一道高考真題的解法探究與教學(xué)思考

曲娜

摘要：本文通過對(duì)2023年高考新課標(biāo)Ⅱ卷17題的研究，從正余弦定理、平面向量、平面幾何、經(jīng)典的幾何定理等幾個(gè)角度來(lái)進(jìn)行分析，從而發(fā)現(xiàn)很多不同解法及蘊(yùn)含的數(shù)學(xué)思想.

關(guān)鍵詞：高考真題；解三角形；一題多解；教學(xué)思考

中圖分類號(hào)：G632文獻(xiàn)標(biāo)識(shí)碼：A文章編號(hào)：1008-0333（2024）12-0021-03

2023年高考數(shù)學(xué)全國(guó)卷落實(shí)黨的二十大精神，全面貫徹黨的教育方針，落實(shí)立德樹人根本任務(wù)，促進(jìn)學(xué)生德智體美勞全面發(fā)展；反映新時(shí)代基礎(chǔ)教育課程理念，落實(shí)考試評(píng)價(jià)改革、高中育人方式改革等相關(guān)要求，全面考查數(shù)學(xué)抽象、邏輯推理、數(shù)學(xué)建模、直觀想象、數(shù)學(xué)運(yùn)算和數(shù)據(jù)分析的核心素養(yǎng)，體現(xiàn)基礎(chǔ)性、綜合性、應(yīng)用性和創(chuàng)新性的考查要求，突出理性思維，發(fā)揮數(shù)學(xué)學(xué)科在人才選拔中的重要作用.扎實(shí)考查數(shù)學(xué)運(yùn)算素養(yǎng)，要求考生理解運(yùn)算對(duì)象，掌握運(yùn)算法則，探究運(yùn)算思路，求得運(yùn)算結(jié)果.如2013年新課標(biāo)Ⅱ卷第17題以解三角形、正余弦定理、同角三角函數(shù)基本關(guān)系式等數(shù)學(xué)內(nèi)容，考查數(shù)學(xué)運(yùn)算素養(yǎng).

1 試題呈現(xiàn)

記△ABC的內(nèi)角A，B，C的對(duì)邊分別為a，b，c.已知△ABC的面積為3.D為BC的中點(diǎn)，且AD=1.

（1）若∠ADC=π3，求tanB；

（2）若b2+c2=8，求b，c.

本題主要考查學(xué)生邏輯推理和數(shù)學(xué)運(yùn)算等數(shù)學(xué)學(xué)科核心素養(yǎng)，突出基礎(chǔ)性要求，彰顯綜合性要求，蘊(yùn)含中國(guó)高考評(píng)價(jià)體系四翼的要求［1］，促進(jìn)高中教學(xué)與義務(wù)教育階段學(xué)習(xí)的有效銜接和考教銜接.本題主要考查解三角形的相關(guān)知識(shí)點(diǎn)，橫看成嶺側(cè)成峰，遠(yuǎn)近高低各不同，通過正余弦定理、平面向量、平面幾何、經(jīng)典的幾何定理等幾個(gè)角度來(lái)進(jìn)行分析，從而發(fā)現(xiàn)很多不同解法及蘊(yùn)含的數(shù)學(xué)思想.

2 第（1）問的解題方法

方法一在△ABC中，S△ABC=S△ABD+S△ACD，

即3=12×1×a2×32+12×1×a2×32，解得a=4，

在△ABD中，利用余弦定理可知，AB2=1+4-2×1×2×-12=7，

解得AB=7，再利用正弦定理可知，1sinB=732，求得sinB=2114，

進(jìn)而求得tanB=35.

本方法是靈活利用面積公式、余弦定理、正弦定理求解得出來(lái)的.

方法二在△ABC中，S△ABC=S△ABD+S△ACD，

即3=12×1×a2×32+12×1×a2×32，解得a=4，

在△ABD中，利用余弦定理可知，AB2=1+4-2×1×2×-12=7，

解得AB=7，再利用余弦定理變式可得，cosB=4+7-12×2×7=5714，進(jìn)而求得tanB=35.

本方法是靈活利用面積公式、余弦定理、余弦定理變式求解得出來(lái)的.

方法三（余弦定理+面積公式）：在△ABC中，S△ABC=S△ABD+S△ACD，

即3=12×1×a2×32+12×1×a2×32，解得a=4，

在△ABD中，利用余弦定理可知，AB2=1+4-2×1×2×-12=7，解得AB=7，在△ABC中，再利用面積公式S=12×4×7×sinB=3，求得sinB=2114，

進(jìn)而求得tanB=35.

方法四（三次余弦定理）：在△ABC中，S△ABC=S△ABD+S△ACD，

即3=12×1×a2×32+12×1×a2×32，解得a=4，

在△ABD中，利用余弦定理可知，AB2=1+4-2×1×2×-12=7，解得AB=7，在△ACD中，利用余弦定理可知，AC2=1+4-2×1×2×12=3，則AC=3.

在△ABC中，利用余弦定理變式可得，cosB=7+16-32×4×7=5714，進(jìn)而求得tanB=35.

