聚焦數學思想 貫徹核心素養

宋方寧 李碩

摘要：本文所探究的教學設計從整體出發，由特殊到一般，繼而歸納出偶函數的定義，再將其符號化，然后讓學生類比研究奇函數，深刻貫徹核心素養，強調學習過程.

關鍵詞：函數；奇偶性；數形結合

中圖分類號：G632文獻標識碼：A文章編號：1008-0333（2024）12-0002-03

函數的奇偶性是在學習函數單調性與最大（小）值后又學到的一函數性質，是對函數概念的深化學習，是經歷大量函數的具體事例，從中分化、類比、抽象概括而得到的[1].本文從教學內容解析、教學目標設置、學生學情分析、教學過程設計、教學反思五個方面進行教學設計.

1 教學內容解析

函數的奇偶性屬于人教A版高中數學必修第一冊第三章第二節的內容，這是學生掌握函數單調性與最大（小）值后的一個重要的函數性質，也是后面學習冪函數、指數函數、對數函數和三角函數的基礎.

“函數的奇偶性”作為一節概念課，是在上節課學習完函數單調性的基礎上進行的.教材中通過對兩個熟悉函數特征的繼續研究，發現其具有對稱性的特征，由此在函數的性質與函數的對稱性之間構起一座橋梁，為新知識的學習提供教學思路，進而利用函數解析式描述函數圖象的這個特征.要經歷對不同函數實例進行研究的過程，從中推理、概括得到函數奇偶性的概念，同時提升學生的數學運算、數學抽象等素養.

基于以上分析，確定本節課的重點是函數奇偶性的概念和奇偶函數的判斷.

2 教學目標設置

本節課的教學目標設置如下：

（1）能從“數”和“形”兩個角度認識函數的奇偶性，感悟數形結合的內涵.

（2）經歷奇偶性概念的探究歷程，由特殊到一般，由圖形語言到符號語言，理解函數的圖象特征與形式化定義.

（3）理解函數奇偶性的概念，掌握用奇偶性的概念判斷奇偶性的方法，并能夠解決一些簡單問題.

（4）培養學生的觀察、歸納、抽象的能力，發展直觀想象、數學抽象、邏輯推理等核心素養.

3 學生學情分析

在學習本節課之前，學生在初中已經學習了軸對稱、中心對稱等知識，并且已掌握一次函數、二次函數、反比例函數的相關知識點，能夠畫出其圖象，因此學生能夠通過畫圖來觀察其特征.

對學生來說發現函數奇偶性是比較容易的，但是用數學符號語言描述數與形之間的聯系存在困難，也就是說靈活轉換圖象與語言的能力較弱，并且存在小組合作交流能力較弱的現象.

基于以上分析，確定本節課的難點是能夠將函數的圖象特征轉化為符號語言.

4 教學過程設計

引言設計：數與形是數學中的兩個最基本的研究對象，它們在一定條件下可以相互轉化.我國著名數學家華羅庚曾說過：“數缺形時少直觀，形缺數時難入微”，這道出了“數”和“形”不可分割的特點.

4.1 創設情境，提出問題

師：“數形結合”的思想在數學學習過程中運用得非常廣泛，上一節課我們就運用數形結合的思想，以函數f（x）=x2，f（x）=x為例研究了函數的單調性，從形的角度以函數的圖象入手，來研究圖象的特征；再從數的角度將其特征符號化，最終抽象出函數的性質，同時也發現了函數的單調性是局部性質.那么這兩個函數的圖象除了單調性外，還具有哪些其他的特征呢？

生：對稱性.

師：其實，對稱性就是函數的一種性質“奇偶性”.接下來我們將繼續運用數形結合的思想，來研究“函數的奇偶性”.（板書課題）

4.2 運用方法，研究性質

師：首先從函數的圖象入手進行思考.

問題1：我們知道函數f（x）=x2，f（x）=x的圖象是對稱的，那么它們的圖象有何具體的特征呢？

追問1：你如何判斷這個函數的圖象就是對稱的呢？

追問2：如何判斷函數f（x）=x4-5x2+7圖象的對稱性呢？

預案：（沉默）

師：看來對于解析式較為復雜、難以畫出圖象的函數，我們無法準確判斷函數圖象的對稱性，那么究竟應該根據什么來判斷呢？我們一起來進行探究.

師：以f（x）=x2的圖象為例，從“形”的角度看，這個圖象關于y軸對稱，折疊后完全重合.我們通過幾何畫板的動態演示來具體觀察（動態圖）.

師：我們知道函數的圖象是由點構成的，那么完全重合意味著什么呢？

預案：意味著折疊后函數圖象上的每一個點與其對應點是完全重合的.

師：接下來我們類比研究“單調性”時數形結合的方法，從“數”的角度來研究函數f（x）=x2的圖象中的點與其對應點有何特征.

