“循源而學”理論視域下的小學數學教學：看見數學、理解數學、學通數學、用好數學

［摘 要］ 如何提高小學生數學學習興趣、提升學生數學學習力、體悟數學的價值是當前小學數學教育三大待解難題。解決之道在于讓學生看見數學、理解數學、學通數學、學好數學、用好數學、愛上數學，“循源而學”應運而生。它倡導順著數學產生、發展、應用的“源”與“流”而學，其核心內容包括循數學發展之源而學、循人生成長之源而學、循生存生活之源而學，體現為從數學學習走向人生成長、從人生成長走向完整生活，這是一切學科學習的基本“源”與“流”，是系列內化與外化、專與博、立己與達人、出發與歸宿、基礎與發展的自然生長、生發、生態過程。“情境與問題、體驗與實踐、關聯與綜合、拓展與長程、創造與成長”是“循源而學”的五大設計與實施要義。

［關鍵詞］ 循源而學；看見數學；理解數學；學通數學；用好數學

［中圖分類號］ ?G622.0 ?［文獻標識碼］ A ?［文章編號］ 1005-5843（2024）03-0151-06

［DOI］ ?10.13980/j.cnki.xdjykx.2024.03.023

法國數學家拉普拉斯曾說，“數學是科學的基礎，也是所有學問的靈魂”。義務教育數學課程標準中明確指出：“數學在形成人的理性思維、科學精神和促進個人智力發展中發揮著不可替代的作用。數學素養是現代社會每一個公民應當具備的基本素養。”［1］

然而數學在小學生心中的印象是枯燥的、抽象難懂的，除一些計算價值外似乎沒有多大用處。如何激發小學生的數學學習興趣、提升數學學習力、感受數學的價值是當下小學數學教育亟待破解的三大難題。最終如何真正讓學生從小看見數學、理解數學、學通數學，進而學好數學、用好數學、愛上數學［2］，“循源而學”理論的提出正是對此的探索與實踐。

一、“循源而學”的提出

如何提升興趣、提升數學學習力、感受數學的價值，本質就是要讓學生從小感悟數學到底是什么、怎么產生的、如何不斷發展的、可以用來干什么，這樣才能既見樹木又見森林，既識表象又見本質，既通術器也明道法，才能真正像學科專家一樣思考與學習，才能從知識的容器走向知識的創造者，才能從死記硬背走向舉一反三、活學活用。數學學習的興趣不在外在，而在數學內容本身；數學的價值不在他處，而在數學內容本身。所以關鍵就在于學生看見數學、學通數學，知其然且知其所以然，便能從學會走向會學。

（一）提升學習的效能：因循學科發展本質而學

要實現數學育人價值，首先需要讓學生看見數學、理解數學、學通數學、愛上數學。學生覺得數學枯燥、抽象，是因為他們看到的是冰冷的符號，沒有看到符號背后鮮活的數學生長和發展過程。所以解決難、煩、雜的問題，貴在讓學生厘清數學的產生、發展脈絡，沿著數學發展的本質、順著數學建構的邏輯進行學習，順藤摸瓜，而非見子打子。這樣每一次的新學并非絕對意義上的重新學習，而只是基于房屋地基、房屋框架基礎上的添磚加瓦，裝修美化。一線數學教育一定要破除零散碎片化地教，而要讓學生學一課通一片、學一片通全局，提升學習效能，做到遷移理解，自主建構，舉一反三。“循源而學”倡導順著數學產生、發展的“源流”而學，正是對三大數學教育關鍵難題破解之策的高度凝練。

（二）應對未來變化的當下行動：以數學學習為載體，發展學生的核心素養

會學數學是數學教育的重要內容但非唯一，數學教育還應讓學生利用數學的眼光、思維、語言，利用從數學學習中積累的智慧應對未來的變化。也就是說，要把數學學習作為重要的載體，去培養學生一生受用的關鍵能力、必備品格、正確的價值觀，發展學生的核心素養。這里的核心素養不應局限于數學核心素養，還有其他核心素養。核心素養的本質是會學習、會做事、會創造。未來沒有固定答案，但當擁有思考力、學習力、實踐力、創造力時，就擁有了適應、改造未來的普適性底層能力。所以，數學教育不應局限于數學學習，還應觀照學生人生成長。“循源而學”提出的循成長邏輯而學、循適應未來而學便是對此的回應。