方法五（二次余弦定理+正弦定理）：在△ABC中，S△ABC=S△ABD+S△ACD，即3=12×1×a2×32+12×1×a2×32，解得a=4，

在△ABD中，利用余弦定理可知，AB2=1+4-2×1×2×-12=7，解得AB=7，在△ACD中，利用余弦定理可知，AC2=1+4-2×1×2×12=3，則AC=3，

在△ABC中，利用正弦定理可知，712=3sinB，求得sinB=2114，進(jìn)而求得tanB=35.

方法六（面積公式+兩角和的正切公式）：在△ABC中，S△ABC=S△ABD+S△ACD，

即3=12×1×a2×32+12×1×a2×32，解得a=4，

在△ABD中，利用余弦定理可知，AB2=1+4-2×1×2×-12=7，解得AB=7，在△ACD中，利用余弦定理可知，AC2=1+4-2×1×2×12=3，則AC=3，

S=12×3×7×sinA=3，解得sinA=277，并求得tanA=-233，同時(shí)可得tanC=33，利用兩角和的正切公式可得，tanB=-tanA+C=35.

3 第（2）問的解題方法

方法一（面積公式+平行四邊形法則）：利用面積公式可得，S=12×b×c×sinA=3，即

bcsinA=3，①

利用平行四邊形法則，可得2AD=AB+AC，兩邊平方得

即4=b2+c2+2×b×c×cosA，整理得，

bccosA=-2，②

①/②得，tanA=-3，則A=2π3，帶入①后，得bc=4，再由已知b2+c2=8，

解得，b=c=2.

方法二（中線長(zhǎng)定理+面積公式）：由中線長(zhǎng)定理可知，

b2+c2=2AD2+BD2，可得BD=3，

在△ABC中，S△ABC=S△ABD+S△ACD，

3=12×3×1×sin∠ADB+12×3×1×sin （π-∠ADB），解得sin∠ADB=1，

即AD⊥BC，底邊中線也是底邊高線，所以三角形△ABC是等腰三角形，

解得，b=c=2.

方法三（中線長(zhǎng)定理+面積公式+余弦定理）：由中線長(zhǎng)定理可知，

b2+c2=2AD2+BD2，

可得BD=3，

利用面積公式可得，

S=12×b×c×sinA=3，

即bcsinA=3，

在△ABC中，由余弦定理可知，

12=b2+c2-2×b×c×cosA，

可得bccosA=-2，

兩式相除可得，tanA=-3，則A=2π3，得bc=4，再由已知b2+c2=8，

解得，b=c=2.

方法四（中線長(zhǎng)定理+面積公式）：由中線長(zhǎng)定理可知，b2+c2=2AD2+BD2，可得BD=3，

由初中面積公式得

S=12底×高，

可得3=12×23×h，解得h=1，

AD=h=1，底邊中線也是底邊高線，所以三角形ABC是等腰三角形，解得，b=c=2.

方法五（中線長(zhǎng)定理+余弦定理+面積公式）：由中線長(zhǎng)定理可知，b2+c2=2AD2+BD2，可得BD=3，

在△ACD中，由余弦定理可知，

1=b2+3-2×b×3×cosC，

整理得，bcosC=b2+223，③

在△ABC中，由面積公式可得，

3=12×23×b×sinC，

整理得，bsinC=1，④

將③、④平方相加得，b2=1+b4+4b2+412，解得b=2，代入b2+c2=8，可得c=2.

4 結(jié)束語(yǔ)

2023年的高考，三角函數(shù)解答題設(shè)置有一定靈活性，學(xué)生不易快速找到解題突破口.本文的分析有助于理解問題的本質(zhì)，從而找到解決此類問題和類似問題的共性，打通學(xué)習(xí)數(shù)學(xué)的任督二脈，最終讓學(xué)生的思維得到發(fā)展.

（1）通過高考真題的研究，引導(dǎo)我們?cè)诮虒W(xué)中多做微探究，讓數(shù)學(xué)本質(zhì)理解更透徹；在課程標(biāo)準(zhǔn)指導(dǎo)下重視教材，多練變式，讓學(xué)生思維更生動(dòng)；適當(dāng)記憶常用定理，公式，多總結(jié)，讓知識(shí)更系統(tǒng).

（2）高中數(shù)學(xué)教師需要潛心研究高考，從解題、一題多解全方位提升個(gè)人學(xué)科素養(yǎng).正所謂知其然還要知其所以然，刷百題不如吃透一題.高考改革萬(wàn)變不離其宗，這個(gè)“宗”就是對(duì)基礎(chǔ)知識(shí)和基本概念的深入理解和靈活掌握，這就要求我們能夠?qū)じ菰矗プ栴}的本質(zhì).

（3）高考試題引導(dǎo)我們備課時(shí)要更加注重思維能力和思想方法的滲透，不能死記公式.而要關(guān)注學(xué)生，引導(dǎo)其自主學(xué)習(xí)、合作探究，真正掌握知識(shí)，靈活運(yùn)用，不斷地提高自身的思維能力，憑借對(duì)知識(shí)的靈活運(yùn)用，來(lái)獲得更加理想的分?jǐn)?shù).

參考文獻(xiàn)：

［1］ 洪燕君，周九詩(shī)，王尚志，鮑建生.《普通高中數(shù)學(xué)課程標(biāo)準(zhǔn)（修訂稿）》的意見征詢：訪談張奠宙先生[J].數(shù)學(xué)教育學(xué)報(bào)，2015（6）：35-39.

［責(zé)任編輯：李璟］