yīng)用于金屬、復(fù)材、橡膠等多種材料疲勞裂紋萌生壽命預(yù)估[6-9],以及在金屬材料重復(fù)沖擊壽命預(yù)測(cè)領(lǐng)域得到應(yīng)用[10],在降低試驗(yàn)成本的同時(shí)具有較高的預(yù)測(cè)精度。

實(shí)際上,從損傷力學(xué)的觀點(diǎn)出發(fā),裂紋的萌生和擴(kuò)展本質(zhì)上都是疲勞循環(huán)載荷作用下結(jié)構(gòu)內(nèi)部損傷的不斷演化。近年來,一些學(xué)者將損傷力學(xué)與有限元法結(jié)合起來,研究建立裂紋萌生與擴(kuò)展統(tǒng)一的疲勞分析方法。借助有限元仿真,可以較為準(zhǔn)確地模擬結(jié)構(gòu)件模型中危險(xiǎn)單元體的“開裂”過程,從而實(shí)現(xiàn)對(duì)裂紋萌生的有效預(yù)測(cè);同時(shí),兩者結(jié)合能夠更好地發(fā)揮損傷演化模型的可迭代性,解決裂紋萌生到擴(kuò)展的過渡問題,從而建立疲勞全過程分析方法。鄭旭東等[11]基于損傷力學(xué)與有限元法,對(duì)兩種金屬含缺口板件的疲勞全壽命進(jìn)行了預(yù)估,且預(yù)測(cè)值與試驗(yàn)疲勞-壽命(S-N)曲線吻合較好,說明該方法具有較強(qiáng)的工程適用性;唐雪松等[12]考慮構(gòu)件應(yīng)力集中區(qū)域塑性變形對(duì)疲勞壽命的影響,建立了基于彈塑性損傷力學(xué)模型的疲勞數(shù)值分析方法,對(duì)含溝槽試件疲勞裂紋萌生壽命與裂紋擴(kuò)展情況進(jìn)行了分析,但未給出疲勞全壽命預(yù)測(cè)結(jié)果;董赟等[13]采用相同的方法分析了交變載荷作用下含溝槽件的疲勞損傷破壞過程,給出了單一應(yīng)力水平下結(jié)構(gòu)件裂紋萌生與全壽命預(yù)測(cè)結(jié)果;孫志禮等[14]對(duì)鋁合金標(biāo)準(zhǔn)件裂紋萌生過程進(jìn)行了數(shù)值模擬,并對(duì)不同應(yīng)力水平下試件疲勞裂紋擴(kuò)展壽命進(jìn)行了預(yù)估。

疲勞破壞是一個(gè)復(fù)雜的過程,應(yīng)力、溫度、濕度等環(huán)境因素,以及材料、結(jié)構(gòu)自身的特性都會(huì)影響結(jié)構(gòu)件的疲勞壽命。其中,平均應(yīng)力是影響疲勞壽命的一項(xiàng)重要因素。Upadhyaya等[15]研究表明,若結(jié)構(gòu)承受疲勞載荷,平均壓應(yīng)力有利于提高疲勞壽命,而平均拉應(yīng)力將使疲勞壽命大幅減少。Shi等[16]比較了多種平均應(yīng)力修正方法,提出了一種改進(jìn)的采用Walker[17]修正的疲勞損傷演化理論模型,經(jīng)驗(yàn)證該模型對(duì)金屬板件疲勞壽命具有更高的預(yù)測(cè)精度。現(xiàn)基于采用Walker平均應(yīng)力修正的疲勞損傷演化模型,結(jié)合有限元法建立疲勞全壽命數(shù)值預(yù)估方法,并通過不同應(yīng)力水平下鋁合金開孔板疲勞試驗(yàn),對(duì)該方法的可行性進(jìn)行了驗(yàn)證。

1 考慮平均應(yīng)力修正的疲勞損傷演化模型

根據(jù)損傷力學(xué)理論,在疲勞循環(huán)載荷作用下,材料內(nèi)部將形成不連續(xù)的微觀缺陷(如孔洞、裂紋等)并不斷擴(kuò)展及匯合,造成材料宏觀力學(xué)性能的退化直至破壞。通過引入損傷變量D,來描述微缺陷對(duì)材料性能的影響。針對(duì)單軸加載情況,Xiao等[18]在Lemaitre[19]研究的基礎(chǔ)上,提出了一個(gè)對(duì)結(jié)構(gòu)件性能劣化過程進(jìn)行描述的疲勞損傷演化模型。該模型假設(shè)材料無塑性應(yīng)變且熱耗散與機(jī)械耗散之間無耦合作用,由第二熱力學(xué)定律可得

