高中數學試題的命制與實踐過程

本文系2022年龍巖市基礎教育教學研究課題“在新教材中滲透經典文化、挖掘數學精神的策略研究”（編號：JKYJX22-036）、2023年龍巖市高級中學教育組團課題“高中數學試題命制的實踐研究”的階段性研究成果.

1? 引言

高中數學課程標準明確指出，“學業質量是學生自主學習與評價、教師教學活動與評價、教材編寫的指導性要求，也是相應考試命題的依據.”還強調“命題應依據學業質量標準和課程內容，注重對學生數學學科核心素養的考查”“選擇合適的問題情境”，還要求“融入數學文化”.因此試題命制要通盤考慮，應預先設置細目表，如知識點的覆蓋面、試題情境的創設、多維度切入、思想方法與核心素養的滲透、試題的難易度等.

2? 試題命制的依據及原則

《課程標準》和教材是試題命制的重要依據，教材具有典型性、示范性和拓展性，近年高考題是高考的風向標，具有導向性、標準性、普適性、遷移性.根據學情確定考查內容、難度，結合核心素養、思想方法，全卷統籌，設置細目表，創設試題情境，形成初稿，然后打磨、多次修改，最后定稿.試題命制過程中應遵循科學性、嚴謹性、基礎性、梯度性及原創性原則.

3? 試題命制的主要途徑

（1）改編好題

目前，多數教師直接采用原題組卷，主要原因有命題經驗缺乏、精力不足、生怕改編有誤等.筆者以為，平時有意識改編試題有助于自身專業成長，在命題專家或優秀教師的指導下，能較快掌握改編試題的技巧，如改編數字、置換情境、變換問題、類比遷移、增加題干長度等，為后續命制原創題做好鋪墊.

例如? （2023年高考全國甲卷文科第4題）某校文藝部有4名學生，其中高一、高二年級各2名．從這4名學生中隨機選2名組織校文藝匯演，則這2名學生來自不同年級的概率為（? ）.

A.16??? B.13??? C.12 ????D.23

在學習古典概型后，或高三復習時，置換試題情境改編為：某校勞衛部有5名學生，其中高一、高二年級分別有2名、3名．現從這5名學生中隨機抽調2名組織校勞動衛生大檢查，則這2名學生來自不同年級的概率為.

（2）創設情境

“三新”背景下的數學命題有較大的變化，譬如，課標的修訂、文理同卷、教材內容增刪、設置多選題與雙空題、結構不良問題等，命題者命題時需要考慮不同學生群體的特點，落實核心素養，貫徹立德樹人、五育并舉，經典文化、美學、科技成就、生活模型、科學研究、勞動生產、跨學科融合等，均可作為試題命制的真實情境.

例如，在考查計數原理時，挖掘中國元素與數學的契合點，結合經典文化作為命題背景，弘揚中國優秀傳統文化，增強文化自信，開闊學習視野，提升文化素養和審美意識，可以這樣命題：

為弘揚《詩經》的“六義”文化，某校計劃在校本選修課中開設“賦”、“比”、“興”、“風”、“雅”、“頌”六門體驗課程，每天開設一門，連續開設6天，則（? ）.

A．從六門課程中選兩門的不同選法共有30種

B．課程“雅”不排在第三天的不同排法共有720種

C．課程“風”、“頌”排在不相鄰兩天的不同排法共有288種

D．課程“賦”、“比”、“興”排在不都相鄰的三天的不同排法共有576種

4? 一道試題的命制歷程

筆者參與學校2022～2023學年第一學期高二期末市統考命題，對單選題第8題的命制幾易其稿，并與命題組成員深入打磨，以下是該題命制歷程.

第8題考查內容為數列，處于壓軸題位置，既要讓優秀學生能夠發揮解題實力，又要成為他們的攔路虎，因此命題組確定“難度估計值為0.3、改編題”.筆者經過深思、翻閱和挑選，選中一道原題作為改編題.

原題? 記Sn是各項均為正數的數列{an}的前n項和，a1=1，且an=Sn+Sn-1（n≥2）.

（1）求數列{an}的通項公式；（2）證明：當n≥2時，1a1+12a2+13a3+…+1nan<32.

