基于貝葉斯方法的軟土深基坑不確定性位移反演分析

林東 鄭俊杰 薛鵬鵬 李子騫 彭榮華

DOI：?10.11835/j.issn.2096-6717.2023.043

收稿日期：2022?10?24

基金項目：中鐵第四勘察設計院集團有限公司科研課題（2020K144）

作者簡介：林東（1981-?），男，高級工程師，主要從事隧道與地下工程研究，E-mail：004903@crfsdi.com。

通信作者：李子騫（通信作者），男，博士生，E-mail：lizq_97@163.com。

Received： 2022?10?24

Foundation items Scientific Research Items of China Railway SiYuan Group （No. 2020K144）

Author brief： LIN Dong （1981-?）， senior engineer， main research interests： tunnel and underground engineering， E-mail： 004903@crfsdi.com.

corresponding author：LI Ziqian （corresponding author），?PhD candidate，?E-mail：?lizq_97@163.com.

（1. 中鐵四院集團西南勘察設計有限公司，昆明?650206；?2. 華中科技大學?巖土與地下工程研究所，武漢?430074）

摘要：在深基坑開挖工程中，使用合理的土體力學參數計算地連墻側移對優化基坑支護方案以及降低工程風險至關重要。然而，受地層分布不均、土工試驗誤差等因素的影響，土體參數常表現出明顯的不確定性，該不確定性降低了地連墻側移計算結果的可信度。鑒于上述問題，提出一種基于貝葉斯參數更新框架和現場監測數據的軟土深基坑土體參數反演方法。該方法采用GA-BP神經網絡建立數值分析模型中土體參數與地連墻側移的隱式函數關系，并結合現場監測數據建立土體參數的貝葉斯反分析模型。采用該方法對某深基坑工程進行分析，驗證了方法的可行性。分別采用地連墻的最大側移值和多點位移值作為指標進行土體力學參數反演，并分別使用更新后的土體參數預測基坑開挖的最終側移值。研究結果表明：與不更新土體參數相比，更新土體參數后土體參數變異系數變小，得到的結果與后續施工步下的監測結果更吻合；使用多點觀測值進行土體參數更新的預測效果顯著優于僅使用最大位移值時的效果。

關鍵詞：深基坑；土體參數；位移反分析；貝葉斯方法；馬爾科夫鏈蒙特卡羅模擬

中圖分類號：TU753.1 ????文獻標志碼：A ????文章編號：2096-6717（2024）03-0052-09

Probabilistic method for displacement back analysis of deep excavations in soft soil based on Bayesian method

LIN Dong¹，?ZHENG Junjie²，?XUE Pengpeng²，?LI Ziqian²，?PENG Ronghua¹

（1. China Railway SiYuan Group Southwest Survey and Design Co. Ltd.， Kunming 650206， P. R. China；?2. Institute of Geotechnical and Underground Engineering， Huazhong University of Science and Technology， Wuhan 430074， P. R. China）

Abstract： In deep foundation excavation projects， using reasonable soil mechanical parameters to calculate the lateral deformation of diaphragm wall is essential to optimize the support design and reduce engineering risks. However， the soil parameters are generally affected by the uneven distribution and geotechnical testing errors， which often show obvious uncertainties and reduce the credibility of the lateral deformation calculated of diaphragm walls. In view of the considerations above， this paper proposes a back analysis method of soil parameters based on Bayesian parameter updating framework and site monitoring data. This method uses GA-BP neural network to establish the implicit function relationship between the soil parameters and the diaphragm wall lateral displacement in the numerical model， and combines the site monitoring data to establish the Bayesian back analysis model of the soil parameters. This method was used to analyze a deep excavation project， and the feasibility of the method was verified. The maximum lateral displacement and multi-point displacement value of the diaphragm wall were used as indicators to invert the soil mechanical parameters， and the updated soil parameters were used to predict the final lateral displacement. The results show that compared with the non-updating soil parameters， the variation coefficient of soil parameters decreases after updating， and the obtained results fit with the monitoring results better in the subsequent construction steps; the prediction effect of using multi-point observations for soil parameter updating is significantly better than that when only the maximum displacement value is used.