YD≥0

(1)

式中:Y為損傷應(yīng)變能釋放率。

式(1)表明損傷過程是一個(gè)能量耗散過程,借助微觀力學(xué)理論,得到損傷演化方程[19],即

(2)

式中:η和C為微結(jié)構(gòu)的材料參數(shù);d、e、l、n為幾何參數(shù);E為彈性模量。

由損傷本構(gòu)關(guān)系得到的損傷應(yīng)變能釋放率Y表達(dá)式為

(3)

(4)

式中:σ為應(yīng)力;σH為靜水應(yīng)力;σeq為等效應(yīng)力;υ為泊松比。忽略一個(gè)時(shí)間微增量?jī)?nèi)損傷變量的變化,對(duì)式(3)求導(dǎo)可得

(5)

將式(5)及式(3)代入式(2)可得

(6)

式(6)中:B、q為材料參數(shù)。針對(duì)比例加載情況有

(7)

(8)

式中:const表示恒值,則式(6)可以簡(jiǎn)化為

(9)

在一個(gè)載荷循環(huán)周期內(nèi)對(duì)式(9)積分即可以得到比例加載情況下的疲勞損傷演化律為

(10)

(11)

式(11)中:σm為平均應(yīng)力;σ-1為對(duì)稱加載疲勞極限;σu為拉伸極限強(qiáng)度。

進(jìn)一步推導(dǎo)即可得到疲勞損傷演化方程為

(12)

式(12)中:M0為損傷材料參數(shù)。

根據(jù)式(12),可以將一般的考慮平均應(yīng)力影響的損傷演化方程描述為

(13)

Walker模型[17]通過引入獨(dú)立的材料參數(shù)γ以評(píng)估材料在疲勞載荷下的行為特征。采用Walker修正的等效應(yīng)力幅值為

(14)

進(jìn)一步推導(dǎo)得到的采用Walker修正的疲勞損傷演化模型為

(15)

式(15)中:M1、n、γ為材料的損傷參數(shù)。

依據(jù)損傷力學(xué)理論,取材料初始(N=0)損傷D=0,當(dāng)破壞發(fā)生時(shí)損傷累積至1,即D=1。在恒幅疲勞載荷加載條件下,對(duì)式(15)在此區(qū)間內(nèi)積分可得

(16)

式(16)即為基于疲勞損傷演化模型得到的應(yīng)力與疲勞壽命Nf對(duì)應(yīng)關(guān)系,可以用于預(yù)估單軸條件下結(jié)構(gòu)件的疲勞壽命。

2 疲勞全壽命數(shù)值預(yù)估方法

對(duì)于疲勞載荷作用下的結(jié)構(gòu)件,不斷累積的疲勞損傷會(huì)導(dǎo)致其材料剛度下降,而局部剛度的下降會(huì)引起的結(jié)構(gòu)內(nèi)部應(yīng)力的重新分配。因此,疲勞損傷模型中的應(yīng)力是在不斷地變化的。采用有限元數(shù)值解法可以較準(zhǔn)確地模擬上述材料行為,從而對(duì)結(jié)構(gòu)件疲勞壽命預(yù)估問題進(jìn)行求解。

本文建立的疲勞全壽命數(shù)值預(yù)估方法計(jì)算流程如圖1所示。具體分析過程如下。

圖1 疲勞全壽命數(shù)值預(yù)估方法計(jì)算流程Fig.1 Flowchart of the numerical calculation for estimating the whole fatigue life

(1)建立無損傷即D0=0時(shí)的結(jié)構(gòu)有限元模型,求解得到的結(jié)構(gòu)應(yīng)力場(chǎng)。

(2)將各單元有效應(yīng)力帶入損傷演化方程,計(jì)算第i個(gè)載荷步內(nèi)加載一次后的各單元損傷增量ΔDi,得到結(jié)構(gòu)損傷場(chǎng),表達(dá)式為

(17)

