一道導數好題的優解

謝小平

題目? 已知函數f（x）=x－lnx，若f（x1）=f（x2）=a，其中x1≠x2.

（1）求a的取值范圍；

（2）證明：x1+x1x2+x2>3.

這是2023年湖北六校新高考聯盟學校高三11月聯考的壓軸題，此題得到了老師的好評，該題題干設置精煉，設問精巧.突出考查了導數在研究函數單調性的應用，多變量不等式的處理，解法凸現了通性通法，標答可在網上進行查詢.筆者通過研究，得到以下優解.

優解：先證明對一切不相等的正實數x1，x2，都有x1·x2

不妨設x2>x1>0，要證：x2－x1lnx2－lnx12（x2－x1）x1+x2=2（x2x1－1）x2x1+1，再令t=x2x1，（t>1），即證lnt>2（t－1）t+1，（t>1）.

記g（t）=lnt－2（t－1）t+1，（t>1），則g′（t）=（t－1）2t（t+1）2>0，（t>1），所以g（t）在（1，+∞）上單調遞增，故g（t）>g（1）=0，即當? t>1時，有ln? t>2（t－1）t+1.

由題知x1－lnx1=x2－lnx2，即得1=x2－x1lnx2－lnx1

由1=x22－x12lnx22－lnx121=（x2－x1）（x2+x1）2（lnx2－lnx1）x2－x1lnx2－lnx1=2x2+x1，

再由對數平均值不等式可得x2－x1lnx2－lnx1=2x2+x1

即得（x2+x1）22>2，即x1+2x1x2+x22>2，又x1+x22>1，從而有x1+x1x2+x2>3，證畢.

題目的結構是容易聯想到對數平均值不等式，此法是在充分觀察式子結構的基礎上，對式子進行代數變形，即x1+x1x2+x2=x1+x22+（x1+x2）22，巧用對數平均值不等式，即用x1，x2代替對數不均值不等式中的x1，x2，一氣呵成.且在求證的過程中，體現了轉化與化歸思想，運算量明顯減小，充分體現了多思少算的考查要求.所以我們平時的教學要注重學生知識的儲備，提升學生的觀察能力、代數結構變形能力，即培養學生分析問題與解決問題的能力和鉆研精神，落實核心素養.