等效轉化思想在“液面照亮區域面積問題”中的應用

楊高軒

高中物理科學思維是從物理學視角對客觀事物本質屬性、內在規律及相互關系的認識方式;是基于經驗事實建構理想模型的抽象概括過程;是分析綜合、推理論證等科學思維方法的內化。等效轉化是一種建構模型的重要思維方法，要求從兩個事物之間的等同效果出發，把復雜的物理問題等效轉化為簡單的物理問題，從而找到解決問題的途徑。

將光源置于液體中，光在液面處會發生折射或全反射，從液面上方觀察，有部分液面區域有光線射出而被照亮，如何計算這部分區域的面積呢？ 下面我們就一起來探討吧！

一、點光源

點光源發出的光是輻射狀的，若空間足夠大，則是以點光源為球心的球體，對于液面而言，被光照亮的部分是以點光源的正上方對應的點為圓心的圓形。

1.單色點光源。

例1 如圖1 所示，半徑為R 的圓柱形玻璃容器中裝有折射率為根號下2的透明液體，底面圓心O 處有一點光源，容器的高度h 是截面半徑R 的一半。從圓柱形玻璃容器上表面觀察，液面被光照亮的面積是多少？ （用R 表示）

分析：設點光源的正上方對應的點為O'，從點光源射到液面A 點和B 點的兩條光線如圖2甲所示，根據幾何關系得∠2>∠1，即從O'點向外光線的入射角逐漸增大，當入射角等于發生全反射的臨界角C 時，點光源發出的光在液面處恰好發生全反射。如圖2乙所示，設液面上恰好發生全反射的位置為D 、D'點，則液面被光照亮的部分是以O'為圓心、以O'D（O'D'）為半徑的圓形。

解：根據折射定律得sin C =1/n，解得C=45°。根據幾何關系得tan C=O'D/h ，解得O'D =h =R/2。因此液面被光照亮的面積S=πR2/4 。

2.復色點光源。

例2 如圖3甲所示，S 是水下深度為d 處的一個點光源，它發出兩種單色光a 和b，在水面上形成了一個被照亮的圓形區域，其中間區域為復色光形成的，周邊的環狀區域為單色光形成的，如圖3乙所示（俯視圖）。已知水對單色光a 和b 的折射率分別為n1和n2（n1

分析：設點光源S 的正上方對應的點為O，根據折射定律sin C=1/n可知，單色光a 發生全反射的臨界角Ca 大于單色光b 發生全反射的臨界角Cb。如圖4 所示，設單色光a在A、A'點恰好發生全發射，單色光b 在B、B'點恰好發生全反射，則單色光a 在水面照亮的區域是以O 為圓心、以OA （OA'）為半徑的圓形，單色光b 在水面照亮的區域是以O 為圓心、以OB（OB'）為半徑的圓形，環狀區域內只有單色光a。