(3)考慮單次加載所引起的單元損傷增量很小,可認(rèn)為載荷循環(huán)ΔNi次內(nèi)所有加載造成的損傷增量幾乎不變,則累加可得到載荷循環(huán)ΔNi后結(jié)構(gòu)的損傷場(chǎng),表達(dá)式為

Di=ΔNiΔDi

(18)

(4)遍歷所有單元,確定此時(shí)損傷值最大的單元,即危險(xiǎn)單元,同時(shí)記錄危險(xiǎn)單元編號(hào)和對(duì)應(yīng)載荷循環(huán)數(shù)ΔNi。

(5)將D0=Di作為下一個(gè)載荷步的初值,計(jì)算第i+1個(gè)載荷步內(nèi)加載一次后的各單元損傷增量ΔDi+1,線性累加得到載荷循環(huán)ΔNi+1次后各單元損傷增量,并與上一步損傷場(chǎng)相加得到新的損傷場(chǎng),表達(dá)式為

Di+1=Di+ΔNi+1ΔDi+1

(19)

(6)重復(fù)步驟(4)、(5)的計(jì)算過程,不斷迭代直至危險(xiǎn)單元損傷值累計(jì)至1。此時(shí),所有載荷循環(huán)數(shù)之和N=∑ΔNi即為該結(jié)構(gòu)疲勞裂紋萌生壽命。

(7)利用ANSYS中單元“生死”功能,“殺死”萌生階段已經(jīng)破壞的單元,使其不再參與后續(xù)運(yùn)算,其他單元?jiǎng)t保留裂紋萌生時(shí)的最終損傷度。此后,再次重復(fù)步驟(2)～步驟(6),得到多個(gè)危險(xiǎn)單元依次破壞時(shí)所需的載荷循環(huán)數(shù)及其單元編號(hào),直至構(gòu)件斷裂,從而得到疲勞全壽命。以上分析過程通過ANSYS軟件結(jié)合APDL編程語(yǔ)言實(shí)現(xiàn)。

在上述求解過程中,假設(shè)在載荷循環(huán)次數(shù)ΔN內(nèi),結(jié)構(gòu)的損傷場(chǎng)不發(fā)生變化,ΔN即為計(jì)算步長(zhǎng)。步長(zhǎng)的選取要考慮兩方面的因素,一方面步長(zhǎng)不應(yīng)過大,以保證在單個(gè)載荷歷程內(nèi)損傷場(chǎng)變化可以忽略;另一方面,雖然步長(zhǎng)取1時(shí)最符合真實(shí)情況,但每步損傷演化都需求解當(dāng)前應(yīng)力場(chǎng),計(jì)算過程將極為耗時(shí),同樣不可取。考慮到損傷累積是一個(gè)非線性過程,本文依據(jù)損傷增長(zhǎng)率來劃分計(jì)算步長(zhǎng),使每一步所造成的損傷增量在10-3～10-2范圍內(nèi),從而確保數(shù)值解法的準(zhǔn)確性。損傷增長(zhǎng)率區(qū)間及對(duì)應(yīng)步長(zhǎng)的選取如表1所示。損傷增長(zhǎng)率的計(jì)算公式為

表1 計(jì)算步長(zhǎng)的選取Table 1 Determination of the calculation step

(20)

3 含孔板疲勞試驗(yàn)

試驗(yàn)件為中心開孔薄板,材料為L(zhǎng)Y12CZ鋁合金,試件厚度為4 mm,總長(zhǎng)250 mm,加持端長(zhǎng)度為50 mm,中心孔洞直徑為10 mm。試樣結(jié)構(gòu)及尺寸如圖2所示,材料基本性能如表2所示[20]。

表2 LY12CZ鋁合金性能參數(shù)Table 2 Material parameters of LY12CZ aluminium alloy

圖2 開孔板試樣Fig.2 Specimen of the plate with hole

試驗(yàn)設(shè)備為液壓伺服機(jī)INSTRON8801,采用應(yīng)力控制,應(yīng)力比R=0.06,波形為正弦波。對(duì)開孔板試樣進(jìn)行4個(gè)應(yīng)力水平下疲勞試驗(yàn),每個(gè)應(yīng)力水平取3個(gè)試樣。如圖3所示,為了便于觀察裂紋尺寸,在試驗(yàn)件孔邊粘貼刻度紙,同時(shí)在試驗(yàn)件上涂抹滲透劑使裂紋擴(kuò)展過程更為清晰可見。在試驗(yàn)過程中,實(shí)時(shí)記錄裂紋尺寸及對(duì)應(yīng)載荷循環(huán)數(shù),直至試樣破壞。試驗(yàn)得到各應(yīng)力水平下試樣疲勞壽命如表3所示。

