一般觀念統領下的初中數學探究活動課

鄭為勤 蔡海濤

基金項目：福建省中青年教師教育科研項目（基礎教育研究專項）《新課標視域下培育學生數學能力的初高中銜接教學模式研究》（JSZJ22115）；三明學院 2023 年面向三明市基礎教育合作項目《三明學院與三明一中陳景潤初中部“三習”教育實踐體系構建研究》（課題編號：SMJY2325）的研究成果.

“一般觀念”是指對本學科學習和研究具有廣泛、持久、深刻影響的基本數學思想方法和基本思維策略［1］.數學教學中，為幫助學生獲得“四基”，發展“四能”，教師可以通過探究活動的選擇與設計，課堂活動的規劃與開展，引導學生在掌握知識與技能的同時，感悟數學思想，培養思維能力，積累活動經驗，發展核心素養.初中階段的“圖形與幾何”包括“圖形的性質”“圖形的變化”“圖形與坐標”三個主題，從演繹推理、運動變化、量化分析研究圖形的基本性質和相互關系.筆者以一般觀念統領，設計“坐標與旋轉”探究活動課，下呈現本節課的教學過程與反思，期拋磚引玉.

1? 教學實施

1.1? 復習引入

填空：（1）已知點M和點N關于x軸對稱，點M（2，3），則點N的坐標是；

（2）已知點M（2，a），點N（a+b，3）.若點M和點N關于y軸對稱，則a=，b=；

（3）在平面直角坐標系中，將點A（3，2）向右平移2個單位長度，再向下平移3個單位長度，則平移后點的坐標是.

設計意圖：引導學生回憶已學習過的兩種圖形變換，在復習“坐標表示平移”“坐標表示軸對稱”相關知識點的過程中，促進學生回憶在前面的學習中是如何探索、總結用坐標表示對稱、平移的.點的幾何變換有對稱、平移、旋轉.學習旋轉后，應該能想到提出新的問題：能用坐標表示旋轉嗎？類比對稱、平移的研究，把問題特殊化為“一個點繞定點旋轉一個定角度后的坐標”.

1.2? 自主探究

操作探索：把點P（a，b）繞原點順時針旋轉90°，點P的對應點P′的坐標是什么？

引導學生可以從特殊的點入手，在格點紙上完成以下步驟：

畫圖：把點M（3，4）繞原點順時針旋轉90°后的對應點的坐標是.

觀察：把點M（3，4）繞原點順時針旋轉90°后的對應點的坐標是（4，-3）.

學生小組合作，小組中四人分別在格點紙上描不同象限的點，畫出它繞原點順時針旋轉90°后的對應點，并寫出坐標；收集旋轉前后點的坐標填入表格，觀察旋轉前后的坐標間有什么聯系.

圖1

猜想：點P（a，b） 繞原點順時針旋轉90°后的對應點P′的坐標是（b，－a），驗證猜想是一個從特殊到一般的過程.如圖1，假設點（a＞0，b＞0），畫出旋轉后的點P′.通過作垂線把點的坐標與線段長聯系起來，并構造全等三角形，得到對應線段的長，從面確定出旋轉后的點P′的坐標是（b，－a）.

設計意圖：該環節自主探究的內容是把點P（a，b）繞原點順時針旋轉90°后對應點P′的坐標是什

么？運用了“特殊與一般”“操作——觀察——猜想——驗證”的探究策略，讓課堂充滿了挑戰性、探究性和思維性，同時引導學生從解決問題的角度方法、思維策略等方面進行反思和歸納，尋求問題解決的規律和思維方法，有效滲透數學思想，發展學生抽象素養.

圖2

1.3? 類比遷移

例1? 如圖2，把點P（3，4）繞點（1，0）順時針旋轉90°后對應點的坐標是什么？

分析：（法一）類比繞原點旋轉求點坐標的思路，如圖3，構造“一線三直角”，從三角形圖3全等中得線段長PC=O′D=2，O′C=P′D=4，進一步得OB=2，P′B=5，再結合點所在的象限寫出點P′的坐標為（5，-2）.

（法二）如圖4，把點P（3，4），點（1，0）均向左平移1個單位，圖4問題也可變式為點M（2，4）繞原點順時針旋轉，得旋轉后點M的坐標（4，-2），再平移回原有的位置確定點P′坐標（5，-2）.

（法三）用轉化的方法，如圖5，把y軸向右平移1個單位，那么問題就變式為點（2，4）繞原點順時針旋轉，得旋轉后點的坐標為

圖5

（4，-2），再考慮旋轉后的點P′在原直角坐標系中的坐標為（5，-2）.

拓展：（選做）

（1）把點P（a，b）繞點（1，0）順時針旋轉90°后對應點的坐標是什么？

（2）把點P（a，b）繞點（0，1）順時針旋轉90°后對應點的坐標是什么？

（3）把點P（a，b）繞點（1，1）順時針旋轉90°后對應點的坐標是什么？圖6

設計意圖：本環節通過類比第二環節，著力探索當旋轉中心改變時如何用坐標表示，既檢驗對基本的思路、通性通法的掌握程度，同時滲透轉化化歸的數學思想.

1.4? 綜合運用

例2? 如圖6，在平面直角坐標系中，直線y=2x+4分別與x軸、y軸交于點A、B，將直線AB繞點A順時針旋轉90°后，所得直線表達式為.

分析：易得點坐標為A（-2，0），點B坐標為（4，0）.

根據“兩點確定一條直線”，所以要確定旋轉后直線的表達式，只需再確定一個點的坐標，再用待定系數法求旋轉后直線的表達式即可.圖7

（法一）如圖7，先確定點B（4，0）繞點A（-2，0）順時針旋轉90°后的點B′的坐標為（2，-2）；用點A、B′確定旋轉后直線的解析式.

