一道高考不等式選考題的探究

李亞文 江玉文

1? 試題呈現

題目? 已知a，b，c，且a32+b32+c32=1，證明：（1）abc≤19； （2）ab+c+ba+c+ca+b≤12abc.（2022年高考全國乙卷理科23題）

2? 解法分析

本試題可以采用高中常用的三種基本的不等式證法：三元均值不等式、冪平均不等式、構造函數切線法進行證明.

證明：（1）（證法1）因為a，b，c，為正數，由三元均值不等式得a32+b32+c32≥33a32b32c32=3abc，所以3abc≤1，即abc≤19，當且僅當a=b=c=3－23時取等號.

（證法2）由三元AM-GM不等式得abc=（3a32b32c32）2≤（a32+b32+c323）2=19.

（證法3）由冪平均不等式得3abc≤（a32+b32+c323）23，所以3abc≤（13）23.于是abc≤19，當且僅當a=b=c=3－23時取等號.

（證法4）欲證abc≤19，即證lna+lnb+lnc≤－2ln3， 即證lna32+lnb32+lnc32≤－3ln3，令f（x）=lnx，由f″（x）<0得f（x）是上凸函數.由琴生不等式得f（a32）+f（b32）+f（c32）≤3f（a32+b32+c323）=3f（13）=－3ln3，當且僅當a=b=c=3－23時取等號.

（2）（證法1）由二元AM-GM不等式得ab+c+ba+c+ca+b≤a2bc+b2ca+c2ab=12abc·（a32+b32+c32）=12abc，當且僅當a=b=c=3－23時取等號.

（證法2）欲證ab+c+ba+c+ca+b≤12abc成立，只需證a32bcb+c+b32aca+c+c32aba+b≤12，又因為b+c≥2bc，a+c≥2ac，a+b≥2ab，所以a32bcb+c+b32aca+c+c32aba+b≤a32bc2bc+b32ac2ac+c32ab2ab=a32+b32+c322=12，當且僅當a=b=c=3－23時取等號.

3? 考題背景探究

本題的背景是著名的Nesbitt不等式：設x，y，z是正實數，則xy+z+yz+x+zx+y≥32 ①.

將不等式①適當變形即可得到2022年高考全國乙卷理科23題，具體過程如下：

由不等式①可得

x2yz+y2xz+z2xy≥xy+z+yz+x+zx+y≥32 ②.

于是得x2yz+y2xz+z2xy≥32，（x2yz+y2xz+z2xy）·2xyz≥32×2xyz，（x32+y32+z32）≥3xyz，（x32+y32+z32）2≥9xyz，xyz≤19（x32+y32+z32）2 ③.

所以由③式得到考題第（1）問.

由②式得xy+z+yz+x+zx+y≤x2yz+y2xz+z2xy，xy+z+yz+x+zx+y≤12xyz·（x32+y32+z32） ④.所以由④式得到考題第（2）問.

4? Nesbitt不等式的變式

筆者由Nesbitt不等式進行變式，得到：

變式1? 設a，b，c是正實數，且11+a+11+b+11+c=2，則有a+b+c≥32.

變式2? 設a，b，c是正實數，且a+b+c+2=abc，則有a2+b2+c22≥ab+bc+ca.

變式3? 設a，b，c是正實數，且a+b+c+abc=4，則有abc+bca+cab≥a+b+c.

變式4? 設a，b，c是正實數，且a+b+c=1，則有a1－a+b1－b+c1－c≥32.

變式5? 設a，b，c是正實數，則有（a－b）2（c+a）（c+b）+（b－c）2（a+b）（a+c）+（c－a）2（b+c）（b+a）≥（a－b）2a2+b2+c2.

變式6? 對滿足a+b+c=3的非負實數a，b，c，則有a+33a+bc+b+33b+ca+c+33c+ab≥3.

變式7? 設a，b，c是正實數，則有2a2b+c+2b2c+a+2c2a+b≥a+b+c.

變式8? 設a，b，c是正實數，且abc=1，則有1a3（b+c）+1b3（c+a）+1c3（a+b）≥32.

變式9? 設a，b，c是正實數，則有a+bc2+b+ca2+c+ab2≥2（1a+1b+1c）.

5? 變式的應用舉例

例1? 設a，b，c為正實數，求證：a3－2a+2b+c+b3－2b+2c+a+c3－2a+2a+b≥32.

證明：因為a3－2a+2≥3a－2a=a等三式，有a3－2a+2b+c+b3－2b+2c+a+c3－2a+2a+b≥ab+c+bc+a+ca+b≥32.

例2? 設a，b，c是正實數，且abc=1，求證：1a2（b+c）+1b2（c+a）+1c2（a+b）≥32.

證明：令a=1x，b=1y，c=1z，則x，y，z>0，且xyz=1，所證等價于x2y+z+y2z+x+z2x+y≥32，由變式7知x2y+z+y2z+x+z2x+y≥12x+y+z≥323xyz=32.

例3? ?設a，b，c是正實數，且a+b+c=1，求證：11－a+11－b+11－c≥92.

證明：由變式4知11－a+11－b+11－c

=a+b+c1－a+a+b+c1－b+a+b+c1－c

=a1－a+b1－b+c1－c+3≥32+3=92.

例4? 設正實數a，b，c滿足ab+bc+ca=3，證明：ab+ca+2b2+bc+ab+2c2+ca+bc+2a2≥16.

證明：因為aa+2b+bb+2c+cc+2a=

a2a（a+2b）+b2b（b+2c）+c2c（c+2a） ≥（a+b+c）2a（a+2b）+b（b+2c）+c（c+2a）=1，所以a（b+c）（a+2b）2+b（c+a）（b+2c）2+ca+bc+2a2=aa+2b2ab+c+bb+2c2bc+a+cc+2a2ca+b ≥aa+2b+bb+2c+cc+2a2ab+c+bc+a+ca+b=12ab+bc+ca=16.

參考文獻

［1］楊春波.Nesbitt不等式的十七種證明［J］.中學數學雜志，2015（05）：34-36.

［2］鄧啟龍.由Nesbitt不等式引發的探究［J］.數學通訊，2020（19）：49-52.