巧思維展開 妙視角拓展

任天天

平面向量數量積的求值或最值（取值范圍等）問題是新高考數學試卷中比較常見的一類基本題型與重要考點．此類問題可以很好實現平面向量中“數”與“形”的和諧統一，巧妙融合“動”與“靜”的兩種狀態，達到平面向量的概念與運算、代數與幾何等不同數學知識模塊之間的交匯與融合，倍受各方關注．

1．真題呈現

（2023年全國乙卷文科·6）正方形ABCD的邊長是2，E是AB的中點，則EC·ED=（? ）.

A．5??? B．3??? C．25??? D．5

此題以正方形為問題背景，結合邊上的定點（中點），確定對應平面向量的數量積的值，很好串聯起平面幾何的“形”的特征與平面向量數量積的“數”的內涵，數形轉化，求解切入點多，主要是根據平面向量數量積自身的知識本質，平面向量中常用的基底思維、坐標思維以及定義思維等來展開與應用，進而得以求解對應的數量積的值．

2．真題多解

解法1：（基底法1）依題知正方形ABCD的邊長是2，E是AB的中點，則|AB|=|AD|=2，AB·AD=0，而EC=EB+BC=12AB+AD，ED=EA+AD=－12AB+AD，所以EC·ED=（12AB+AD）·（－14AB2+AD2）=－14×22+22=3，故選B．

解法2：（基底法2）依題知正方形ABCD的邊長是2，E是AB的中點，則|EA|=|EB|=1，EA·EB=－1，EB·AD=0，EA·BC=0，所以EC·ED=（EB+BC）·（EA+AD）=EB·EA+EB·AD+BC·EA+BC·AD=－1+0+0+2×2=3，故選B．

解后反思：根據平面向量的線性運算的轉化來求解對應的數量積，是平面向量“形”的特征的直觀想象，借助基底的線性轉化與變形，結合數量積的運算來應用，關鍵在于尋覓一組方便求解的基底向量．

解法3：（坐標法）依題知正方形ABCD的邊長是2，E是AB的中點，

圖1

如圖1所示，以點A為坐標原點，AB所在直線為x軸建立平面直角坐標系，則C（2，2），D（0，2），E（1，0），可得EC=（1，2），ED=（－1，2），

所以EC·ED=（1，2）·（－1，2）=3，故選B．

解后反思：根據平面向量的數量積的坐標運算·=x1x2+y1y2來求解對應的數量積，是充分體現平面向量的“數”的屬性的基本特征之一，關鍵在于構建相應的坐標系并確定對應點、向量的坐標．

解法4：（定義法）依題知正方形ABCD的邊長是2，E是AB的中點，可得|CD|=2，|EC|=|ED|=5，在△CDE中，由余弦定理可得cos∠DEC=|ED|2+|EC|2-|CD|22|ED||EC|=5+5-42×5×5=35，所以利用數量積的定義，可得EC·ED=|EC||ED|cos∠DEC=3，故選B．

解后反思：根據平面向量的數量積定義·=||||cos<，>，結合相關的運算來求解對應的數量積是解決此類問題中比較常用的基本方法之一，關鍵在于確定兩相關向量的模以及兩向量之間的夾角．

圖2

解法5：（投影法）如圖2所示，過點C作DE的垂線，垂足為F，

依題知正方形ABCD的邊長是2，E是AB的中點，可得|CE|=|DE|=5，利用等面積法，可得S△CDE=12×5×|CF|=12×2×2，解得|CF|=455，利用勾股定理有|EF|=|CE|2-|CF|2=355，利用投影定義，可得EC·ED=|EF||ED|=3，故選B．

解法6：（極化恒等式法）取CD的中點G，連接EG，依題可知EG⊥CD，|EG|=2，利用極化恒等式，可得EC·ED=14［（EC+ED）2－（EC－ED）2］=14（4EG2－DC2）=|EG|2－14|DC|2=3，故選B．

解法7：（余弦定理的向量式法）依題知正方形ABCD的邊長是2，E是AB的中點，可得|CD|=2，|EC|=|ED|=5，利用余弦定理的向量式，可得EC·ED=12（EC2+ED2－CD2）=12（|EC|2+|ED|2－|CD|2）=12（5+5－22）=3，故選B．

解后反思：抓住平面向量自身“形”的結構特征，從幾何視角切入，可以通過投影定義、極化恒等式、余弦定理的向量式等來處理與平面向量的數量積有關的向量問題．幾何法的本質是平面向量“形”的結合特征的直觀想象，以及一些相關概念、公式與性質的綜合應用，特別是這里涉及的極化恒等式、余弦定理的向量式等，都是教材有益的補充與提升，可以給一些學生提供一些課外提升的空間．

3．變式拓展

保留正方形的問題場景，借助相應邊上的“定點”向相應邊上的“動點”的變化，進而確定相應數量積的最小值或取值范圍問題得變式．

變式1? 正方形ABCD的邊長是2，E是AB邊上一動點，則EC·ED的最小值為．

變式2? 正方形ABCD的邊長是2，E是AB邊上一動點，則EC·ED的取值范圍為．

變式1及變式2的答案分別是3;［3，4］．

保留正方形的問題場景，借助相應邊上的點向一定軌跡上的點的變化，增加問題復雜度，提升問題難度，進而確定相應數量積的取值范圍問題得變式．

變式3? 正方形ABCD的邊長是2，E是正方形ABCD內部（不含邊界）的一個動點，且滿足EA·EB=0，則EC·ED的取值范圍為．

圖3

解析：依題正方形ABCD的邊長為2，建立如圖3所示的平面直角坐標系，

則A（－1，0），B（1，0），C（1，2），D（－1，2），

又E是正方形ABCD內部（不含邊界）的一個動點，且滿足EA·EB=0，則知動點E是單位圓位于正方形ABCD內部的圓弧上的一個點，設E（cosθ，sinθ），θ∈（0，π），則EC·ED=（1－cosθ，2－sinθ）·（－1－cosθ，2－sinθ）=4－4sinθ，而θ∈（0，π），故有sinθ∈（0，1］，即EC·ED=4－4sinθ∈［0，4），故填［0，4）．

4．教學啟示

4．1? 總結思維視角，歸納技巧策略

解決平面向量數量積的求值或最值（取值范圍等）問題，主要圍繞數量積的概念、公式與基本性質等，常見的思維視角包括：（1）定義思維，回歸數量積本質，從最根本的視角來切入與應用，也是解決數量積問題中的根本方法；（2）坐標思維，從“形”的視角進行“數”化，借助建系法，合理將點、向量等進行坐標表示與坐標運算，通過“數”的運算來分析與解決問題；（3）幾何思維，從“數”的屬性進行“形”化，借助幾何法，或基底變形，或利用圖形直觀，通過“形”的直觀來分析與解決問題．

4．2? 倡導“一題多解”，實現“一題多變”

涉及平面向量數量積的求值或最值（取值范圍等）問題，主要可以從定義視角、幾何視角、坐標視角等不同思維視角切入，全方位發散思維，得以“一題多解”，充分融合數學基礎知識與基本技能，形成穩定的知識架構．

在“一題多解”的基礎上，合理歸納總結，巧妙拓展提升，借助“一題多變”進行變式應用，對問題加以更深層次的變式拓展與升華提升，全面提升數學能力，真正達到會解、會用、會拓展、會歸納總結等，從而實現“一題多得”的良好效果，舉一反三，融會貫通，發展創新意識與創新應用．