例談選函數圖像常用的方法

公衍錄

選擇符合題意的函數圖像一直是高考考查的熱點問題之一，下面結合實例介紹選函數圖像常用的幾種方法，供同學們參考。

一、根據函數表達式選擇函數圖像

先根據題意和物理規律，推導出圖像縱、橫坐標軸代表的物理量滿足的關系式———函數表達式，再依據“函數表達式與函數圖像相對應”選出符合題意的圖像。例如，若函數表達式形如y=kx+b，則對應的函數圖像為直線;若函數表達式形如y=ax2+bx+c（a≠0），則對應的函數圖像為拋物線。

例1 在t=0時刻，將一物體（可視為質點）豎直向上拋出，忽略空氣阻力。以拋出點為坐標原點、豎直向上為正方向，如圖1所示的四個選項中能正確反映該物體的動量p隨時間t 變化、動能Ek 隨位移x 變化的圖像是（ ）。

解析：設物體的初速度為v0，則t 時刻物體的速度v=v0-gt，動量p=mv，解得p=mv0-mgt，因此物體的動量p 與時間t 是一次函數關系，對應的函數圖像是一條直線，且直線的斜率k=-mg，選項A 正確，B錯誤。根據速度與位移的關系式v2-v20=-2gx，動能Ek=1/2mv2，解得Ek=1/2mv20-mgx，因此物體的動能Ek 與位移x 是一次函數關系，對應的函數圖像是一條直線，且直線的斜率k=-mg，選項C、D錯誤。

答案：A

例2 滑沙是人們喜愛的一項游樂活動。如圖2所示為滑沙場地的一段，人和滑車從斜面頂端A 點由靜止下滑，斜面的傾角為θ，取沿斜面向下為正方向，如圖3所示的四個選項分別是人和滑車沿斜面向下運動過程中的加速度a 與時間t、速度v 與位移x、重力的瞬時功率P重與時間t、動能Ek 與位移x 的關系圖像，其中正確的是（ ）。

解析：選由人和滑車組成的整體為研究對象，在整體沿斜面下滑的過程中，根據牛頓第二定律得mgsin θ-f =ma，解得a =gsin θ-f/m ，因此a-t 圖像是一條平行于t 軸的直線，選項A 錯誤。根據速度與位移的關系式v2=2ax，解得v=根號下2ax ，因此v-x 圖像是一條過原點且開口向右的拋物線的一部分，選項B 錯誤。整體在t 時刻的瞬時速度v=at，重力的瞬時功率P重=mgvsin θ，解得P重=mgasin θ·t，因此P重-t 圖像是一條過原點的傾斜直線，選項C 錯誤。在整體沿斜面下滑位移x 的過程中，根據動能定理得Ek=（mgsin θ-μmgcos θ）x，因此Ek-x 圖像是一條過原點的傾斜直線，選項D正確。

答案：D

例3 如圖4所示，足夠長光滑斜面傾角為θ，在沿斜面向上的恒力F 作用下，物體從斜面底端由靜止開始向上運動，當物體滑動到某一高度處時撤去恒力F。以地面為零勢能面，設物體的重力勢能為Ep，機械能為E，則在物體沿斜面向上運動的整個過程中，如圖5所示的Ep 和E 隨時間t變化的圖像正確的是（ ）。

汽車的加速度逐漸減小至0，汽車做加速度逐漸減小的加速運動，因此v-t圖像的斜率先保持不變，再逐漸減小。當汽車的加速度減小為0時，汽車做勻速運動，速度達到最大值，且最大值等于v1，以后汽車以速度v1 做勻速運動，因此v-t 圖像是一條平行于t 軸的直線。

答案：C

例5 如圖7所示，均勻帶正電的金屬圓環豎直放置，A、B 兩點是其軸線上關于圓心對稱的兩點。某時刻一個電子僅在靜電力作用下從A 點沿軸線向右運動至B 點，在此運動過程中，電子的v-t 圖像可能是（ ）。

解析：均勻帶正電的金屬圓環圓心處場強為0，軸線上無窮遠處場強也為0，故在圓心與無窮遠之間軸線上某點的場強存在最大值。若A 點在場強最大點左側，根據eE =ma 可知，電子僅在靜電力作用下由A 點沿軸線運動至B 點的過程中，電子的加速度先增大，后減小到0，再反向增大，然后反向減小。根據v-t 圖像的斜率表示加速度可知，圖像斜率先正的增大，后正的減小到0，再負的絕對值增大，然后負的絕對值減小，選項A正確。若A 點在場強最大點右側，則電子僅在靜電力作用下由A 點沿軸線運動至B 點的過程中，電子的加速度先減小到0再反向增大，因此v-t 圖像的斜率先正的減小到0，后負的絕對值增大，選項B、C正確，D錯誤。

答案：ABC

三、通過分析函數圖像特殊點的情況選擇函數圖像

先分析函數圖像上的某些特殊點，再根據這些特殊點的情況可選出符合題意的圖像。例如，選質點做簡諧運動時的圖像，如果能夠判斷出做簡諧運動的質點在t=0時刻的振動情況，那么就能選出該質點的振動圖像。

例6 如圖9甲所示，一列簡諧橫波以速度v=1 m/s沿繩子由A 點向B 點傳播，質點A、B 間的水平距離x=3 m。若t=0時刻，質點A 正從平衡位置向上振動，其振動圖像如圖9乙所示，規定向上為正方向，則t=0時刻質點B 的振動圖像是如圖10所示四個選項中的（ ）。

解析：根據圖9乙可知，質點A 做簡諧運動的周期T=4 s，則波長λ=vT=4 m，A、B 兩質點間的水平距離x=3 m=34λ。t=0時刻，質點A 正從平衡位置向上振動，波由A 點向B 點（向右）傳播，因此可畫出如圖11所示t=0 時刻的波形圖。t=0 時刻，x =3 m 處的質點B正好位于波峰，與圖10中選項D的圖像相對應。

答案：D

四、通過定性或半定量分析選擇函數圖像

定性或半定量分析法是一種粗略地確定研究對象是否具有某種性質，或確定某一物理量變化范圍的研究方法。遇到不好找出函數表達式的選函數圖像問題，合理應用這種方法能避免陷入對細枝末節的過度分析。

例7 如圖12所示，ACB 是一段豎直放置的光滑圓弧軌道，A、B兩點等高，相距為0.62 m，距軌道最低點C 的豎直高度為0.01 m。一小滑塊（可視為質點）從A 點由靜止釋放并開始計時，其速率v 隨時間t 變化的圖像可能是如圖13所示四個選項中的（ ）。

解析：設圓弧軌道AC 對應的圓心角為θ，圓弧軌道半徑為R，根據幾何關系得R2-（R -h）2 =（x/2）2，其中h =0.01 m，x =0.62 m，解得R =4.81 m，則sin θ=0.31/4.81=0.064。因此圓弧軌道AC（或CB）對應的圓心角很小，小滑塊在圓弧軌道上的往復運動可視為簡諧運動（屬于單擺模型），其周期T=2π根號下（R/g）=4.4 s，小滑塊從A 點由靜止釋放后，在0～2.2 s（前半個周期）內，小滑塊的速率先增大后減小，在2.2 s～4.4 s（后半個周期）內，小滑塊的速率仍然是先增大后減小，與圖13中選項A 的圖像相對應。

答案：A

總之，求解選函數圖像問題，可以根據函數表達式與函數圖像相對應選擇，也可以根據函數圖像斜率表示的物理量，結合圖像斜率的變化選擇，還可以根據函數圖像特殊點的情況或利用定性與半定量分析法選擇。

（責任編輯 張 巧）