表3 開孔板疲勞試驗(yàn)壽命Table 3 Experimental fatigue lives of the plates with holes

圖3 開孔板疲勞試驗(yàn)Fig.3 Fatigue test of the plate with hole

4 方法驗(yàn)證

4.1 模型建立

對(duì)開孔板試樣進(jìn)行疲勞壽命預(yù)估,試樣有限元模型如圖4所示。試樣一端固支,另一端沿X方向施加恒幅疲勞載荷。孔邊應(yīng)力集中區(qū)域采用網(wǎng)格加密處理,且在預(yù)估裂紋擴(kuò)展路徑,即Y方向上固定單元尺寸,各單元均為0.5 mm。在計(jì)算過程中,假設(shè)此路徑上“殺死”單元數(shù)為n,則模擬裂紋擴(kuò)展尺寸為0.5nmm。模型中材料性能參數(shù)如表2所示。

圖4 開孔板試樣有限元模型Fig.4 Finite element model for plate with hole

由式(16)可知,當(dāng)采用該損傷演化模型預(yù)估疲勞壽命時(shí),首先應(yīng)確定模型中各個(gè)損傷參數(shù)。該疲勞壽命N的等效形式為

(21)

對(duì)式(21)兩側(cè)取對(duì)數(shù)可得

(22)

依據(jù)式(2),選取LY12CZ鋁合金標(biāo)準(zhǔn)件的疲勞試驗(yàn)數(shù)據(jù)[21],借助MATLAB中Regress函數(shù)對(duì)其進(jìn)行線性回歸分析,擬合得到各損傷參數(shù)如表4所示。

表4 LY12CZ鋁合金疲勞損傷參數(shù)Table 4 Damage parameters of LY12ZC aluminium alloy

4.2 疲勞裂紋萌生與擴(kuò)展分析

對(duì)不同應(yīng)力水平下試樣的疲勞裂紋萌生及擴(kuò)展情況進(jìn)行仿真分析。分析結(jié)果表明,所有試樣萌生均發(fā)生于孔邊位置,且損傷累積規(guī)律類似。如圖5所示,以σmax=110 MPa時(shí)為例,孔邊應(yīng)力集中區(qū)域損傷最為嚴(yán)重,當(dāng)計(jì)算得到第一個(gè)危險(xiǎn)單元(紅色單元)損傷累積至1時(shí)裂紋萌生;提取該單元損傷值隨載荷循環(huán)數(shù)的變化曲線,可以觀察到,前期的損傷累積基本呈線性,增長(zhǎng)速率較小;當(dāng)損傷超過0.2后,增長(zhǎng)速率明顯加快,損傷累積至0.4;而在損傷累積后期,僅經(jīng)歷約2 000次載荷循環(huán),最大損傷值從0.4迅速增長(zhǎng)至臨界損傷值1.0。這說明在前期損傷演化較為緩慢,中后期損傷演化速度增快,導(dǎo)致?lián)p傷加速累積至裂紋萌生。

圖5 開孔板試樣損傷曲線Fig.5 Damage curve of plate with hole

此后繼續(xù)對(duì)試樣裂紋擴(kuò)展過程進(jìn)行模擬,結(jié)果及與試驗(yàn)的對(duì)比如圖6所示,借助有限元仿真可以清晰地顯示出裂紋萌生過程,準(zhǔn)確預(yù)測(cè)裂紋萌生位置;仿真得到的裂紋擴(kuò)展路徑與試驗(yàn)一致,均沿著初始裂紋萌生的方向,逐步向應(yīng)力集中區(qū)域擴(kuò)展。

圖6 開孔板裂紋擴(kuò)展仿真與試驗(yàn)結(jié)果Fig.6 Simulated crack propagation and the test results of plate with hole

