巧用對稱軸 速解三角題

蔣青松 葉國芳

在三角函數y=Asinωx+φ或y=Acosωx+φ的圖象中，其單調性在對稱軸處發生轉折，如果我們在解題中能巧妙利用對稱軸，找到一些相等或不等關系，能使問題迎刃而解，達到速解目的.現舉幾例，供大家參考.

例1? 已知函數f（x）=cos（2x+φ）（0<φ<π）的圖像關于x=2π3對稱，則（? ）.

A.f（x）在0，5π12上單調遞減

B.f（x）在－π12，11π12上有兩個極值點

C.直線x=7π6是y=f（x）的對稱軸D.直線y=－3x－12是y=f（x）的切線

解：直線x=kπk∈Z是y=f（x）的對稱軸，故有2·2π3+φ=kπ，又0<φ<π，故取φ=2π3，所以f（x）=cos2x+2π3.令z=2x+2π3，因為x∈0，5π12，則z∈2π3，3π2，此時y=cosz不單調，故A錯； 當x∈－π12，11π12，則z∈π2，5π2，此時y=cosz有兩個極值點，故B正確；當x=7π6時，f（x）=cos2·7π6+2π3=cos3π=－1，直線x=7π6是y=f（x）的對稱軸，故C正確；當y=－3x－12時，可令f′（x）=－2sin2x+2π3=－3，解得x=kπ或x=－π6+kπk∈Z.取x=0，則f0=cos2·0+2π3=－12，此時取x=0時的切線方程是y－－12=－3x－0，即y=－3x－12，故D正確.綜上選BCD.

評注： 本題利用已知條件和余弦函數圖象的對稱軸x=kπk∈Z求得φ=2π3，從而進一步確定f（x）的具體解析式，使得問題得以破解.這里，對稱軸x=kπ起到了舉足輕重的地位.

例2? 函數f（x）=sinωx+π4ω>0在0，π2內有唯一零點的充分條件是（? ?）.

A.f（x）的最小正周期為π

B.f（x）在0，π2內單調

C.f（x）在0，π2內有且僅有一條對稱軸

D.f（x）在0，π2內的值域為－1，1

解： f（x）的最小正周期為π時，ω=2，故易驗證f（x）=sin2x+π4在0，π2內有唯一零點.所以選A;而對于BCD，注意到f0=22，作出f（x）在x>0上的圖象，設x=x0是函數f（x）=sinωx+π4ω>0，x>0的圖象最靠近y軸的對稱軸，若f（x）在0，π2內單調，則有 x0>π2，故沒有零點，不能選B;若f（x）在0，π2內有且僅有一條對稱軸，則有 x0<π2

評注：對于選項BCD，由于引進函數圖象的對稱軸x=x0使得圖象的增減性以及圖象與x軸的交點個數一目了然，達到速解的效果.

圖1

例3? 如圖1，已知函數f（x）=2sin（ωx+φ）（ω>0，0<φ<π2）的圖象，f（x1）=f（x2）=－32，則（? ）.

A.ω=π6????? B.φ=π6

C.fx1+x2=1D.cosπ6x2－x1=34

圖2

解：由圖2可得f0=1，f52=0， 分別代入函數f（x）=2sinωx+φ（ω>0，0<φ<π2） 得φ=π6，ω=π3，故選B不能選A； 令x0=x1+x22，則x=x0是函數f（x）=2sinπ3x+π6的圖象的對稱軸，故fx0=2sinπ3x0+π6=－2，所以sinπ3x0+π6=－1，從而cosπ3x0+π6=0，f（x1+x2）=2sinπ3x1+x2+π6=2sin2π3x0+π6=2sin2π3x0+π12=4sinπ3x0+π12cosπ3x0+π12=4sinπ3x0+π6－π12cosπ3x0+π6－π12 =4sinπ3x0+π6cosπ12－cosπ3x0+π6sinπ12·cosπ3x0+π6cosπ12+sinπ3x0+π6sinπ12，又sinπ3x0+π6=－1，cosπ3x0+π6=0，所以上式變為fx1+x2=4－1cosπ12－00－1sinπ12=4sinπ12cosπ12=2sinπ6=1，所以fx1+x2=1，故選C；又由已知f（x1）+f（x2）=－3，故2sinπ3x1+π6+sinπ3x2+π6=－3，運用和化積，得2×2sinπ3·x1+x22+π6cosπ3·x1－x22=－3，

2×2sinπ3·x0+π6cosπ6·x1－x2=－3，又sinπ3x0+π6=－1，所以上式變為cosπ6·x1－x2=34，故選D.綜上，選BCD.

評注：對于選項CD，由于引進函數圖象的對稱軸x=x0，使得未知的x1+x2，轉化為已知的f（x0）=2sinπ3x0+π6=－2，然后運用角的變換得解.

上述3例中，例1的函數的圖象的對稱軸是可以具體求得的，而例2與例3的函數的圖象的對稱軸是虛擬的、假設的，但所起的作用是關鍵的因而后面兩例的難度稍大.從中可以看到，在解一些三角題時，其函數圖像的對稱軸是一個及其重要的考慮因素，有時能達到速解的目的.