（法二）如圖8，由直角平面坐標系和旋轉提供的直角，AO是Rt△ABC斜邊上的高.這個

圖8

基本圖形中已知AO=2，BO=4，由勾股定理、三角形相似可得OC長是1，即求出旋轉后直線與y軸的交點C坐標（0，-1），用點A、C確定旋轉后直線的解析式.

設計意圖：該環節有機地結合函數與直線的旋轉，除了用本節課的知識方法外，還引導學生關聯拓展到以前學習的知識方法，是一道綜合運用題.在題目中的90°角，可以有“構造全等三角形”“利用勾股定理”等解題思路.有的學生還可以直接由垂直關系得k1k2=－1，確定旋轉后直線的斜率，再代入A點坐標即可.方法的多樣性可以激發培養學生的發散思維.在探究過程中，學生的數學思維在原有的基礎上自然生長，形成解決問題有方向、思考問題有思路、解決問題有策略的思考能力.

1.5? 課堂小結

今天我們學到了什么？你有什么質疑和發現？

設計意圖：從知識層面小結本課內容包括：點的三種幾何變換：軸對稱、平移、旋轉；探索用坐標表示旋轉，并運用結論解決問題；從思想、方法層面本課涉及用從特殊到一般，類比、轉化等；預設學生能提出問題：如點P（a，b）沿直線y=x或y=－x翻折后的點的坐標是什么？把點P（a，b）繞原點順時針旋轉45°，點P的對應點P′的坐標是什么？

2? 教學思考

2.1? 以“一般觀念”解鎖提出問題新密碼

學生在數學思維活動中，主要表現形式為提出問題和解決問題［2］.在北師版教材中，“用坐標表示軸對稱”研究了“點關于x軸、y軸對稱的點的坐標表示”.學習完平移后研究了“點沿x軸、y軸平移后的坐標表示”.因此，學習旋轉后，學生能提出“如何用坐標表示旋轉”這樣的問題.圍繞“變換的定義——變換的性質——變換的作圖——變換的表示”，形成研究變換的“一般觀念”.類比前面的研究，對稱確定特殊的對稱軸，平移確定特殊的平移方向，旋轉三要素中也確定特殊的旋轉中心——原點，研究一些特殊的旋轉角度——如90°.從“一個點繞原點順時針旋轉90°后的點的坐標表示”這個特殊問題入手，運用“一般觀念”，經歷“操作——觀察——猜想——驗證”，得到結論：點P（a，b）繞原點順時針旋轉90°后的對應點P′的坐標是（b，－a）.改變三要素中的旋轉中心，把“繞原點”變式為“繞（1，0）、（0，1）、（1，1）等坐標軸上的點或是坐標系里的任意點”，把旋轉方向從順時針變式為逆時針，把旋轉角度變式為180°、270°、360°等，學生沿這一思路可以提出一系列問題.在這個過程中，學生不斷提出新問題，興奮的發現了數學中可以探究的內容、如何探究的方法，由此激發了學習興趣，實現了“授之以漁”.

2.2? 以“類比轉化”促進問題解決新發展

類比、轉化是重要的數學思想，日常教學中應經常滲透.通過類比、轉化，各種經驗得到了溝通，經驗結構得到了整合.類比、轉化好比在新舊知識間架設的橋梁，它不僅促進了學生對于知識的掌握，也幫助學生形成問題解決的“一般觀念”.例1中旋轉中心是（1，0），學生類比“繞原點旋轉的點坐標確定”的思路，構造一線三直角，還想到通過把點（3，4）向左平移或是把y軸向右平移，達到把“繞（1，0）旋轉”轉化為“繞（0，0）旋轉”的目的.例2要確定直線旋轉后的解析式，學生通過確定點B繞點A順時針旋轉90°后的點B′的坐標或是確定旋轉后直線與y軸的交點C坐標來解決問題.體現了學生掌握化繁為簡、化難為易、化未知為已知的數學方法，形成了舉一反三的解決問題的能力，并從中對培養其幾何直觀、抽象能力、推理能力等素養起到積極的作用.類比、轉化的運用還滲透了辯證唯物主義觀點的教育，使學生了解事物普遍聯系和對立統一，有利于學生辯證思維能力的形成.

2.3? 以“能力發展”彰顯探究活動新樣態

能力，是完成一項目標或任務所體現出來的素質.其中數學能力又是針對數學學習過程中的一種特殊能力.如果學生的數學能力足夠高，就會根據不同的題目使用不同的方法，甚至是最優的方法.本節課考慮不同層次學生能力的發展需求.首先是起點低，已知點在格點紙上的旋轉是比較容易完成的.為了讓基礎弱點的學生也能掌握，對旋轉畫圖進行了演示.幾個環節的設置由易到難，且解法有一致性，中等生可以拾階而上；課堂中穿插學有余力的學生才需要完成的練習，一題多題的設置，作業分層布置，是為了讓優生“吃得飽”，培養思維能力.杜威在《民主主義與教育》中指出：教育就是經驗的改造或改組，這種改造或改組，既能增加經驗的意義，又能提高指導后來經驗進程的能力.在探究過程中，從繞原點旋轉變式為繞（1，0）旋轉，從點的坐標確定變式為直線解析的確定，從單一的構造三角形全等到可以聯想勾股定理，此“能力發展”方式，可形成設計探究活動的“一般觀念”.這一探究活動設計策略能指導學生以后獨立研究一類數學對象、一類數學問題，實現了學生學習的可持續發展.

參考文獻

［1］李昌官.為發展學科 一般觀念而教——兼談解析幾何復習起始課教學［J］.數學通報，2019，58（9）：11-15.

［2］張乃達.問題：數學思維活動的載體［J］.中學數學月刊，2019（3）：10-12.