Keywords： deep foundation excavation；?soil paraneter；?displacement back analysis；?Bayesian method；?Markov Chain Monte Carlo Simulation （MCMCS）

隨著城市發展的加速，城市交通需求隨之陡增，地下軌道交通的建設是緩解城市交通壓力的重要手段。地鐵車站往往選在建筑密集、地下管網交錯的區段，對基坑施工過程中的變形控制更加嚴格。現行的城市軟土深基坑主流開挖支護設計多采用地連墻與內支撐聯合支護的形式，且將地連墻的水平側移作為安全預警的控制指標之一。由于基坑工程的鄰近區域復雜，且基坑水平向變形的影響因素較多，使用傳統力學方法推導解析式來計算基坑中地連墻的水平側移往往難以實現^[1]。隨著計算機技術的發展和各種數值仿真軟件的興起，使用數值模擬技術對基坑進行計算也是現行工程中的常用手段^[2-4]，除了精細的模型和正確的模擬方法外，合理的土體力學參數也是可信計算結果的必要條件之一。事實上，土體參數常常會受不確定性和測量誤差的影響產生偏離，直接影響數值仿真模擬結果的可信度^[5]。為了降低土體不確定給工程計算帶來的不良影響，學者們提出了多種解決方法，主要分為以下兩種：建立土工試驗成果與土體力學參數之間的解析式^[6-9]；充分利用現場實測數據，反演計算合理的土體力學參數值^?[10-14]。

目前已有神經網絡^[15]、遺傳算法^[16]、粒子群算法^[17]、貝葉斯方法^{[12-14， 18-19]}等算法被用于位移反演分析，其中大部分算法規定目標土體參數為常數，因此，這些方法的反演結果是一系列定值。然而，由于計算模型和觀測數據存在誤差，上述定值與土體參數的真實值也存在相應的誤差。此時，貝葉斯方法的優勢便顯現出來。貝葉斯方法規定目標土體參數為隨機變量而非定值，在土體參數先驗估計的基礎上，得到土體參數的先驗分布，并通過現場監測數據不斷修正先驗分布以獲得更可靠的后驗分布，該后驗分布綜合體現了先驗信息和樣本信息。

針對確定性反演方法難以得到土體參數統計值的問題，以某軟土深基坑為例，提出多點多參數的貝葉斯不確定性反演方法。該方法使用馬爾科夫鏈產生大量樣本，并使用蒙特卡羅法對土體參數進行更準確的概率計算。分別以監測數據中的地連墻最大位移值和多點位移觀測值進行貝葉斯參數更新，比較在兩種參數更新方式下的地連墻水平側移值。

1 貝葉斯參數更新框架

1.1 基本原理

采用考慮模型誤差的貝葉斯參數更新框架。若過分簡化計算模型的邊界條件、本構模型等要素，在工程計算中普遍存在誤差，且計算所得的結構、巖土體響應值與現場實測數據存在一定誤差。因此，采用文獻[20]中提出的模型偏差因子來表示模型誤差。 （1）

式中：表示在深度為處的真實地連墻側移，下標np為貝葉斯更新中使用的觀測點數目。表示深度為處各點的模型偏差因子。采用兩種方式進行參數更新：當僅使用地連墻最大實測值進行更新時，取μ_ε=0.905，σ_ε=0.303；當以多點實測值進行更新時，應考慮各點之間的相互影響，各點間的相關系數按參考文獻[5]進行取值。表示數值模型計算所得的各個點的地連墻水平位移值。

規定模型偏差因子為對數正態分布，則式（1）可轉化為對數形式，即 （2）

由于不考慮模型的誤差變異性，貝葉斯框架的后驗概率密度函數可按（3）式表示。 （3）

式中：為參數θ的先驗概率密度函數，為避免出現負數，假定為對數正態分布；θ為反演參數；D為位移觀測值；k為歸一化系數；為似然函數，在使用多點觀測數據時，似然函數可表達為 （4）