（三）回歸人的完整與幸福生活：從數學教學走向數學育人

數學教育不僅應關注育智，也要關注育人，不僅要奠基未來幸福生活，也應觀照當下學生的健康成長與幸福生活。數學源于生活，也服務于生活。離開生活的數學是無用的，拋棄生活的數學也是乏味的。數學學習的過程本身也是一個不斷內化與外化、輸出與應用的過程。所以小學數學教育要特別關注與生活的融通讓學生學會用數學解決真實問題，激發學習數學的持久興趣，關注學生積極向上生活態度的培養，關注學生效能感、成就感、幸福感等積極情感的累積。讓他們通過有溫度、有情感的數學學習活動，從小熱愛生活、熱愛生命、熱愛世界，樹立自信，期待未來；從小培養良好的習慣，涵養良好的品格，養成科學精神，助力完整的生命成長與幸福生活。“循源而學”也關注循完整與幸福生活的邏輯而學［3］。

綜上，從數學學習走向人生成長，從人生成長走向完整且幸福的生活，是一切學科學習的基本“源”與“流”，是系列內化與外化、專與博、立己與達人、出發與歸宿、基礎與發展，是自然生長、生發、生態過程，是學科育人的“源”態。所以破解數學教育三大難題的關鍵在于厘清數學自身發展源流，循著學科發展之源、人生成長之源、生存生活之源而學習，從數學學習走向數學育人。

二、“循源而學”的理論結構

循源而學指循著本源、循著邏輯、循著通理、循著規律進行學習，進而看見數學、理解數學、學通數學、學好數學、用好數學、愛上數學。其理論結構的核心為“三循而學”。

（一）循數學發展之源而學

循數學發展之源而學就是循著數學產生與發展的邏輯而學。數學是研究數量關系與空間形式的科學。科學最顯著的特征便是有成體系的知識。知識是人們在改造世界的實踐中所獲得的認識和經驗的總和。認識是人腦對客觀世界的反映。

數學知識就是人腦對客觀世界中的事物從數學方面的屬性進行反映，并通過改造，形成規范的符號或概念表達。數學知識何以產生和發展，就是要探析為什么人腦要反映與能反映。梳理數學知識的產生會發現，現實生活中，人們發現與提出了一些問題，如今天的羊是不是都回到了羊圈里。需要對羊從數量多少這一屬性進行經驗反映，數量多少可以數一數，后產生了數。數產生后，自然就要深入研究各種數有什么性質。數量與數量之間還會發生關系，兩個數量之間的關系有大小、倍比關系等。數量還會發生變化，與其他數量合起來，就會得到一個新的數量。可以用加法運算來表示合起來的過程。計算出結果就產生了算式，表示合起來的過程與結果。算式不僅表示過程與結果，多個具體的算式抽象就成了部分量、部分量與合起來的數量的固定關系。算式從表達過程與結果走向表達數量關系。運用數量關系就可以解決生活中的問題。以此類推，產生減法、乘法、除法運算。這些新的知識又成為新的“經驗”，助力學生反映與規范表達。可見“數數、數的意義與讀寫、數的性質、兩個數量之間的關系、數量變化與運算、算式、多個數量之間的關系、解決問題”是所有學習數與運算主題內容時都要經歷的認知過程。通過數學知識解決了數羊數量的問題，但隨著生活的變化，又會產生新的問題。如此循環往復，數學知識則不斷產生、關聯、發展。

數學學習過程的本質就是數學產生與發展的復演。復演非完全像專家一樣創造新知識，更多是習得已有數學知識。加之學生非“專家”，數學學習的過程則非純粹的數學研究過程，需要學生具備一定的基礎知識、基本技能、基本思想、基本活動（“四基”）經驗，并具備一定的發現、提出、分析與解決問題能力，以此為主觀反映提供經驗基礎。同時，還要不斷累積興趣、信心、科學精神、良好習慣，以便驅動下一次學習［4］。

所以，數學學習的本源與邏輯、通理與規律是以問題發現、提出、分析與解決為主線，以知識學習為主載體，以“四心向”“四基”和“三會”素養為基礎，推動問題解決與新問題產生，推動數學產生、發展與應用，在此過程中，又進一步獲得“四基”，提升“四心向”，發展“三會”素養，循環往復，螺旋上升（詳見圖1）。

可見，數學學習重在豐富原型知識（經驗型知識），構建原生知識（如“數”）與衍生知識（如乘法由加法變來）結構體系，不斷累積“四心向”，獲得“四基”，提升“四能”，這些發展又成為下一次新知學習的基礎，如此螺旋上升，提升數學學習力。

