基于“平面向量‘爪型’模型演示器”的教學(xué)探究

高艷

摘要：本文基于“平面向量‘爪型模型演示器”進行了教學(xué)探究，以幫助學(xué)生加深對平面向量基本定理、平面內(nèi)的三點共線定理、向量加法的平行四邊形法則、平面向量“爪型”模型中向量的關(guān)系、平面向量等和線定理等概念的理解，提高用平面向量解決問題的效率.

關(guān)鍵詞：向量；解三角形；演示器

中圖分類號：G632文獻標(biāo)識碼：A文章編號：1008-0333（2024）12-0018-03

在教學(xué)活動中，對于平面向量基本定理中三點共線的兩向量的系數(shù)之和為1的共線定理，學(xué)生理解不夠深刻，記憶不夠準(zhǔn)確，且不能夠快速準(zhǔn)確地用兩個基向量描述出第三個向量，在兩個基向量的系數(shù)問題上常出現(xiàn)錯誤.在解三角形的問題中，大題會經(jīng)常出現(xiàn)“爪型”模型，而此模型往往又需要用上面所說的平面向量“爪型”模型來解決，因此如何快速地用向量來進行描述，是學(xué)生在高中學(xué)習(xí)中經(jīng)常遇到的問題.將“平面向量‘爪型模型演示器”應(yīng)用于數(shù)學(xué)和物理等學(xué)科的課堂教學(xué)和課外實踐活動，能夠較好地解決此教學(xué)問題.在使用過程中，通過理論聯(lián)系實際，加深學(xué)生對平面向量基本定理、平面內(nèi)的三點共線定理、向量加法的平行四邊形法則、平面向量“爪型”模型中向量的關(guān)系、平面向量等和線定理及物理中力的合成和分解等概念的理解.本文基于此演示器進行教學(xué)探索，旨在幫助學(xué)生自主地探究研究爪型的性質(zhì)，從而使其形成直觀的知識記憶，更好地解決相關(guān)問題.

1 演示器的制作

1.1 制作材料

六根槽條（可用KT泡沫板或PVC板）、螺絲、皮筋、畫筆、半圓儀、強磁吸螺母.

1.2 制作過程

把三根槽條分別用強磁吸螺母連接，形成等邊三角形ABC，三根槽條對應(yīng)的邊分別記為AB、AC、BC. 再把兩根槽條用半圓儀連接成60°的夾角，用一個強磁吸螺母固定在三根槽條的邊BC上，記為點D，強磁吸螺母不要擰緊，使得點D可以在槽條BC上移動，“爪型”模型如圖1所示.

之后，把兩根槽條的另外左右兩邊，分別用螺絲連接在槽條AB、AC上，螺絲不要擰緊，讓左右兩根槽條能自由移動，與槽條AB、AC的交點分別記為E、F，E、F兩點會隨著點D的移動而移動.最后將皮筋掛在螺母上，連接點A與點D用來表示向量，演示器成品如圖2所示.

至此，“平面向量“爪型”模型演示器”制作完成，可靈活地將其實際應(yīng)用于實際教學(xué).

1.3 演示器的創(chuàng)新點

該器材結(jié)構(gòu)簡單，制作和使用方便，具有較強的實用性，同時也易于上手操作且形象直觀，讓數(shù)學(xué)中的常見模型“活”了起來.在實際教學(xué)使用中，該演示器可以展示運算過程，引發(fā)學(xué)生思考，顯著加深學(xué)生的印象，使學(xué)生能夠在腦海中形成動態(tài)圖象，經(jīng)久不忘，且在遇到相關(guān)題目時能迅速聯(lián)想并用此模型解決問題.槽條可以用KT泡沫板或PVC板制作，制作成本較為低廉.此外，由于有強磁可以固定在黑板上，該器材既適合在室內(nèi)操作，也適合在室外使用.

2 基于演示器的教學(xué)探究

2.1 演示器教學(xué)的科學(xué)方法與原理

2.1.1 平面向量基本定理

如果兩個向量a、b不共線，那么向量p與向量a、b共面的充要條件是：存在唯一實數(shù)對（x，y），使p=xa+yb.

這個定理其實說明了平面向量可以沿任意指定的兩方向分解，同時也說明了由任意兩向量可以合成一個向量，即向量的合成與分解［1］.由于AD與AE、AF共面，由平面向量基本定理可知存在唯一實數(shù)對（x，y），使AD=xAE+yAF.

2.1.2 平面向量加法的平行四邊形法則

若四邊形ABCD為平行四邊形，則AB+AD=AC，如圖3（a）所示.

根據(jù)平面向量加法的平行四邊形法則，由于角A與動點D左右兩根槽條形成的夾角都是60°，當(dāng)點D在槽條BC上移動時，只需讓左右兩個槽條分別與槽條AC、AB保持平行（此過程易于操作），所以四邊形AEDF一定為平行四邊形，符合平面向量加法的平行四邊形法則，有AD=AE+AF，過程如圖3（b）所示.

2.1.3 平面向量中三點共線定理

在平面中B、C、D三點共線的充要條件是：對于該平面內(nèi)任意一點A，存在唯一的一對實數(shù)x、y，使得AD=xAB+yAC，且x+y=1.