式中：表示的協方差矩陣的行列式；為觀測位移值的對數矩陣；表示的均值矩陣。將（4）式代入（3）式即可求得參數的后驗分布。在使用單點最大位移觀測數據時，可同樣采用上式進行計算似然函數。

取，則，相關系數矩陣需要通過式（5）對文獻[5]中的相關系數進行轉換得到^[21]。 （5）

式中：為和的相關系數；為和的相關系數；為的標準差；為的標準差。

1.2 馬爾科夫鏈蒙特卡羅模擬

貝葉斯算法框架以聯合概率密度函數作為被更新的目標反演參數。而在計算單一的反演參數時，其統計值和邊緣分布經常涉及計算困難的高維積分。為解決參數后驗分布密度和后驗分布統計值的計算問題，學者們提出了Naylor-Smith逼近法^[22]、Lindley數值逼近法^[23]、Tierney-Kadane逼近法^[24]等方法，但這些方法僅在其特定的場景中適用。馬爾科夫鏈蒙特卡羅模擬將馬爾科夫鏈引入蒙特卡羅模擬，使抽樣分布隨模擬計算的進行而改變，極大改善了蒙克卡羅模擬的高維積分計算效率。因此，馬爾科夫鏈蒙特卡羅模擬作為一種高效、通用的計算方法得到廣泛應用^{[14， 20， 25]}。

由于式（3）難以直接求解，通常采用馬爾科夫鏈蒙特卡羅模擬來解決這一問題。其優點是：能夠考慮任何類型的先驗分布；對觀測數據的數量沒有嚴格要求；通過馬爾科夫鏈蒙特卡羅模擬生成的樣本可用于后續的分析計算。

馬爾科夫鏈蒙特卡羅模擬的基本思想是構造一條馬爾科夫鏈，并使其收斂為待估參數的后驗分布。基于該馬爾科夫鏈可以直接生成后驗樣本，且在這些樣本中每個樣本僅與馬爾科夫鏈前一個狀態的樣本相關，這個性質被稱為“馬爾科夫性質”。

實現馬爾科夫鏈蒙特卡羅模擬的相關算法有多種，采用Metropolis-Hastings算法，其計算過程如下。

1）約定符號：為當前馬爾科夫鏈樣本；為下階段馬爾科夫鏈樣本；為與θ相關的樣本ξ的建議概率分布函數；r_k為接受率，按（6）式計算。 （6）

2）產生備選樣本，根據馬爾科夫鏈當前樣本和建議概率分布函數生成樣本。計算當前狀態的接受率。

3）從區間[0，1]的均勻分布中抽樣出一個隨機數u，將隨機數u與接受率進行比較，若，則馬爾科夫鏈轉移到下個狀態；否則馬爾科夫鏈繼續保留當前狀態。Metropolis-Hastings算法是基于Metropolis算法的改進算法，有效提高了接受率較小時馬爾科夫鏈達到細致平穩的計算效率，其具體實現見文獻[13]。

1.3 GA-BP神經網絡響應面

重復、大量的巖土體響應計算工作是貝葉斯更新框架中的主要難題之一。若使用傳統的有限元法（或有限差分法）進行成千上萬次的數值試驗，將耗費大量的時間和計算機資源。為了解決這一問題，采用響應面法來提升計算效率。

響應面法通過建立輸入參數與巖土體響應之間的關系，用簡單的函數關系來代替繁雜的數值模型計算。經過比較選擇，采用文獻[26]中的遺傳算法改進BP神經網絡，即GA-BP神經網絡，來選擇合適的響應面，算法的實現過程如圖1所示。由于BP神經網絡采用梯度下降算法更新權值與閾值，因此，BP神經網絡的計算效率高度依賴權值與閾值的初始值。將遺傳算法引入BP神經網絡后，可將BP神經網絡中的權值與閾值設置為初始染色體，經過選擇、交叉、變異等運算后即可獲得較為合理的BP神經網絡初始權值與閾值。

2 基坑案例數值模擬

2.1 基坑概況

某基坑^[27-29]采用地連墻與內支撐聯合支護的設計，基坑的典型剖面、土層分布及支撐設置如圖2所示。其中，地連墻厚度為800 mm，埋深為31 m；施工過程分為7個開挖步，各開挖步高程見模擬方案。

