關于帶電粒子在磁場中的運動模型剖析

張海紅

【摘要】電磁問題是永恒的物理話題，人們對電磁的探索從發現電、發現磁，再到后來的發現電磁感應，逐步推進.本文聚焦帶電粒子在勻強磁場中的運動模型，沿著它的足跡發現磁場中的美麗曲線.

【關鍵詞】高中物理；帶電粒子；勻強磁場

法拉第電磁感應的發現使人們第一次意識到電與磁并不是兩個獨立的物理學部分，從此電磁學應運而生.本文聚焦帶電粒子在不同勻強磁場中的運動軌跡，帶領大家感受磁場的獨特魅力，理解此類題目的解決步驟［1］.

1 直線邊界模型

例1 如圖1所示，一勻強磁場的磁感應強度大小為B，方向垂直于紙面向外，其邊界如圖中虛線所示，ab為半圓，ac、bd與直徑ab共線，ac間的距離等于圓的半圓的半徑.一束質量為m，電荷量為qq>0的粒子，在紙面內從c點垂直于ac射入磁場，這些粒子具有各種速率.不計粒子之間的相互作用.在磁場中運動時間最長的粒子，其運動時間為（? ）

（A）7πm6qB.?? （B）5πm4qB.

（C）4πm3qB.? （D）3πm2qB.

問題分析 本題為典型的帶電粒子在勻強磁場中的勻速圓周運動，其中洛侖茲力提供向心力，使得粒子在磁場中做勻速圓周運動.面對這類題目，解題主要分為三步：確定圓心、明確半徑、求得時間.因粒子運動狀態為勻速圓周運動，故粒子在磁場中的運動時間則與速度大小無關，而是由粒子在磁場中運動軌跡對應的圓心角決定，即t=θ2πT.根據這個思路，本題中需要找到運動軌跡所對應的最大圓心角，通常這種情況下，會使用放縮法畫圖尋找［2］.

解析 分析題目，本題不是簡單的直線邊界模型，其中根據運動狀態的不同，粒子還會進入半圓邊界之中，屬于直線邊界模型的變形題.此時可以假設以ab的一半長度為半徑畫圓，半徑為R，采用放縮法畫圖，如圖2.

粒子從c點垂直于ac射入磁場，故圓心必在ac直線上，可將圓的半徑從零開始逐漸放大，以0.5R、1.5R為界限進行觀察，當運動軌跡所在的圓周半徑r≤0.5R或者r≥1.5R時，粒子會在ac、bd區域垂直射出，這是由于粒子圓周運動的對稱性，粒子以多大的銳角θ射入磁場，就會以多大的銳角θ出磁場，此時磁場中粒子的運動軌跡為半圓，運動時間為半個周期；當0.5R

此時的圓心角θ可以根據∠cae求出.Oc=2R，Oe為半圓弧邊界的半徑R，同時可以發現△Oae為等邊三角形，∠cae為△Oae其中一個角的補角，即θ=120°=23π，

說明運動的圓心角為θ=2π－23π=43π.

運動時間t=θ2πT=43π2πT=23T.

再根據T=2πmqB代入，得出最長的運動時間為t=23T=23×2πmqB=4πm3qB，

故（C）選項正確，（A）（B）（D）選項錯誤.

2 圓形邊界模型

例2 如圖3，直角坐標系xOy平面內，有一半徑為R的圓形勻強磁場區域，磁感應強度大小為B，方向垂直于紙面向里，邊界與x，y軸分別相切于a、b兩點，一質量為m，電荷量為q的帶電粒子從b點沿平行于x軸正方向進入磁場區域，離開磁場后做直線運動，經過x軸時速度方向與x軸正方向的夾角為60°，不計帶電粒子重力，下列判斷正確的是（? ）

（A）粒子帶正電.

（B）粒子在磁場中運動的軌道半徑為R.

（C）粒子運動的速率為3qBRm.

（D）粒子在磁場中的運動時間為πm6qB.

問題分析 粒子離開磁場時的速度方向與x軸正方向的夾角為60°，根據這個特點，可以嘗試畫出粒子的運動軌跡，洛倫茲力提供向心力，求半徑，算速度，根據運動軌跡對應的圓心角計算時間［3］.

解析 畫出粒子的運動軌跡，如圖4，因為粒子進入磁場后向下偏移，所以粒子帶負電，（A）選項錯誤；

畫軌跡后延長速度方向，對頂角相等，得到速度延長線與粒子入射方向夾角為60°，根據角度的幾何關系tan60°=rR，解得半徑r=3R.由r=mvqB可得速率為v=3qBRm，（B）選項錯誤，（C）選項正確.

由圖中幾何間的關系可知圓心角為60°，所以運動時間t=π32πT=16T=16×2πmqB=πm3qB，故（D）選項錯誤.

故答案選（C）.

3 結語

帶電粒子在磁場中的運動問題，解題時首先需要畫軌跡，確定圓心或者半徑，再利用帶電粒子在磁場中受洛倫茲力，其為粒子運動提供向心力，從而根據勻速圓周運動公式和牛頓第二定律求解時間、速率等問題.在此類問題的求解中，粒子在勻強磁場中的運動時間與所對應的圓心角有關，根據圓心角占總圓周的比例，再得出在周期中的運動時間.

參考文獻：

［1］張偉.巧妙構建帶電粒子在電磁場中運動問題的全景思維——基于江蘇省高考物理試卷壓軸題的變式拓展［J］.數理化解題研究，2023（31）：102-105.

［2］楊巧及.帶電粒子在勻強磁場中運動之邊界磁場［J］.數理化解題研究，2023（31）：95-97.

［3］劉定粉.帶電粒子在圓形或環形磁場中的運動賞析［J］.數理天地（高中版），2023（22）：2-3.