容差粗糙集的結(jié)構(gòu)化近似

張海娣，萬仁霞，盧彥君，劉偉

（1.北方民族大學(xué) 數(shù)學(xué)與信息科學(xué)學(xué)院，寧夏 銀川 750021；2.寧夏智能信息與大數(shù)據(jù)處理重點實驗室，寧夏 銀川 750021）

粗糙集理論是Pawlak[1-2]在1982 年提出的一種處理不精確的、不確定性的和不完備數(shù)據(jù)的分析理論與方法，其主要思想是用一對上、下近似算子對給定的某種概念進(jìn)行近似表示。對Pawlak 粗糙集進(jìn)行擴(kuò)展，提出概率粗糙集、變精度粗糙集及多粒度粗糙集等模型，并在模式識別、機(jī)器學(xué)習(xí)、圖像處理、決策分析、數(shù)據(jù)挖掘等眾多領(lǐng)域取得到了廣泛的應(yīng)用。Pawlak 粗糙集理論建立在不可分辨關(guān)系(indiscernibility relation)基礎(chǔ)上，這種關(guān)系滿足自反性、對稱性、傳遞性,其本質(zhì)是等價關(guān)系。這種關(guān)系對于許多實際問題來說，要求近于苛刻，且對數(shù)據(jù)的精度要求也非常的高，如果粗糙集的上、下近似發(fā)生變化，就會導(dǎo)致模型無法將它們歸為一類，從而造成部分?jǐn)?shù)據(jù)的分類錯誤[3]。為克服上述問題，一些學(xué)者利用偏序關(guān)系[4]、優(yōu)勢關(guān)系[5]、鄰域關(guān)系[6]等對不可分辨關(guān)系進(jìn)行拓展。

Skowron 基于對象間的自反性和對稱性提出容差粗糙集模型[7]，容差粗糙集模型的提出，為粗糙集模型的研究提供了新的思路。文獻(xiàn)[8]將變精度粗糙集模型和容差粗糙集模型結(jié)合起來，提出兩種變精度容差粗糙集模型，并給出兩種模型之間以及與其他模型之間的關(guān)系。文獻(xiàn)[9]在容差粗糙集模型中利用最大容差類對偶地定義了兩類新的上、下近似概念，并研究它們的相關(guān)性質(zhì)。文獻(xiàn)[10]提出變精度概率容差粗糙集模型，并研究其上、下近似的性質(zhì)。文獻(xiàn)[11]將相容關(guān)系運(yùn)用到集值信息系統(tǒng)中，處理在經(jīng)典粗糙集中那些不能被處理的數(shù)據(jù)，提出基于相容關(guān)系的局部粗糙集模型，并在屬性約簡方面進(jìn)行探討。Yao 等[12]在Bryniarski 定義的基礎(chǔ)上，使用一組聯(lián)合可定義集和描述語言，提出了結(jié)構(gòu)化粗糙集模型[13]。與之前模型相比，該模型可以很好地保留結(jié)構(gòu)信息。文獻(xiàn)[14]應(yīng)用粗粒化空間中的結(jié)構(gòu)化顆粒，在原空間的冪集與粗粒化空間的冪集之間引入結(jié)構(gòu)化概率粗集，并利用放大算子和結(jié)構(gòu)化概率粗糙集近似算子研究不同空間上的概率粗糙集上、下近似及其相關(guān)性質(zhì)和相互關(guān)系。文獻(xiàn)[15]在變精度的背景下研究經(jīng)典粗糙集的結(jié)構(gòu)化問題，提出結(jié)構(gòu)化變精度粗糙集模型，通過改變精度較好地展現(xiàn)上下近似中對象類的結(jié)構(gòu)化信息。

容差粗糙集模型是對Pawlak 經(jīng)典粗糙集理論的重要擴(kuò)展，在粗糙集理論研究中占有重要位置。本文探討容差關(guān)系下的粗糙集結(jié)構(gòu)化問題，提出結(jié)構(gòu)化容差粗糙集模型。

2 基本概念

2.1 粗糙集的結(jié)構(gòu)化

在一個非空有限的空間U 中，E?U×U 表示一個等價關(guān)系，表示包含x 的等價類。由等價關(guān)系E 導(dǎo)出的劃分U/E=｛E1,E2,E3,…,En｝包含所有的等價類，這些等價類是構(gòu)造粗糙集的基礎(chǔ)，關(guān)于等價關(guān)系E 來定義粗糙集的上近似、下近似為[13]：