2.2 數值模型的建立

1）模型幾何尺寸

選取1 m厚的基坑典型斷面，并取半結構，采用巖土有限差分軟件FLAC^3D建立數值模型，數值模型的幾何尺寸為77.5 m×1.0 m×36.0 m。

2）模型參數

土體的本構模型采用摩爾-庫倫模型；鋼支撐、地連墻的本構模型采用線彈性本構模型。數值模型的具體物理力學參數見表1。

在數值模型中土體、地連墻采用實體單元模擬，鋼支撐采用梁單元模擬。模型的邊界條件如下：模型底邊為固定約束；模型的4個側面設置法向約束，并約束鋼支撐右側端點的水平位移。模型的網格劃分如圖3所示。

3）模擬方案

基坑的具體開挖的步驟如下：

①澆筑地連墻與初始地應力平衡，生成初始地應力場；②開挖土體至第一開挖面-1.6 m處；③開挖土體至第2開挖面-4.3 m處，在-1 m處架設支撐；④開挖土體至第3開挖面-6.9 m處，在-3.7 m處架設支撐；⑤開挖土體至第4開挖面-10.15 m處，在-6.2 m處架設支撐；⑥開挖土體至第5開挖面-13.2 m處，在-9.5 m處架設支撐；⑦開挖土體至第6開挖面-16.2 m處，在-12.5 m處架設支撐；⑧開挖土體至第7開挖面-18.45 m處，在-15.5 m處架設支撐。

2.3 地連墻位移的變化規律

圖4為數值模擬結果與基坑連續墻側向位移觀測數據對比圖。由圖可知，在基坑開挖的過程中，連續墻的側移曲線呈中間大，兩端小的分布規律。其中最大水平位移出現在最后一個開挖步，最大側移值為73.68 mm。整體而言，數值模型的地連墻側移曲線的變化趨勢基本符合現場監測數據，但兩者在數值上仍有不可忽視的差距。因此，有必要采用后文中的反分析方法對土參數進行反演分析來獲得更合理的結果。鑒于前3開挖步中地連墻側移觀測曲線與后4步側移觀測曲線的差異較大，且從第4開挖步開始地連墻側移曲線有較為一致的變化趨勢，因此，反分析僅從基坑開挖的第4步開始。

3 基于貝葉斯方法的位移反分析

3.1 構建反分析模型

基坑數值模型共涉及4個土層，每個土層從上至下依次編號為1～4。由于土體的彈性模量E具有較大的變異性，往往難以準確測量^[30]，且在使用摩爾-庫倫本構模型進行基坑開挖計算時，基坑水平向變形對彈性模量較為敏感^[31]，因此，以彈性模量E為反演目標參數，設計如表2所示的4因素3水平正交試驗，并基于該正交試驗分別建立多項式響應面和GA-BP神經網絡響應面。其中，在多項式響應面中，采用不含交叉項的二次多項式來表示響應面函數，不同深度z_j處的響應面函數可表示為 （7）

式中：b_j，i為多項式函數的待定系數；δ（θ，z_j）表示z_j深度處的響應面函數；θ_i表示第i個參數。

GA-BP神經網絡響應面建立方式如下。提取各開挖步相應的地連墻水平位移，基于GAOT工具箱建立位移反分析模型。網絡結構為3層神經網絡，分別對應輸入層、隱層和輸出層，各層節點數設置為11、23、4，主要使用trainlm函數訓練樣本，采用tansig函數作為隱含層的激活函數，采用purelin函數作為輸出層的激活函數。設置遺傳算法的主要參數為：種群規模P=150，交叉概率P_c=0.24，變異概率P_m=0.04，選擇概率P_s=0.09，最大進化代數為100。

3.2 響應面結果分析

使用基坑最終開挖步的監測數據來分別判斷多項式響應面和GA-BP神經網絡響應面的適用性。

計算100組隨機樣本下的本基坑數值模型響應。將100組隨機樣本分為兩部分，使用前50組樣本訓練GA-BP神經網絡，使用后50組樣本分別評價多項式響應面和神經網絡響應面的擬合結果，多項式響應面與GA-BP神經網絡響應面和數值模擬的地聯墻位移對比見圖5。

