不勝“枚舉”的寒假作業(yè)

未來的網(wǎng)絡(luò)大崩潰

陸小豆無(wú)奈地翻開寒假作業(yè)，準(zhǔn)備開始奮戰(zhàn)。可還沒等他準(zhǔn)備好文具，學(xué)霸精靈一下子從學(xué)霸變身器中跳了出來，嚇了陸小豆一跳。

學(xué)霸精靈看起來很焦急，還有點(diǎn)兒生氣，對(duì)著陸小豆就是一抓，然后說道：“都是你這個(gè)糊涂蟲，出大事了！”

陸小豆被這一抓有點(diǎn)兒發(fā)懵，待他回過神來，略帶哭腔地說道：“怎么都來欺負(fù)我，我可什么壞事也沒干，我今天只是想補(bǔ)補(bǔ)作業(yè)。”

學(xué)霸精靈跳上桌子，看了看陸小豆的作業(yè)，“果然就是你，你看看你這粗心大意的勁兒，連假期一共有多少天都算不明白，難怪未來的網(wǎng)絡(luò)會(huì)大面積崩潰！”

“啊？這和我算錯(cuò)了日子有什么關(guān)系？”陸小豆驚訝地張大了嘴。

“當(dāng)然有關(guān)系，你連最基本的枚舉法都算不對(duì)，未來的你當(dāng)然也不會(huì)枚舉法，那未來的你研究出來的新型互聯(lián)網(wǎng)自然也就有大量的數(shù)據(jù)錯(cuò)誤，經(jīng)常會(huì)出現(xiàn)崩潰。我得到未來的你傳來的消息，他們正經(jīng)歷最嚴(yán)重的一次網(wǎng)絡(luò)崩潰。”

“可是……”

“沒有可是，你趕緊給我變身，好好學(xué)會(huì)‘枚舉法，這會(huì)改變歷史，也就可以拯救未來的互聯(lián)網(wǎng)了！”

枚舉法的重要性

說完沒等陸小豆反應(yīng)，學(xué)霸變身器自己就飛了出來，落到了他的手中。陸小豆心想，也許變身了就能輕松地完成寒假作業(yè)了，何樂而不為？于是馬上按下變身按鈕。

一陣光芒閃過，緊接著陸小豆感覺自己的頭腦一下子清晰了不少，關(guān)于寒假算錯(cuò)日期的問題，也想清楚了。

“變身前的我，確實(shí)有點(diǎn)兒粗心大意，1月10日最后一天去學(xué)校，3月1日正式開學(xué)，1月11日放假不上學(xué)，3月1日開學(xué)要上學(xué)，所以寒假是從1月11日開始，2月29日截止。要算有多少天，就是一共持續(xù)了多少天，減完要加1。我之前把1月10日和3月1日也算成放假了，所以一下子少了2天，偶爾我還會(huì)偷一天懶，難怪最后還剩了這么多作業(yè)。”

“想明白了就好，這就是最簡(jiǎn)單的枚舉法之一，你可以挑戰(zhàn)更難的！先讓我好好給你介紹一下枚舉法。”

補(bǔ)充對(duì)話內(nèi)容

枚舉法起源于原始的計(jì)數(shù)方法，說白了就是—數(shù)數(shù)。

枚舉法的基本思想是：將問題所有可能的答案一一列舉，然后根據(jù)條件判斷此答案是否合適，合適就保留，不合適就丟棄。

由于枚舉法需要將所有可能的答案列舉出來，因此，就不能毫無(wú)頭緒地去嘗試、瞎蒙瞎撞，否則效率就會(huì)很低下，而且很容易出現(xiàn)遺漏或重復(fù)。