可以看出,上、下近似都是U 的子集。

Bryniarski 通過除去粗糙集中的并提出一種新定義[12]：

這里的等價類[x]是U/E 的一個元素，它被視為U/E 中的一個整體，因此，這里的上、下近似為等價類族，即有關(guān)系：

2.2 容差粗糙集

定義2.1[8]設(shè)為有限非空論域，T 為論域U 上的二元關(guān)系，若T 滿足以下條件：

(1)自反性，即?x∈U，有xTx，

(2)對稱性，即?x,y∈U，若xTy，則yTx 稱T 為容差關(guān)系。

定義2.2[7]設(shè)容差逼近空間（U,T），U 為論域，T?U×U 為U 上的容差關(guān)系，對于任意x∈U，關(guān)于容差關(guān)系T 的上、下近似定義為：

控制預(yù)測[6]系統(tǒng)是超導(dǎo)磁場儲能型微網(wǎng)預(yù)測控制模型的核心部分,并且是最復(fù)雜與關(guān)鍵的板塊,能夠劃分為兩個板塊:外環(huán)控制和內(nèi)環(huán)控制。

3 結(jié)構(gòu)化容差粗糙集

3.1 容差粗糙集的結(jié)構(gòu)化

定義3.1 設(shè)（U,T）為粗粒化空間，T 為容差關(guān)系，對任意x∈U，結(jié)構(gòu)化容差粗糙集上、下近似定義為：

結(jié)構(gòu)化容差粗糙集以元素為代表元，構(gòu)建其對應(yīng)的容差類，其上、下近似不同元素的容差類都保留其信息。因而，結(jié)構(gòu)化容差粗糙集的上、下近似是以容差類為元素的多重集。

例3.1 設(shè)論域U=｛x1,x2,x3,x4,x5,x6,x7｝且T=｛（x1,x1）,（x1,x7）,（x2,x2）,（x2,x6）,（x3,x3）,（x3,x5）,（x4,x4）,（x4,x6）,（x5,x5）,（x5,x3）,（x6,x6）,（x6,x4）,（x6,x2）,（x7,x7）,（x7,x1）｝

所以結(jié)構(gòu)化顆粒分別為：

考察X=｛x1,x2,x6,x7｝ 的非結(jié)構(gòu)化與結(jié)構(gòu)化意義下的容差上、下近似。

(1)非結(jié)構(gòu)化容差粗糙集上、下近似為：

(2)結(jié)構(gòu)化容差粗糙集上、下近似為：

設(shè)U 上的容差關(guān)系T，可以得到一個粗粒度空間U/T。容差關(guān)系T 表示U 到2U的映射，其中2U是U 的冪集，2U/T為U/T 的冪集，即映射:[]T:U→2U，[x]T={y∈}。

容差類[x]T在U 和U/T 中有不同的作用，在U中，[x]T表示U 的子集，而在U/T 中，[x]T表示U/T 的元素，參考Dubois 等[14,16]學(xué)者的命名方法，用Name（[x]T）(有時也寫成N（[x]T）)表示U/T 中的元素。則N（[x]T）表示為粗粒化空間中的結(jié)構(gòu)化顆粒。對于U/T 和U 之間有如下映射[17]φ：U/T→U，從而φ（Name（[x]T））＝[x]T。

對于任意X,Y?U，結(jié)構(gòu)化容差粗糙集上、下近似滿足以下屬性：

性質(zhì)3.1

3.2 近似精度與粗糙度

因為邊界域的存在導(dǎo)致集合的不精確性或數(shù)據(jù)的不完備性，集合的邊界域越大則集合的精確性越低[1]。近似精度和粗糙度是刻畫粗糙集不精確性和不完備性的兩個重要指標(biāo)[1,10]。結(jié)合結(jié)構(gòu)化粗糙集的特點，有以下關(guān)于結(jié)構(gòu)化容差粗糙集的近似精度和粗糙度定義。

定義3.2 給定一個粗粒化空間U/T，對于任意，X∈U/T，則集合X 的近似精度和粗糙度為：

例3.1 中，非結(jié)構(gòu)化容差粗糙集的近似精度、粗糙度為：

結(jié)構(gòu)化容差粗糙集的近似精度、粗糙度為：

可以看出，結(jié)構(gòu)化容差粗糙集與非結(jié)構(gòu)化容差粗糙集的近似精度、粗糙度具有明顯的區(qū)別。

4 結(jié)束語

粗糙集的結(jié)構(gòu)化可以很好地保留上下近似中的對象的類信息，探討容差粗糙集的結(jié)構(gòu)化問題，提出了結(jié)構(gòu)化容差粗糙集模型，并對新模型的相關(guān)性質(zhì)和模型的精確程度開展研究，是粗糙集模型的一種推廣。新模型融合容差粗糙集模型和結(jié)構(gòu)化粗糙集模型的一些優(yōu)點。因此，具有一定的理論研究價值。后續(xù)研究中，我們將考慮在不完備信息系統(tǒng)中對該模型進(jìn)一步擴(kuò)展。