由圖5（a）可見，多項式響應面和數值模擬結果基本上位于45°線（y=x）附近，但是數據點的離散性較大，擬合效果較差；由圖5（b）可見，由GA-BP神經網絡響應面所得的地連墻位移和由數值模擬所得的地連墻位移基本吻合，擬合度較高。因此，可以選用GA-BP神經網絡作為響應面函數。

3.3 貝葉斯更新結果分析

設置馬爾科夫鏈長度為100 000，并取縮放因子為s=1.5，可得如圖6所示的第7開挖步下的馬爾科夫鏈樣本。通過馬爾科夫鏈的樣本統計特征可得到經貝葉斯更新后的土體力學參數信息，第7步開挖中的參數更新結果如圖7所示，其中圖7縱坐標PDF為概率密度函數（Probability Density Function）的縮寫。由圖7可見，在引入了現場實測數據更新修正土體參數后，數值積分得到的概率密度曲線與后驗分布高度一致，可以認為更新后的土體彈性模量E服從對數正態分布。經貝葉斯更新后，各土層彈性模量E的離散程度均有所減小，驗證了貝葉斯參數更新方法的有效性。此外，隨著土層自上而下分布，彈性模量E更新前后的差別變大，其中最下層地基土可能由于鉆孔勘測數據誤差較大等原因，其彈性模量E₄的均值變化最大；而頂層地基土由于其分布位置較淺，對基坑側移變形的影響有限，其彈性模量E₁更新前后的差別較小。

經過貝葉斯參數更新，基于當前開挖步修正了施工擾動對土體參數的影響。采用更新后的當前開挖步土體參數進行計算，能更準確地預測基坑開挖過程中的地連墻側移，對施工安全具有重要意義。

若僅從第4步開始進行貝葉斯參數更新，并預測后續各開挖步的地連墻位移，分別采用地連墻最大側移實測值和多點側移實測值進行參數更新和位移預測，繪制位移預測結果如圖8所示。

以45°線為參照，由圖8（a）可知，當僅使用地連墻最大側移實測值進行更新時，地連墻的位移預測值與現場實測值依然存在較大差異，但該差異隨著貝葉斯更新次數的增加而逐漸變小，最終相對誤差為5.58%。

圖8（b）為采用多點位移觀測值進行參數更新的預測結果。從圖中可見，在引入地連墻多點水平側移實測數據進行參數更新后，地連墻的最大側移預測值與現場實測數據基本吻合，地連墻最終側移值與實測值的相對誤差僅為0.114%。由此可見，使用多點觀測數據的更新效果明顯好于僅使用最大觀測值的更新效果。

4 結論

采用GA-BP神經網絡建立了數值模擬中土體參數與地連墻側移的響應面，并以該響應面方程為基礎，提出了基于貝葉斯方法的土體參數反分析方法。最后采用馬爾科夫蒙特卡羅模擬方法進行抽樣，以臺灣某基坑為例討論了方法的可行性。得出如下主要結論：

1）采用GA-BP神經網絡建立的響應面模型是有效的，該響應面代替了貝葉斯參數更新框架中的確定性分析過程，可極大提高貝葉斯反分析計算效率。本文僅考慮了土層彈性模量E的單參數反演，關于考慮多因素的多參數反演分析的合理性和適用性還有待進一步研究。

2）響應面的選擇對計算精度有明顯影響。建立的多項式響應面和基于GA-BP神經網絡的響應面均能合理地表征土體參數與地連墻側移之間的隱式函數關系。但在樣本數目足夠時，采用GA-BP神經網絡建立的響應面相比多項式響應面具有更好的擬合精度。

3）與不更新土體參數相比，使用該文方法更新土體參數后得到的結果與后續施工步下的監測結果更吻合，在引入監測數據進行參數更新后，更新后的參數變異系數變小，且使用多點觀測值進行土體參數更新的預測效果顯著優于僅使用最大位移值時的效果。

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（編輯??胡玲）