（二）循人生成長之源而學

循數學發展之源而學能順藤摸瓜，直抵數學本質，每一節課都讓學生感受到數學知識是如何產生的、發展的、關聯一體的，也能看到一類主題內在的一致性與認知結構。如此，學生便能看見數學、理解數學、學通數學。但若僅停留在“四心向”“四基”上，學生只是一個數學學習者，還未成為一個數學建構者、創造者，也未成為一個數學應用者、實踐者，所以需要從關注會學數學拓展到更好成長上去。人生成長一方面需要關涉學生德智體美勞全面發展，另一方面也需要為學生未來奠基，也就是發展學生的核心素養，讓他們從小會學習、會做事、會創造。首先，應看到“三會”素養既是學生學習數學的素養基礎，也是學生學習數學后的結果與發展。如數感，在真實情境中理解數的意義，能用數表示物體的個數或事物的順序；能在簡單的真實情境中進行合理估算，作出合理判斷；能初步體會并表達事物蘊含的簡單數量規律。學生在學習整數時感受到數是對數量的抽象表達，數是多少個計數單位的表達。后面再學分數、小數、負數，學生就能基于初步形成的數感更好地理解它們的意義，然后又提升了數感的發展水平。其次，數學教育中，還要充分、適切、合理挖掘該知識載體是否還可以培養其他核心素養。如人教版三“毫米的認識”一課，可引用“英國1毫米航空事故”的素材，讓學生感悟“差之毫厘失之千里”的精益求精的科學精神，同時培養學生的社會責任感。總之，要以數學學習為載體，發展學生的核心素養，從而感悟數學內在的一致性，感悟數學學習的通理通法，從小學會學習、學會做事、學會創造。

（三）循生存生活之源而學

數學育人是一個由內及外、立己達人，從基礎到拓展的自然生長、生發、生態過程。一方面，數學源于生活，服務于生活；另一方面，學通數學，學好數學、最終是為了用好數學，過一種完整、健康、向上、富足、幸福的生活。生活既指當下的兒童生活，也指未來的成人生活。馬克思認為，人的生存與生活本質是主體對自我、自然、社會與精神的系列價值的認識、改造與審美活動。由此，數學學習還應促進學生的完整生活、幸福生活，注重引導學生從小樹立正確的世界觀、人生觀、價值觀；數學學習還要讓學生“親自下田”去實踐、去應用、去解決生活中的實際問題，去改造這個世界；數學學習還應讓學生累積積極的生活情感與態度，熱愛生活、熱愛生命、熱愛世界；數學學習還應適當滲透審美，讓學生感受到數學的簡潔美、對稱美、一致美、嚴謹美、精確美等，感受數學眼光、數學思維、數學語言在生活中的廣泛應用，感受數學與其他學科、文化、科技、生活的聯系，進而感悟數學的價值。

綜上，循數學發展之源而學旨在提升學習力，看見數學、理解數學、學通數學；循人生成長之源而學旨在知一識百、舉一反三，會學習、會做事、會創造，學好數學，提升可遷移理解力；循生存生活之源而學則關注學生的完整生命成長與幸福生活，用好數學，感受數學的價值，進而愛上數學。“循”既是探尋、發現、遵循，也是數學教育的策略、原則與方法。第一，情境與問題是數學學習的驅動器與主線。第二，體驗與實踐（經驗反映與規范表達的生活基礎）是基本的學習方式，讓學生在玩中學、做中學、用中學、創中學。第三，關聯與綜合是基本方法論，通過前后關聯，喚醒原型知識、原生知識、衍生知識，打通知識之間的壁壘，自動溝通，形成結構化的認知體系，學通數學。通過綜合，優化思維工具，豐富經驗基礎，將其他學科、文化、科技、生活的最新發展主動關涉、納入、拿來，助力數學學習。第四，拓展與長程是數學學習的開放生態。在學習過程中，不要“閉關鎖國”，而要“主動開放”，讓學生自然地進行拓展學習（如數學文化、生活中的數學、聯想同類前后相關主題的學習）與長程延學、深度學。第五，最后如何檢測學生學習的效果，唯有通過系列創造與成長予以評測，同時創造與成長也是學習的結果與終極歸宿。所以，“情境與問題、體驗與實踐、關聯與綜合、拓展與長程、創造與成長”是循源而學的五大設計與實施要義①（詳見圖2）。