通常有三種方法：字典排列法、分類枚舉法、樹形圖法

字典排列法是指在枚舉時(shí)，像字典里的單詞順序那樣排列出所有的答案。

分類枚舉法是指根據(jù)題目中的條件，將符合要求的全部情況一一分類枚舉出來，然后再求解或運(yùn)算。

樹狀圖法是指借助樹狀結(jié)構(gòu)的分層特征，對(duì)某一事件可能發(fā)生的所有情況逐一枚舉，從而直觀求解的一種解題方法。

難度：

學(xué)霸精靈在一張紙上畫了一些圖形，每個(gè)圖形都是由若干條線段連接而成的。請(qǐng)你數(shù)一數(shù)，紙上一共有多少條線段？

答案：24條

解答：整個(gè)紙片上有6個(gè)圖形，為了便于說明，把各個(gè)圖形編號(hào)為A、B、C、D、E、F，如右上圖所示。

A號(hào)圖形由5條線段連成，B號(hào)圖形由3條線段連成，C號(hào)圖形由4條線段連成，D號(hào)圖形由3條線段連成，E號(hào)圖形由5條線段連成，F(xiàn)號(hào)圖形由4條線段連成。

因此，這些圖形中一共有線段5+3+4+3+5+4=24（條）。

難度：

班主任要從甲、乙、丙、丁、戊這五個(gè)小朋友里面選出四個(gè)人參加乒乓球賽，有多少種不同的選法？如果已經(jīng)選出了甲、乙、丙、丁，現(xiàn)在要把他們分成兩組，進(jìn)行雙打比賽，有多少種不同的分法？

答案：5種；3種

解答（1）要從5個(gè)人中去掉一個(gè)不選，那只有5種可能性，分別是去掉甲、乙、丙、丁、戊。

所以從5個(gè)小朋友中選4個(gè)人有5種選法。

（2）與甲搭檔的只可能是乙、丙、丁3個(gè)人中的一人，也就是說只有甲乙（丙丁），甲丙（乙丁），甲丁（乙丙）3種分組方式。

難度：

小高、墨莫和卡莉婭三個(gè)人一起吃完了一盤薯?xiàng)l，這盤薯?xiàng)l總共有20根，并且每個(gè)人吃的薯?xiàng)l都比5根多。請(qǐng)問：每個(gè)人吃的薯?xiàng)l數(shù)量有多少種情況？

答案：6種

解答：從條件來看，小高吃了至少6根薯?xiàng)l；又墨莫和卡莉婭也都至少吃了6根，總共就是12根，則最多還有20－12=8（根）薯?xiàng)l給小高吃。所以小高吃的薯?xiàng)l根數(shù)是在6～8根之間，分情況進(jìn)行討論：

所以一共有6種情況。

難度：

在NBA總決賽中，由洛杉磯湖人隊(duì)對(duì)陣底特律活塞隊(duì)。比賽采用7場(chǎng)4勝制，每勝一場(chǎng)會(huì)獲得1分的積分。最終湖人隊(duì)獲得了勝利，雙方的積分是4：2，并且在整個(gè)比賽過程中，湖人隊(duì)的積分從來沒有落后過。問：比賽過程中的勝負(fù)情況共有多少種可能？

答案：5種

解答：由題意知，湖人隊(duì)總是不會(huì)落后的，所以第一場(chǎng)必然是湖人隊(duì)取勝。

由于湖人隊(duì)以4：2取得了勝利，所以，最后一共進(jìn)行了6場(chǎng)比賽，最后一場(chǎng)也必須是湖人隊(duì)取勝。

從圖中可以直接看出，一共有5種勝負(fù)情況的可能。

難度：

（1）如圖，方格紙的黑點(diǎn)位置上有一只小螞蟻，它沿著方格紙上的橫線和豎線爬行，方格紙上每一小段的長(zhǎng)度都是1厘米。試問：小螞蟻爬了2厘米之后，可能在哪些位置？把可能的位置在圖上標(biāo)出來。（不包括出發(fā)點(diǎn)）

（2）如圖，方格紙上每一小段的長(zhǎng)度也是1厘米，黑點(diǎn)的位置上有一只小螞蟻，如果它爬了3厘米之后，恰好在黑線上。請(qǐng)問：這只小螞蟻爬行的路線一共有多少種不同的可能？