將不同應(yīng)力水平下裂紋擴(kuò)展壽命曲線仿真與試驗(yàn)結(jié)果進(jìn)行對(duì)比,如圖7所示。可以看出,預(yù)估的裂紋擴(kuò)展趨勢(shì)均與試驗(yàn)結(jié)果吻合良好。同時(shí)借助有限元分析方法,可以對(duì)裂紋萌生及擴(kuò)展初期的發(fā)展規(guī)律進(jìn)行有效預(yù)測(cè)。在裂紋擴(kuò)展初期,疲勞壽命預(yù)估值與試驗(yàn)值存在一定的誤差,原因主要有:首先,仿真時(shí)損傷模型參數(shù)為文獻(xiàn)[18]中試驗(yàn)數(shù)據(jù)擬合得到,雖然是同一種材料,但本試驗(yàn)所用材料性能與手冊(cè)有一定的差別;其次,考慮疲勞試驗(yàn)數(shù)據(jù)具有一定的分散性,這在一定程度上影響了結(jié)果的可靠性。

圖7 不同應(yīng)力水平下開孔板裂紋擴(kuò)展曲線Fig.7 Crack propagation curves of plates with holes under different stress levels

為了分析應(yīng)力水平對(duì)疲勞裂紋擴(kuò)展情況的影響,提取不同應(yīng)力水平下裂紋擴(kuò)展仿真結(jié)果如圖8所示。

圖8 不同應(yīng)力水平下開孔板裂紋擴(kuò)展仿真結(jié)果Fig.8 Simulated crack propagation of plates with holes under different stress levels

可以觀察到,不同應(yīng)力水平下裂紋擴(kuò)展趨勢(shì)基本相同,在初期裂紋迅速擴(kuò)展,后期擴(kuò)展趨于平緩;當(dāng)應(yīng)力水平逐步提高時(shí),裂紋萌生所需載荷循環(huán)數(shù),即裂紋萌生壽命隨之減少;同樣的,對(duì)于同一裂紋尺寸,裂紋擴(kuò)展壽命也隨應(yīng)力水平的提高而降低。

4.3 疲勞壽命預(yù)估

最后,圖9中對(duì)比了不同應(yīng)力水平下疲勞壽命預(yù)估值與試驗(yàn)結(jié)果。可以看出,對(duì)于同一裂紋尺寸,計(jì)算得到的疲勞壽命與試驗(yàn)壽命吻合較好,不同應(yīng)力水平下的預(yù)測(cè)結(jié)果均在兩倍誤差帶內(nèi)。同樣的,對(duì)不同應(yīng)力水平下疲勞全壽命預(yù)估值也均分布在兩倍誤差帶內(nèi)。以上結(jié)果表明,本文建立的疲勞全壽命數(shù)值預(yù)估方法能夠滿足工程實(shí)際要求,可以用于鋁合金含孔板疲勞壽命分析。

圖9 不同應(yīng)力水平下開孔板疲勞壽命預(yù)估值與試驗(yàn)結(jié)果Fig.9 The tested fatigue lives and the calculated lives for plates with holes under different stress levels

5 結(jié)論

本文將損傷力學(xué)理論和有限元法結(jié)合,開展了疲勞全壽命預(yù)估方法研究,得到如下主要結(jié)論。

(1)考慮平均應(yīng)力對(duì)疲勞壽命的影響,基于Walker平均應(yīng)力修正的疲勞損傷演化模型,以ANSYS為計(jì)算平臺(tái),利用APDL編程語(yǔ)言建立了結(jié)構(gòu)件在恒幅載荷譜下的疲勞全壽命數(shù)值預(yù)估方法。

(2)對(duì)開孔板試樣疲勞裂紋萌生及擴(kuò)展過程進(jìn)行了仿真分析,直觀地模擬出裂紋擴(kuò)展路徑且與試驗(yàn)相符;同時(shí),仿真得到的裂紋擴(kuò)展壽命曲線與試驗(yàn)結(jié)果吻合良好,且借助有限元能夠?qū)α鸭y萌生及擴(kuò)展初期規(guī)律進(jìn)行有效預(yù)測(cè)。

(3)對(duì)于不同應(yīng)力水平下開孔板疲勞全壽命,本文建立的疲勞壽命數(shù)值解法預(yù)估值與試驗(yàn)結(jié)果相比均具有較高的預(yù)測(cè)精度,可以為工程結(jié)構(gòu)的初步設(shè)計(jì)及結(jié)構(gòu)健康監(jiān)測(cè)提供參考。