問題2：我們先在圖象上取一點A（1，1），過點A作y軸的垂線，與圖象交于另一點A′（-1，1），可知這兩點是關于y軸對稱的，你能發現它們的橫坐標、縱坐標有何特征嗎？

追問1：同樣的，再取一個點B（2，4），過其作y軸的垂線，與圖象交于它的對稱點B′（-2，4），現在你又發現了什么規律？

追問2：你還能舉出一個例子嗎？

問題3：我們通過三個實例得到這個規律，是否函數圖象上任意一個點都滿足這個規律呢？

師生活動：教師通過幾何畫板演示在f（x）=x2的圖象上任取點P，P′是P的對稱點，拖動點P，P′的橫坐標總與P相反，縱坐標相等，從而驗證剛才得出的規律是正確的.

追問1：那么如何將得到的規律用數學符號語言表示出來？

預案：對于任意一個x，都有f（-x）=f（x）.

師：剛才我們是通過圖象進行分析得到的，其實從數的角度也可以進行證明（語言解釋）：f（-x）=（-x）2=x2；也就是說對于任意一個x，都有f（-x）=f（x）.

追問2：那么對任意一個x還有什么要求？（定義域R）.

追問3：那么你能概括出f（x）=x2是偶函數的定義了嗎？

預案：對于定義域內R的任意一個x，都有f（-x）=f（x），這時我們稱此函數為偶函數.

問題5：函數f（x）=|x|的圖象是否也具有類似的特征呢？請同學們以小組為單位，類比上面的研究方法進行探究.

師生活動：教師用幾何畫板演示在圖象上任取點P，P′是P的對稱點，拖動點P，發現P′的橫坐標總與P相反，縱坐標相等.

追問1：那么如何將得到的規律用數學符號語言表示出來？

師：可以符號化為對于任意一個x，都有f（-x）=f（x），同樣可進行證明：f（-x）=|-x|=|x|.

追問2：那么對任意一個x還有什么要求呢？

追問3：你能給出它是偶函數的定義了嗎？

預案：對于定義域R內的任意一個x，都有f（-x）=f（x），這時我們稱此函數為偶函數.

問題6：你能根據這兩個具體的偶函數，概括出一般的偶函數定義嗎？

預案：一般地，如果對于函數f（x）的定義域內任意一個x，都有f（-x）=f（x），那么函數f（x）就叫做偶函數.

【設計意圖】通過對兩例函數的研究，都是由特殊點到一般點，由特殊函數到一般函數，最后概括歸納其定義，體現了由特殊到一般的數學思想.

問題7：請同學們觀察以下函數f（x）=x和

f（x）=1x的圖象.你能發現這兩個函數的圖象有什么共同特征嗎？（小組討論）

預案：這兩個函數，總是有當橫坐標互為相反數時，縱坐標也互為相反數；符號化為對于任意一個x，都有f（-x）=-f（x）；任意一個x要滿足在定義域內.

問題8：你能歸納出奇函數的定義嗎？

預案：一般地，如果對于函數f（x）的定義域內任意一個x，都有f（-x）=-f（x），那么函數f（x）就叫做奇函數.

【設計意圖】通過小組討論，借助研究偶函數的方法類比研究奇函數，自主歸納出奇函數的定義，有助于培養學生邏輯推理的能力，符合核心素養的基本要求，同時鞏固數形結合的思想方法，加強記憶.

4.3 鞏固練習，加強記憶

題形一判斷下列函數的奇偶性.

（1）f（x）=2x2+2xx+1；

（2） f（x）=x3-2x;

（3）f（x）=|x|x2+1.

【設計意圖】通過對不同函數類型的判斷與類比，強化學生用定義判斷函數奇偶性的步驟與方法.

題型二函數奇偶性的應用.

（1）若函數f（x）=2x-a2x+1的圖象關于y軸對稱，則常數a=.

（2）已知函數f（x）是定義域為R的奇函數，f（x）=2x+2x-a，則f（1）=.

【設計意圖】通過對函數奇偶性的實際應用，讓學生感悟其內涵與本質，促進學生對其性質的內化與理解.

4.4 課堂小結，提高升華

（1）本節課我們是如何對函數奇偶性進行研究的？

（2）偶函數和奇函數有什么不同？如何用符號來表示？

（3）本節課體現了哪些數學思想？

【設計意圖】讓學生回顧所運用的思想方法，體現的數學思想，從而提升學生的數學素養，加強對函數奇偶性概念的記憶.

5 教學反思

函數奇偶性是一個形式化概念，具有抽象性，因此本節課采用整體教學策略.讓學生完整經歷概念的形成過程，引導學生用數形結合的方法探究問題，讓學生能夠在以后的學習過程中繼續沿用該數學思想，促進學生的發展.

參考文獻：

［1］黃邦杰.直觀想象·類比提高·提升素養：對“函數的奇偶性”一課的幾點思考[J].中國數學教育，2021（08）：7-8.

［責任編輯：李璟］