答案：（1）有8種可能的位置，如圖：

（2）20種

解答：（1）螞蟻爬了2厘米，也就是2小段，那么距離黑點(diǎn)2段的點(diǎn)都是可能的位置，而且要達(dá)到距離黑點(diǎn)2格的地方，也就需要不走重復(fù)的線路。如果走的2段有重復(fù)的線路，那么也就是說這兩段是一來一回，肯定就回到了出發(fā)點(diǎn)。所以不包括出發(fā)點(diǎn)，一共有8種可能的位置。

（2）小螞蟻的第一步可以往上、下、左、右4個(gè)方向走。

可以看到黑點(diǎn)、黑線都在整個(gè)圖形的中間，那么往上或往下最后可能的情況是一樣的，左右也是，所以需要考慮的只是第一步往上和往左的情況就可以了。

①若第一步往上，列出相應(yīng)的樹形圖：

②若第一步往左，列出相應(yīng)的樹形圖：

開始時(shí)第一步往上或往左走的情況一共有10種，那么往下和往右的情況也一共有10種。所以總共就有10×2=20（種）走法。

枚舉法原來這么有趣有用，不過我還是不太了解它為什么對(duì)計(jì)算機(jī)和網(wǎng)絡(luò)影響那么大！

計(jì)算機(jī)具有運(yùn)算速度快、精確度高的特點(diǎn)，即使把所有情況都一一列出，也用不上幾毫秒，所以計(jì)算機(jī)中大量應(yīng)用了枚舉法。

枚舉法在計(jì)算機(jī)應(yīng)用中具有重要性，它是一種基礎(chǔ)而強(qiáng)大的問題解決方法。在一些復(fù)雜問題的解決中，枚舉法常常作為算法設(shè)計(jì)的起點(diǎn)。

以下是枚舉法在計(jì)算機(jī)中的一些重要應(yīng)用：

1.搜索和優(yōu)化問題：在搜索算法和優(yōu)化問題中，枚舉法常常用于窮盡可能的解空間，找到問題的最優(yōu)解。特別是在離散化問題和組合優(yōu)化中，枚舉法能夠幫助尋找到最佳解或最優(yōu)組合。

2.密碼破解：在密碼學(xué)和安全領(lǐng)域，枚舉法可以用于破解密碼。通過逐一嘗試所有可能的密碼組合，攻擊者可以找到正確的密碼。因此，在設(shè)計(jì)密碼時(shí)，要考慮密碼的復(fù)雜性，以防止被枚舉攻擊破解。

3.測(cè)試和調(diào)試：在軟件開發(fā)中，枚舉法常用于測(cè)試和調(diào)試階段。通過逐一檢查可能的輸入組合，開發(fā)人員可以發(fā)現(xiàn)潛在的錯(cuò)誤、邊界條件和異常情況，從而提高軟件的穩(wěn)定性和質(zhì)量。

4.圖形學(xué)中的渲染：在圖形學(xué)中，枚舉法用于渲染圖像中的像素。通過逐一計(jì)算每個(gè)像素的顏色和位置，可以生成最終的圖像。這在圖形學(xué)和游戲開發(fā)中是一種常見的應(yīng)用方式。

5.窮舉密碼和密鑰：在加密和解密領(lǐng)域，枚舉法用于窮舉可能的密碼或密鑰。這對(duì)于恢復(fù)丟失的密碼或?qū)用軘?shù)據(jù)進(jìn)行破解是至關(guān)重要的。

6.算法設(shè)計(jì)：在算法設(shè)計(jì)中，有時(shí)候窮舉所有可能的情況是解決問題的唯一有效方法。雖然在一些問題上枚舉法可能會(huì)效率不高，但在某些情況下，它是最直接、簡(jiǎn)單的解決方案。

7.決策問題：在決策問題中，枚舉法可以用于列舉所有可能的決策組合，以找到最佳的決策方案。

原來一個(gè)小小的數(shù)數(shù)問題，竟然這么重要！

是啊，還好你及時(shí)修正，現(xiàn)在未來世界的網(wǎng)絡(luò)已經(jīng)恢復(fù)正常了！