三、“循源而學”的教學實踐：以“比的認識”教學為例

比的認識重在理解比的意義。比的本源意義是表示同類量間的倍數關系，基于本源意義表示倍數關系，兩個不同類量相比還衍生出了“產生新量”的“流”意義。本課重在溯本清源，厘清“源”與“流”的具象意義。其中“源”的意義是重點，“流”的意義是難點［5］。結合學情，將本課的教學目標確定如下：第一，理解比的意義，能正確讀和寫比，知道比各部分的名稱，會求比值，理解比與除法、分數的關系;第二，經歷從具體情境中抽象出比的過程，通過觀察、思考，理解數學知識之間的聯系，體會變與不變的數學思想;第三，能利用比的知識解釋與解決一些簡單的生活問題，感受比在生活中的廣泛應用，進一步發展數感、符號意識與推理意識。下面基于循源而學的五大設計與實施要義，具體闡釋本課的教學設計。

（一）情境與問題：驅動器與主線

學習首先要驅動學生行為參與、思維參與、情感參與，在具體情境中以大問題貫通，小問題串聯的教學設計可以充分激發學生的探究欲，變“要我學”為“我要學”，促進深度學習發生。小學數學中常見的情境包括數學情境、生活情境、科技情境、社會情境等。常見的問題引出方式有提問、追問、反問、互問等。

本課始終以中華美食系列素材與大問題“比的意義”貫通，以系列小問題串聯整個學習。如開課時，教師設置了中華美食文化源遠流長的情境，請學生說一說自己喜歡吃哪些美食，迅速地拉近了師生距離，也引出了研究素材重慶小面，激發了學生的學習興趣。

（二）體驗與實踐：學習方式

本課以自主探索性實踐為主，先后設計了4個大的體驗與實踐環節：第一，通過和面，在變與不變中初步理解比的本源意義表示同類量之間的倍數關系；第二，對比國旗長寬之比與足球比分，在辨析中深化理解比的本源意義；第三，緊接著和面，引出吃小面，通過總價與數量、路程與時間的比，理解比的衍生意義，兩個相關聯的非同類量相比，產生新的量；第四，自學感悟比的抽象意義表示兩個數相除。如：第一個環節，開篇教師提問，要做好一碗重慶小面，最重要的是什么？學生可能說是面。教師追問，讓你來和面，面粉放多少克，水呢？學生隨意列舉，教師引出程師傅的經驗——面粉200克，水100克。教師進一步追問，按程師傅的經驗，面粉還可以放多少克，水呢？學生列舉，發現可以簡潔說成面粉是水的2倍或水是面粉的1/2，教師引導還可以用2 ∶ 1來表示。用比來表示數量間的倍數關系更簡潔、更直觀。這個過程讓學生充分體驗與實踐，學生感受到面粉和水可以同向變化，但它們之間的倍數關系始終不變，2 ∶ 1是數量間倍數關系表征的又一次升級，進而建立清晰的比的意義的表象。

（三）關聯與綜合：方法論

關聯指學習過程中要不斷新舊溝通、前后聯系、左右融匯，找到數學學習的通理、通法、通性，基于本質感悟數學內在的一致性；還指在學習新課后，要及時進行總結，建立清晰的認知結構，從而學通數學。綜合則是主動溝通數學內部、數學與其他學科、數學與廣域世界萬事萬物的關系，多開展跨學科主題學習，多應用其他學科、其他領域的知識、思想與方法幫助我們分析與解決問題，為數學學習提供參考與經驗、智慧與營養，提升數學學習力。

本課在新課學習的第二個環節，對比國旗長寬之比與足球比分，在辨析中深化理解比的本源意義時，教師呈現視頻足球比分變化的隨機性，非呈倍數變化，借助這樣的生活經驗，學生立刻就明白足球比分表示的是兩個隊進球的具體個數，不是今天數學里所學的比。在第三個環節，緊接著和面，引出吃小面，通過總價與數量、路程與時間的比理解比的衍生意義。出示吃面情境，14元買2碗小面，讓學生寫比。學生基于同類量的比表示倍數關系，有的認為不能寫成比，有的則認為可以，因為兩個數量是同向變化，總價增加、數量也增加，但單價不變，具有倍數關系的特征，所以可以寫成比。這就是利用剛學習的比表示倍數關系的特征——前后項具體數量可以變，但比值（倍數關系）始終不變，進行了類比遷移與推理。所以數學學習本質就是不斷轉化成舊知識進行理解，也就是關聯已有經驗與舊知識，綜合各種經驗與方法進行建構。