命題意圖：考查an與Sn的遞推關系、等差數列的通項公式與求和公式、裂項相消求和等.經解題與研究，抽絲剝繭觸本質，優化解題過程與方法，知曉數列{an}是等差數列，可充分考查裂項相消求和、放縮法，讓教學與考試達成“出乎意料之外，但在情理之中”，解題思路有跡可循，有法可依，有養可查，對考場發揮與信心提升起著正面作用，于是修改原題的某些數據，不改變解題方法，用數學眼光、數學思維、數學語言命題，形成第一稿.

第一稿：記Sn是各項均為正數的數列{an}的前n項和，a1=4，且an=2（Sn+Sn-1）（n≥2），則下列選項錯誤的是（? ）.

A．an=8n－4??? B．Sn=4n2C．∑nk=11Sk<85??? D．∑nk=1ak+1SkSk+1<14

提交命題組長后，組長認為各選項設置基本合理，但是沒有亮點，且選項易被驗證，提議增加題干長度，適當包裝題目，提高選項難度，增設最值問題.于是，筆者引入數列{bn}，置換選項，增加最值選項，形成第二稿.

第二稿：記Sn是各項均為正數的數列{an}的前n項和，a1=4，數列{bn}滿足bn=Sn，且an=2（bn+bn－1）（n≥2），則下列選項錯誤的是（? ）.

A．an=8n－4??????? B．∑nk=11Sk<4125

C．數列{an（2）bn}的最大項為3? D．∑nk=1ak+1SkSk+1<14

再次磨題，認為：選項B難度較大，涉及高數內容∑+∞n=11n2=π26，稍微降低難度；選項C則過于簡單，應該設置到n=6或其之后，或者改變底數，進而增加檢驗難度或檢驗過程.于是，與命題組的老師合作探究，對底數多次設置不同數值，逐一驗證，最后認為選擇79作為底數比較合理，于是形成第三稿.

第三稿：記Sn是各項均為正數的數列{an}的前n項和，a1=4，數列{bn}滿足bn=Sn，且an=2（bn+bn－1）（n≥2），則下列錯誤的是（? ）.

A．an=8n－4??? B．∑nk=11Sk<512

C．數列{（79）12bnan}的最大項為6860729

D．∑nk=1ak+1SkSk+1<14

命題組長親自做了一遍，比較滿意選項的設置，但認為選項B可從多種放縮的角度進行裂項相消求和來設置具體數值，∑nk=11Sk<512是從第3項開始放大，難度偏大.命題組長的建議讓筆者想起拙文《放縮法失效了？》［2］，在多種放縮方式、哪項開始放縮的角度去斟酌，決定從n2>n2－1、n2>n（n－1）、n2>n2－14三種放縮方式中挑選第1種、且從第2項開始放大來設置，當然第3種方式也可以達成解題目標，這也促成解題的切入點寬.至此形成第四稿，即定稿.

定稿：記Sn是各項均為正數的數列{an}的前n項和，a1=4.數列{bn}滿足bn=Sn，且an=2（bn+bn－1）（n≥2），則下列選項錯誤的是（? ）.

A．an=8n－4??? B．∑nk=11Sk<716

C．數列{（79）12bnan}的最大項為6860729

D．∑nk=1ak+1SkSk+1<14

即使考查相同知識點，但在不同位置、不同層次，命題方式肯定也不一樣.只有經常磨課標、磨教材、磨題、磨人，查缺補漏，關注熱點，推陳出新，以核心素養為導向，培養學生的綜合能力，在試題情境設置上，我們才能命制更適合學情的試題，符合“教—學—評”的一致性，這樣的試題才更有價值.“核心價值金線”貫穿高考命題和評價的始終，“能力素養銀線”成為高考命題和考查的重心，而“情境”作為考查載體，是“金線”和“銀線”的串聯線，今后的試題情境設計必會越發新穎，因此應加強命題培訓，積極開展試題評價，不斷提升命題能力，讓命題有效助力教學，轉化為教學實踐.

參考文獻

［1］中華人民共和國教育部.普通高中數學課程標準（2017年版2020年修訂）［S］.北京：人民教育出版社，2020.

［2］謝盛富.放縮法失效了？［J］.福建中學數學，2017（5）：46-47.