一道圓錐曲線題解法賞析

呂小娟

題目? 已知等軸雙曲線C：x2－y2=2，其左，右頂點分別為A，B，過點2，0的直線l交雙曲線C于D，E兩點（不與A，B重合），直線AD與直線BE的交點為P，證明：點P在定直線上，并求出該定直線的方程.

圖1

解法1：如圖1，當直線DE的斜率存在時，設直線DE的方程為y=kx－2，Dx1，y1，Ex2，y2，聯立方程y=kx－2，

x22－y22=1， 消去y得k2－1x2－4k2x+4k2+2=0，

則k≠±1，且Δ=16k4－4k2－14k2+2=8k2+8>0，可得x1+x2=4k2k2－1，x1x2=4k2+2k2－1，

直線AD的方程為y=y1x1+2x+2，直線BE的方程為y=y2x2－2x－2，

點P是直線AD與直線BE的交點，則y2x2－2x－2=y1x1+2x+2，

所以x－2x+2=x1－2x2－2x2－2x1+2=x1x2－2x1－2x2+22x1x2－2x1+2x2－22=x1x2－2x1+x2+22+2－2x2x1x2－2x1+x2－22+2+2x2=4k2+2k2－1－2×4k2k2－1+22+2－2x24k2+2k2－1－2×4k2k2－1－22+2+2x2=1－21+2，解得x=1；當直線DE的斜率不存在時，直線DE的方程為x=2，不妨設D2，2，E2，－2，所以直線AD的方程為y=22+2x+2，直線BE的方程為y=－22－2x－2，點P是直線AD與直線BE的交點，所以22+2x+2=－22－2x－2，解得x=1.綜上所述，點P在定直線x=1上.

解法2：設l：x=my+2，Dx1，y1，Ex2，y2，∴AD：x=x1+2y1y－2，x21－y21=2，BE：x=x2－2y2y+2，x22－y22=2. 此時若簡單聯立，將出現不對稱的韋達形式. 分析原因在于2和－2有區別，考慮消除區別. AD：x+2=x1+2y1y， BE：x－2=x2－2y2y. 此時y系數仍不同，再分析2與2的特殊關系，以及次數狀態. 聯立兩式平方得x + 2x-22 = x1? + 22y1 2 · y2 2x2 -22 = x1? + 22x1 2-2 · x2 2-2x2 -22 = x1? + 2x2? + 2x1 -2x2 -2.

形成了標準韋達形式，所以x+2x－22=x1x2+2x1+x2+2x1x2－2x1+x2+2=－4－2m2m2－1+2·－4m2－1+2－4－2m2m2－1－2·－4m2－1+2=－6－42－6+42

=3+223－22=3+222，依題意得x<2， x+22－x=3+22x=1.

解法3：DE不過－2，0， 設DE：mx+2+ny=1， 又∵x2－y2=2x+2－22－y2=2， x+22－22x+2－y2=0. 聯立上兩式得x+22－22x+2mx+2+ny－y2=0

x+22－22mx+22－22x+2ny－y2=01－22mx+22－22nx+2y－y2=01－22m－22nyx+2－yx+22=0.∴kAD·kAE=22m－1.而DE：mx+2+ny=1過2，0.

∴m=12+2kAD·kAE=222+2－1=2－22+2=22－3，

而由于A，B關于原點對稱，E在雙曲線上，所以kAE·kBE=22=1， kADkBE=22－3kPAkPB=22－3.設動點ps，t， 則t－0s+2t－0s－2=22－3s－2s+2=22－3s=1，所以P在定直線x=1上.

解法4：設 l：y=kx－2，D（x1，y1），E（x2，y2），A－2，0，B2，0，由D在雙曲線上可得x21－y21=2，可變形為x1－2y1=y1x1+2①.

聯立方程y=kx－2，

x2－y2=2 消去y得k2－1x2－4k2x+4k2+2=0k≠±1②.

由于x1，x2為方程兩根，則（k2－1）（x－x1）（x－x2）=k2－1x2－4k2x+4k2+2.直線AD的方程為y=y1x1+2x+2=x1－2y1x+2，直線BE的方程為y=y2x2－2x－2，聯立得x－2x+2=x2－2x1－2y1y2=x2－2x1－2k2x1－2x2－2，在②式中令x=2，則x1－2x2－2=6－42k2k2－1，令x=2，則x1－2x2－2=－2k2k2－1. ∴x－2x+2=22－3，解得x=1.

針對本題，上文給出了四種解法，法1為通法，反映了解幾問題求解的一般方法，其思路清晰，但計算量偏大；而法2至法4屬優解，解法中充分考慮到問題條件中的“量”與“式”的關系，并由此構造出“韋達標準式”、“齊次化交點式”及“雙根法”等特殊解法.這些解法大大豐富了解幾問題求解的思路和技法，值得大家學習研究.