線性正則正余弦加權卷積及其應用

王小霞,馮 強

(延安大學 數學與計算機科學學院,陜西 延安 716099)

線性正則變換(linear canonical transform,LCT)[1-5]被廣泛應用于應用數學、光學和信號處理等領域,是傅里葉變換(fourier transform,FT)[6-7]、分數階傅里葉變換(fractional fourier transform,FRFT)[8-9]的廣義形式。在線性正則變換的基礎上定義的線性正則正弦變換(linear canonical sine transform,LCST)[10]與線性正則余弦變換(linear canonical cosine transform,LCCT)[10]是傅里葉正弦變換(fourier sine transform,FST)[11-12]與傅里葉余弦變換(fourier cosine transform,FCT)[11-12]的廣義形式。由于LCST與LCCT的計算復雜度是線性正則變換計算復雜度的一半,在處理奇偶信號問題上具有獨特的優勢,因此,在應用數學、光學系統和信號處理領域研究線性正則正余弦變換卷積運算以及卷積定理非常重要。

近年來,許多學者對傅里葉正余弦變換卷積運算[11-12]、分數階傅里葉正余弦變換卷積運算[13-15]、線性正則正余弦變換卷積運算[10]進行了深入研究,例如,THAO等[12]研究了傅里葉正余弦加權廣義卷積,并給出了它在求解積分方程組中的應用,馮強[13-16]等研究了分數階傅里葉正余弦變換卷積定理,討論了卷積類積分方程的求解問題,文獻[10]給出了線性正則正余弦變換卷積運算及其相應的卷積定理,并設計了一類基于卷積定理的線性正則正余弦變換域帶限信號的乘性濾波模型。

線性正則正余弦變換相對于傅里葉正余弦變換及分數階傅里葉正余弦變換更具有靈活性,因此,研究線性正則正余弦變換卷積運算及其卷積定理非常有意義。本文在現有基礎上,首先,定義了LCST-LCCT、LCCT-LCST卷積運算及其加權卷積運算并深入挖掘了與其相關的卷積定理;其次,給出了所得卷積與已有的FCT、FST-FCT、FCT-FST、LCCT、LCST卷積運算的關系;最后,討論了兩類卷積類積分方程組的解,并給出了該類方程解的一般形式。

1 預備知識

定義1[17-18]設函數f(t)∈L1(R),A=(a,b,c,d)為參數矩陣,其中,ad-bc=1,則LCT定義為

f(t)的線性正則變換的逆變換可以表示為

當A=(0,1,-1,0)時,LCT就變為FT[6-7]。

(1)

其逆變換為

(2)

其逆變換為

當A=(0,1,-1,0)時,上述LCST和LCCT就退化為經典的FST和FCT[20]:

與

引理1[21]設f(t),g(t)∈L1(R),滿足如下FCT卷積運算:

g(t+τ))dτ

(3)

則有如下卷積定理,

引理2[22]設f(t),g(t)∈L1(R),滿足如下FST-FCT卷積運算:

g(t+τ))dτ

(4)

則有如下卷積定理,

引理3[22]設f(t),g(t)∈L1(R),滿足如下FCT-FST卷積運算:

sgn(t-τ)g(|t-τ|))dτ

(5)

則有如下卷積定理,

引理4[10]設f(t),g(t)∈L1(R),滿足如下LCST加權卷積運算:

(6)

則有如下卷積定理,

引理5[10]設f(t),g(t)∈L1(R),滿足如下LCCT卷積運算:

(7)

則有如下卷積定理,

2 主要結果

2.1 LCST與LCCT加權卷積運算

(8)

(9)

(10)

(11)

2.2 LCST與LCCT加權卷積定理

本節在LCST卷積運算與LCCT卷積運算及其加權卷積運算的基礎上,推導出相應的卷積定理。

(12)

其中,u>0。

因為

同理可得

從而

其次,證明式(12)。根據式(1)式(2)及定義4,有

(13)

由于

(14)

由式(13)式(14)可得

f(p)g(|b+p-q|)dpdq

(15)

同理可得

文化自信關系到一個國家綜合國力和國際地位的提升。中國特色社會主義進入新時代，中國社會和經濟的發展為當代中國文化自信奠定了堅實的物質基礎，但我國社會主要矛盾的轉化又使文化建設面對許多新的問題和挑戰。

(16)

由式(15)式(16)以及定義4,可得

則

因此,定理得證。

(17)

其中,u>0。

證明定理2的證明類似于定理1。

(18)

證明定理3的證明類似于定理1。

(19)

其中,u>0。

證明定理4的證明類似于定理1。

2.3 LCST與LCCT加權卷積運算與已有卷積運算之間的關系

本節將繼續研究LCST卷積運算與LCCT卷積運算及其加權卷積運算與FST卷積運算和FCT卷積運算之間的關系。

證明由定義4可得

由式(3)可得

因此,定理得證。

證明定理6的證明類似于定理5。

證明定理7的證明類似于定理5。

證明定理8的證明類似于定理5。

3 線性正則正余弦卷積運算在積分方程中的應用

積分方程在很多應用中都很重要,涉及輻射能量傳遞,膜或軸的振蕩問題。因此,研究卷積類積分方程組的解是一個熱點。

下面討論兩類卷積類積分方程組的解。

3.1 第一類積分方程

(20)

定理9假設條件Δ=1-Λ≠0成立,其中,

則式(20)存在唯一解

其中,ψ∈R+且滿足

(21)

證明卷積類積分方程組(20)可改寫為

(22)

對上式兩邊分別做LCST與LCCT,則可得

由于

利用Wiener-Levis定理[23]以及式(21)可得

從而可得

同理可得

利用Wiener-Levis定理[23]以及式(12)可得

則可得

因此,定理得證。

3.2 第二類積分方程

(23)

定理10假設條件Δ=1-Λ≠0成立,其中,

則式(14)存在唯一解

其中,ψ∈R+且滿足

(24)

證明式(23)卷積類積分方程組可改寫

(25)

對式(25)兩邊分別做LCST與LCCT,則方程組改寫為

由于

利用Wiener-Levis定理[23]以及式(24)可得

從而可得

同理可得

利用Wiener-Levis定理[23]以及式(24)可得

則可得

因此,定理得證。

4 結論

卷積類積分方程組在應用數學、工程力學中具有廣泛的應用。本文定義了LCST-LCCT、LCCT-LCST卷積運算及其加權卷積運算,研究了線性正則正余弦卷積運算與已有卷積運算之間的關系,推導出相應的卷積定理,所得結果是經典傅里葉正余弦卷積理論在線性正則域內的進一步拓展,豐富了線性正則變換域卷積理論,并利用所得結果給出兩類卷積類積分方程組解的一般形式。