基于多保真度神經網絡的超材料力學性能預測

□ 邱榮英 □ 李鉬石 □ 劉 釗

1.泛亞汽車技術中心有限公司 上海 200120

2.上海交通大學 機械與動力工程學院 上海 200240

3.上海交通大學 設計學院 上海 200240

1 研究背景

超材料具有介觀結構的幾何特征及傳統(tǒng)材料無法獲取的特殊力學性能,超材料的特性可以通過改變介觀結構單胞的設計來調整,超材料的增材制造為開發(fā)下一代輕質功能性汽車部件開辟了新的機會。超材料填充結構具有兩種尺度的幾何特征,如圖1所示。在介觀尺度下,每個超材料單胞被設計用于實現特殊的局部特性。在宏觀尺度上,通過組裝超材料細胞來創(chuàng)建結構產品。

圖1 超材料填充結構

為了達到超材料的最優(yōu)表現,如比剛度最大、吸能最大的最佳力學性能,散熱最快的最佳熱力學性能,最佳聲學性質等,需要在兩個尺度上定義設計變量,以優(yōu)化系統(tǒng)性能。在現有技術中,均質化法和固體各向同性材料懲罰模型等拓撲優(yōu)化已被用于生成宏觀尺度結構,其中包含各種密度水平的灰色單元,灰色單元被轉換為預定義模式的介觀結構。然而,相同密度水平的不同介觀結構設計可能具有非常不同的性能。為了解決這個問題,學者們已經開發(fā)出了一種參數化水平集方法來同時優(yōu)化結構和填充超材料單胞。上述方法依賴于基于梯度的優(yōu)化算法,考慮到沖擊、碰撞、爆炸等瞬態(tài)非線性行為,解析梯度無法用于結構優(yōu)化,因為數值和物理噪聲及分岔會加劇瞬態(tài)動態(tài)模擬的高非線性程度。考慮到傳統(tǒng)的預測方法存在明顯的局限性,學者們提出使用數據驅動的方法來提升超材料力學性能的預測效率與準確性。

顯然,數據驅動設計效果的優(yōu)劣取決于數據保真度與數據量,其中保真度指數據或模型與客觀規(guī)律的相似程度。已有研究中,超材料力學性能數據有物理試驗與仿真分析兩種獲取方式。物理試驗數據采集過程復雜,人力、時間成本耗費大,難以達到滿足建模精度的數據量。隨著超算應用的普及,仿真數據的獲取成本大幅降低,短時間即可生成十萬甚至百萬量級的數據,但仿真數據和試驗相比往往存在一定的誤差,基于仿真數據的優(yōu)化設計效果會具有一定的局限性。由此,僅使用單一來源的數據難以滿足超材料力學性能優(yōu)化設計對數據保真度與數據量的需求。工業(yè)設計領域中,學者們常常使用多保真度代理模型融合不同來源的數據集構建模型來解決類似問題。遺憾的是,由于超材料具有力學性能數據輸入變量多、非線性強、不同來源數據成本差異極大的特點,已有的多保真度代理模型構建方法擬合效果較差。

為解決上述問題,筆者提出一種基于神經網絡與遷移學習思想的多保真度代理模型構建方法,基于此方法構建多保真度神經網絡的超材料力學性能預測框架。框架針對超材料力學性能預測問題與多保真度代理模型的特性,對傳統(tǒng)數據驅動框架進行改進與完善,提升設計精度與效率。筆者以具體工程問題為例,闡明方法的效果與優(yōu)勢。

2 技術基礎

2.1 神經網絡

神經網絡是許多個神經元按一定的層次結構連接組成的機器學習模型,最基本成分神經元模型具體形式如圖2所示。其中,xi表示第i個輸入變量,wi表示第i個輸入變量的權重,b表示神經元的偏置,f()表示神經元的激活函數,y表示神經元的輸出。

圖2 神經元模型具體形式

作為工程問題中常用的代理模型,具有多層神經元的神經網絡具有較強的數據擬合能力。給定訓練數據集后,各個神經元的權重與偏置可以通過訓練獲得。誤差逆?zhèn)鞑ニ惴ㄊ悄壳白畛Ｓ玫挠柧毞椒?具體流程為:首先將輸入提供給輸入層神經元,逐層將信號前傳,直到產生輸出層結果;然后計算輸出層的誤差,將誤差逆?zhèn)鞑ブ粮鲗由窠浽?最后根據各層神經元的誤差來對各個神經元的權重與偏置進行調整。迭代過程循環(huán)進行,直至達到停止條件,即可獲得預測精度較高的神經網絡。

2.2 遷移學習

遷移學習作為機器學習的一個重要分支,是解決小樣本問題的重要手段,廣泛應用于圖像識別、自然語言處理等領域。遷移學習的基本思想為:當兩個模型描述的問題不同但相關,且兩個模型的形式與結構一致時,他們的模型參數也存在相似性;如果構建其中一個模型所需的數據不足,模型參數可以通過對另一個模型的參數進行微調獲得。