（四）拓展與長程：開放生態

拓展指橫向的延伸，促進學生由此及彼、由點線及面體、由數學到生活（如生活中的數學）的思考，以此拓寬視野，活化知識。長程指在學習過程中，自然生成的由表及里（深究）、由當下到過去與未來（如數學文化與數學歷史等）、由延學（生發的新問題、新主題學習）到長學（對該主題進行長程研究甚至終身研究）的學習樣態，進而激發探究欲，打開數學學習場，涵養科學精神，感受數學的價值與魅力。不管是橫向的拓展還是縱向的延伸，它們的共同點是學習進程中的自然延展、左右兼顧、承上啟下，將一節課的學習自然打開。

在新課4個環節結束后，追問學生，比的意義簡不簡單，學生回答簡單。教師順勢引出，數學家對比的研究不簡單，出示比的研究歷程的微視頻，拓寬了學生的視野，厘清了比的產生發展歷程，也激活了學生的民族自豪感，涵養了科學精神，從數學教學走向了數學育人，真正讓課堂成為立德樹人的主陣地、主渠道。

（五）創造與成長：結果、歸宿與素養評測

創造的本質就是在繼承中發展，并非無中生有。同樣的創造也有很多層次，新知建構、練習應用、作品生成、發現新規律等都是創造。成長主要指核心素養的發展，集中表現為會學、會做、會創造、會生活。所以，創造與成長是廣義上的學習結果、成長表現，也是一節課的目標指向，以及目標達成與否的重要評測指標。

本節課設置了3個層次的練習，最后讓學生用自己喜歡的方式來總結這節課的所學、所思、所惑以及還存在的問題，就是通過問題驅動、任務完成、作品創造來檢驗學生學得怎么樣，成長得如何。第一個練習緊接美食，請學生根據北京烤鴨中蛋白質、脂肪等含量一覽表來寫比，進一步內化比的意義，也讓學生感受比的有序性。第二個練習是三杯蜂蜜水，可以通過比值來判斷哪一杯最甜，鞏固了比值的意義，感受比的度量價值。第三個練習讓學生說一說生活中還在哪些地方見到過比，再出示“生活中的比”微視頻，進一步感受比可以直觀反映數量多少，具有度量價值，可以成為一種標準，以拓展比的應用價值，激發學生的延學探究。最后讓學生通過自己喜歡的方式來表達自己的所學所思，本質上就是一種內化后的外化創造。

注釋：

①五大設計與實施要義：是本質概括、是目標導向、是原則遵循、是要素把握、是環節參考，其特點為由外及內與由表及里的深度學習、玩做用創結合的實踐學習、文化生活泛在學習、前中后長程學習。

參考文獻：

［1］教育部.義務教育數學課程標準（2022年版）［M］.北京：北京師范大學出版社，2022：1.

［2］李方紅.互生教育理論芻論［J］.教學研究，2021（05）：20-25.

［3］李方紅.融合教育生態下的學習變革：互生學習芻論［J］.教學研究，2022（06）：15-21.

［4］李方紅.讓數學化真正發生：“和真數學”教學理念與實踐探索［J］.現代教育科學，2019（11）：86-92.

［5］李方紅，黨心池.“比的認識”教學實錄與評析［J］.小學數學教育，2023（17）：44-46.

（責任編輯：姜佳宏）

Primary School Mathematics Teaching from the Perspective of

“Learning from the Source” Theory：Seeing Mathematics， Understanding Mathematics，

Mastering Mathematics and Making Good Use of Mathematics

LI Fanghong

（Bashu Primary School in Chongqing City， Chongqing 400013，China）

Abstract： ??How to enhance the interest of primary school students in learning mathematics， enhance their mathematical learning ability， and appreciate the value of mathematics are the three major unresolved problems in current primary school mathematics education. The solution lies in letting students see mathematics， understand mathematics， master mathematics， learn mathematics well， make good use of mathematics， and fall in love with mathematics. The concept of “learning from the source” has emerged. It advocates learning along the “source” and “flow” of mathematics's emergence， development， and application， the core cotent includa learning from the source of mathematical development， learning from the source of personal growth， and learning from the source of survival and life. The concept of “learning by following the three principles” reflects the transition from mathematical learning to personal growth， and from personal growth to a complete life. This is the fundamental “source” and “flow” of all subject learning， and it is a natural growth， development， and ecological process that involves a series of internalization and externalization， specialization and erudition， self-improvement and mastery， starting and destination， foundation and development. The five design and implementation principles of “learning from the source” are “context and problems， experience and practice， correlation and synthesis， expansion and long-term development， and creation and growth”.

Key words： ??learn from the source; seeing mathematics; understand mathematics; learn to master mathematics; make good use of mathematics