特別地有：當(dāng)點D在線段BC上時，x>0，y>0，當(dāng)點D在線段BC之外時，xy<0.

2.1.4 平面向量等和線定理

已知平面內(nèi)一組基向量AB，AC及任一向量AD，且AD=λAB+μACλ，μ∈R，若點D在直線AB上或者在平行于AB的直線上，則λ+μ=k（k為定值），反之也成立，則把直線AB以及與直線AB平行的直線稱為等和線，等和線定理是三點共線的延伸.

2.2 基于演示器的學(xué)生探究設(shè)計

用向量BD與向量DC的比值來描述點D的位置，即BD=λDC，組織學(xué)生通過實際操作演示器，演示當(dāng)點D在不同位置的情況，然后填寫表1.

通過上述的模擬演示，學(xué)生能快速發(fā)現(xiàn)并歸納平面向量“爪型”模型中向量的關(guān)系：

當(dāng)點D在線段BC上時BD=λDC（λ>0），當(dāng)點D在線段BC外BD=λDC（λ<0），都有AD=1λ+1AB+λλ+1AC.進而歸納總結(jié)共線定理，得到點D在直線BC上時，不論λ為何值A(chǔ)B和AC前的系數(shù)之和為1，即直線BC是系數(shù)和為1的等和線.再引導(dǎo)學(xué)生深層次地挖掘D所在位置對λ正負和絕對值大小的影響、λ蘊含的極限思想以及等和線定理.

2.3 基于演示器的題目設(shè)計

演示器教學(xué)探究的題型設(shè)計如下：

題1在△ABC中，點D在邊BC上，且BD=2DC，則（ ）.

A.AD=AB+2ACB.AD=2AB+AC

C.AD=23AB+13ACD.AD=13AB+23AC

題2在△ABC中，點D在邊BC上，若AD=23AB+13AC，則BDDC=.

題3在△ABC中，點D在邊BC上，若AD=xAB+yAC，則x+y=，xy的最小值為.

題4在矩形ABCD中，AB=1，AD=2，動點P在以C為圓心且與BD相切的圓上，若AP=λAB+μAD，則λ+μ的最大值是.

2.4 基于演示器的探究展示

通過演示器演示探究的結(jié)果如圖4至圖9所示，圖4為點D在線段BC的三等分點（靠近點C）時的演示結(jié)果，圖5為點D在線段BC的三等分點（靠近點B）時的演示結(jié)果，圖6是點D為線段BC中點時的演示結(jié)果[2].

學(xué)生通過圖4和圖5的探究能直觀地解決題目1和題目2：在△ABC中，點D在邊BC上，且BD=2DC，則AD=13AB+23AC.在△ABC中，點D在邊BC上，若AD=23AB+13AC，則BDDC=12.

通過具體的操作得到平面向量“爪型”模型中向量的關(guān)系后，再歸納總結(jié)平面向量中三點共線定理.由此可以解決三點共線問題，如題目3：在△ABC中，點D在邊BC上，AD=xAB+yAC，則x+y=1，再結(jié)合基本不等式得到xy的最小值為14.

根據(jù)上述的演示，再通過第六根槽條（移動時始終保持與直線BC平行）的演示，演示結(jié)果如圖7、圖8所示，根據(jù)演示可將三點共線定理延伸得到等和線定理及易得的結(jié)論，其中AD=λAB+μACλ，μ∈R，λ+μ=k，具體結(jié)論如下：

①當(dāng)?shù)群途€恰為直線BC時，k=1；

②當(dāng)?shù)群途€過A點時，k=0；

③當(dāng)?shù)群途€在A點直線BC之間時，k∈0，1；

④當(dāng)?shù)群途€在直線BC之外，與AB同向時，k∈1，+∞；與AB反向時，k∈-∞，0；

⑤若兩等和線關(guān)于A點對稱，則定值k互為相反數(shù)；

⑥|k|的變化與等和線到A點的距離成正比.

通過演示能夠形象直觀地解決題4中λ+μ的最大值是3，具體過程如下所示：

由共線及等和線定理可知，當(dāng)P在直線BD上時λ+μ=1，當(dāng)P在直線EF上時λ+μ=2，當(dāng)P在直線GH上時λ+μ=3，此時為最大值，具體如圖9所示.

3 結(jié)束語

通過“平面向量‘爪型模型演示器”進行教學(xué)探究，并將其應(yīng)用到實際教學(xué)中，使抽象的數(shù)學(xué)概念變得具體可見.能夠引導(dǎo)學(xué)生使用科學(xué)思維理解問題，通過直觀演示自主獲取問題的答案，進而抓住知識的本質(zhì)，學(xué)生的動手能力、思考能力、創(chuàng)新能力得到鍛煉，教學(xué)重難點也可迎刃而解.

參考文獻：

[1] 中華人民共和國教育部.普通高中數(shù)學(xué)課程標(biāo)準(zhǔn)（ 2017年版2020年修訂）［M］.北京：人民教育出版社，2020.

[2] 王凱.芻議“爪”形圖在平面向量共線問題中的處理策略[J].教學(xué)考試，2021（2）：3.

［責(zé)任編輯：李璟］