在本研究中,神經網絡與遷移學習思想被應用于多保真度代理模型的構建。擬合低保真度數據的神經網絡與擬合高保真度數據的神經網絡間必然存在相似性,通過控制訓練過程的方式,可以人為將相似性集中于神經網絡的前幾層,稱為通用特征層,并在后幾層,稱為特定特征層,體現出差異性。由此,大量的低保真度數據可以被應用于保證兩個神經網絡前幾層的有效性,只需要少量高保真度數據,即可完成對擬合高保真度數據的神經網絡的訓練。

3 預測框架

針對現有技術存在的不足,本研究提出一種基于遷移學習-多保真度建模的介觀結構件力學性能預測方法,使用低保真度數據訓練低保真度神經網絡,基于遷移學習中的微調方法,使用高保真度數據重訓練低保真度神經網絡,獲得最終的多保真度神經網絡模型,多保真度神經網絡可以以較高的精度預測介觀結構件對應的力學性能。預測流程如圖3所示。這一方法可融合不同保真度數據進行建模,并且相比傳統(tǒng)的協(xié)同克里金算法對高保真度數據需求量較少,降低了介觀力學性能的預測成本。預測框架包括如下步驟:

圖3 預測流程

(1) 初始化多保真度神經網絡,即定義多保真度神經網絡的輸入與輸出,并定義多保真度神經網絡的網絡結構;

(2) 重復進行拉丁超立方采樣,對訓練數據集與測試數據集中樣本點的輸入進行設計,訓練數據集包含低保真度數據集與高保真度數據集兩個子集,用于訓練多保真度神經網絡,測試數據集用于計算多保真度神經網絡的精度;

(3) 基于有限元仿真獲取訓練數據集與驗證數據集中樣本點的輸出;

(4) 基于多保真度訓練數據集,結合遷移學習思想,構建多保真度神經網絡;

(5) 基于多保真度神經網絡,測試樣本集中樣本點的輸出,并計算R2參數,表征預測精度,判斷是否達到精度要求;

(6) 根據獲得的多保真度神經網絡模型進行力學性能預測。

R2參數是一種用于評估回歸模型擬合優(yōu)度的統(tǒng)計量,表示因變量的方差中可由自變量解釋部分所占的比例。

多保真度神經網絡架構如圖4所示,包含輸入層、通用特征層、兩組具有相同架構的特定特征層、輸出層。一組數據經輸入層進入網絡,首先經由通用特征層得到一組維度與通用特征層最后一層中神經元數量一致的輸出,即通用特征輸出。接著將通用特征輸出作為輸入,分別輸入兩組特定特征層,經由這兩組特定特征層的變換后得到對應保真度的輸出。面向不同的數據集時,多保真度神經網絡具體架構的超參數會存在差異,如通用特征層數量、特定特征層數量、各隱藏層中的神經元數量等。

圖4 多保真度神經網絡架構

為了訓練多保真度神經網絡,提出一個新的損失函數:

Loss=Loss1+αLoss2

(1)

損失函數的核心思想為使訓練過程中特定特征層的參數只受對應數據集預測精度的影響,通用特征層參數受兩個數據集預測精度的共同影響,以此控制神經網絡學習到的通用特征最大化。

多保真度神經網絡比傳統(tǒng)多保真度代理模型精度更高,更適用于超材料力學性能預測,這主要有兩點原因。一是神經網絡的基本原理為空間變換,由于神經網絡的層次結構,這種空間變換是逐層實現的,數據每經過一層神經元都是一次空間變換,擬合低保真度數據的神經網絡與擬合高保真度數據的神經網絡間必然存在相似性,通過控制訓練過程的方式,可以人為將相似性集中于神經網絡的前幾層,以最大化利用不同保真度數據集,從而顯著提升多保真度代理模型的精度。二是神經網絡訓練方法為分批次訓練的方式,這樣的方式不會受到數據量的影響,而使用過大的數據訓練以傳統(tǒng)的協(xié)同克里金算法等模型為基底的多保真度代理模型時,容易出現內存溢出、擬合失敗的情況。

4 預測實例

4.1 問題定義

為研究涉及的介觀單胞結構,三種不同的單胞具有不同的楊氏模量與泊松比,如圖5所示。介觀結構網格如圖6所示,加載工況如圖7所示。筆者以此為例,驗證所提出框架的有效性。在矩形設計網格中填充3×4個介觀結構單元,構建二維矩形板。為采集不同保真度的數據集,建立兩種不同精度的有限元模型。高保真度有限元模型具有足夠高的分辨率,因此可以捕獲每個單元的介觀結構幾何特征。基礎材料鋼的屬性被分配給高保真度有限元模型的每個網格單元,基礎材料的楊氏模量為210 000 MPa,泊松比為0.3,密度為7.9 g/cm3。在低保真度有限元模型中,每個介觀結構細胞由一個網格單元表示,并賦予每個網格相應介觀結構單胞的均質化等效泊松比與彈性模量。加載工況下,介觀結構件為一邊固定邊界、兩邊自由邊界、一邊受5 000 N均布力壓縮。研究的目標是預測在加載工況下介觀結構件頂端中點的位移。

圖5 三種介觀單胞結構

圖6 介觀結構網格

圖7 加載工況

4.2 高低保真度數據采集

本研究的高低保真度數據集自動化構建采集流程如圖8所示。

圖8 高低保真度數據集采集流程

(1) 根據超材料結構預測的任務要求,確定設計變量、設計空間,設定初始樣本點數為400,并令迭代計數參數i為1。

(2) 當i為1時,進行初始樣本點設計,采用拉丁超立方試驗設計方法在設計空間內獲得400個初始試驗樣本點輸入值,保存為StaticDOE.mat。

(3) 應用MATLAB 軟件讀取StaticDOE.mat中樣本點輸入值,并依此編輯文本進行參數化建模,建立介觀結構靜態(tài)仿真模型inp文件,命名為i_struct_case1.inp和i_struct_case2.inp,分別對應靜態(tài)壓縮載荷和剪切載荷下的仿真模型。inp文件中聲明了結構的節(jié)點編號、節(jié)點集合、單元編號、單元集合、材料屬性、邊界條件、加載方式。

(4) 應用MATLAB 軟件調用命令行cmd.exe,將i_struct_case1.inp和i_struct_case2.inp分別提交至ABAQUS求解器進行計算,生成相應的輸出場文件i_struct_case1.odb和i_struct_case2.odb。

(5) 應用MATLAB 軟件調用Python程序post_process.py,提取出輸出場文件i_struct_case1.odb和i_struct_case2.odb中最后一個框架對應的結構件上端中點的位移,并保存為文本文件NodeDisp.txt。

(6) 迭代參數i加1,重復步驟(3)至步驟(5),獲取不同樣本點的相應響應值,并輸出為文本文件。

經過上述循環(huán)計算,構建本研究使用的高保真度與低保真度數據集,為基于遷移學習的多保真度建模提供支撐。

4.3 多保真度建模與精度比較

本研究的超材料介觀結構件包含12個介觀單胞結構,令多保真度神經網絡的輸入X為[x1,x2,x3,x4,x5,x6,x7,x8,x9,x10,x11,x12]。介觀結構件力學性能為加載工況下介觀結構件頂端中點的位移。令多保真度神經網絡的輸入為Y,多保真度神經網絡包含輸入層、隱藏層、輸出層,輸入層數量為1,層內包含與輸入X維度相等數量的神經元。隱藏層分為通用特征層與特定特征層,通用特征層數量為2,每層包含16個神經元,特定特征層數量為1,層內包含16個神經元。輸出層數量為1,層內包含1個神經元。

訓練數據集包含低保真度數據集與高保真度數據集兩個子集,分別包含PTL與PTH個樣本點。測試數據集包含PV個樣本點。其中,訓練數據集用于訓練多保真度神經網絡,測試數據集用于計算多保真度神經網絡的精度。基于有限元仿真獲取訓練數據集與驗證數據集中樣本點的輸出為Y1與Y2。低保真度數據集的輸出由粗糙網格有限元仿真獲得,即將介觀結構件劃分為12個殼單元網格,為每個殼單元賦予介觀單胞結構對應的楊氏模量與泊松比。高保真度數據集的輸出由精細網格有限元仿真獲得,即將介觀結構件粗糙網格中12個殼單元網格分別替換為對應介觀單胞結構真實結構的精細網格,并為每一個精細網格殼單元賦予介觀結構件材料自身的楊氏模量與泊松比。粗糙網格如圖9所示,精細網格如圖10所示。

圖9 粗糙網格

圖10 精細網格

基于訓練數據集中的低保真度數據集訓練低保真度神經網絡,訓練優(yōu)化器為Adam算法,損失函數為均方誤差,均方誤差損失函數具體表達式為:

(2)

凍結低保真度神經網絡的通用特征層,微調獲得多保真度神經網絡之后,計算R2參數,表征預測精度。R2參數表達式為:

(3)

本文方法的預測精度與傳統(tǒng)協(xié)同克里金算法的比較見表1。

表1 預測精度比較

在三種不同的高保真度數據樣本量的測試中,本文方法相比傳統(tǒng)協(xié)同克里金算法預測精度提升20個百分點以上,即相同的成本下,本文方法的預測精度顯著優(yōu)于傳統(tǒng)方法。另一方面,本文方法在PTL為20時的預測精度為56.1%,與傳統(tǒng)方法在PTL為40時的預測精度接近,說明達到相同預測精度水平,本文方法的所需成本顯著低于傳統(tǒng)方法。

5 結束語

筆者提出一種超材料力學性能預測框架,可以用于超材料填充結構多尺度設計優(yōu)化,通過集成多保真度神經網絡、遷移學習算法,提高預測效率與精度。

這一方法平衡了單一來源數據在精度與開發(fā)成本上的矛盾,提高了超材料力學性能預測的效率,在實際應用中可擴展至沖擊、碰撞、爆炸等瞬態(tài)非線性行為的預測。

面向超材料力學性能預測問題具有的高維、強非線性特點,提出基于神經網絡與遷移學習思想的多保真度神經網絡。應用案例的測試結果表明,所提出的多保真度神經網絡對高成本數據的需求顯著降低,且精度顯著優(yōu)于同樣數據成本構建的其它模型。